山东省泰安市2021年中考数学真题及答案

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单项选择题

1．以下各数：4，2.8，0，4，其中比3小的数是〔 〕 A．4

B．4

C．0

D．2.8

2．以下运算正确的选项是〔 〕 A．2x23x35x5 C．xyx2y2

2B．2x6x3

D．3x223x49x

233．如图是由假设干个同样大小的小正方体所搭几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置小正方体的个数，那么这个几何体的左视图是〔 〕

A． B． C．

D．

4．如图，直线m//n，三角尺的直角顶点在直线m上，且三角尺的直角被直线m平分，假设160，那么以下结论错误的选项是〔 〕

A．275 B．345 C．4105 D．5130

5．为了落实“作业、睡眠、 、读物、体质〞等五项管理要求，了解学生的睡眠状况，调查了一个班50名学生每天的睡眠时间，绘成睡眠时间频数分布直方图如下图，那么所调查学生睡眠时间的众数，中位数分别为〔 〕

A．7 h；7 h B．8 h；7.5 h C．7 h ；7.5 h D．8 h；8 h

6．如图，在ABC中，AB6，以点A为圆心，3为半径的圆与边BC相切于点D，与AC，AB分别交于点E和点G，点F是优弧GE上一点，CDE18，那么GFE的度数是〔 〕

A．50° B．48°

2C．45° D．36°

7．关于x的一元二次方程标kx2k1xk20有两个不相等的实数根，那么实数k的取值范围是〔 〕 A．k1 41且k0 4B．k1 41k0 4C．kD．k8．将抛物线yx22x3的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到的抛物线必定经过〔 〕 A．(2,2)

B．(1,1)

C．(0,6)

D．(1,3)

9．如图，四边形ABCD是O的内接四边形，B90，BCD120，AB2，

CD1，那么AD的长为〔 〕

A．232 B．33 C．43 D．2

10．E是BD的中点，①AMCN；如图，在平行四边形ABCD中，那么以下四个结论：①假设MDAM，A90，那么BMCM；①假设MD2AM，那么

S△MNCS△BNE；①假设ABMN，那么△MFN与△DFC全等．其中正确结论的个

数为〔 〕

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

11．如图，为了测量某建筑物BC的高度，小颖采用了如下的方法：先从与建筑物底端B在同一水平线上的A点出发，沿斜坡AD行走130米至坡顶D处，再从D处沿水平方向继续前行假设干米后至点E处，在E点测得该建筑物顶端C的仰角为60°，建筑物底端B的俯角为45°，点A、B、C、D、E在同一平面内，斜坡AD的坡度i1:2.4．根据小颖的测量数据，计算出建筑物BC的高度约为〔 〕〔参考数据：31.732〕

A．136.6米 B．86.7米 C．186.7米 D．86.6米

12．如图，在矩形ABCD中，AB5，BC53，点P在线段BC上运动〔含B、C两点〕，连接AP，以点A为中心，将线段AP逆时针旋转60°到AQ，连接DQ，那么线段DQ的最小值为〔 〕

A．

5 2B．52 C．53 3D．3

二、填空题

13．2021年5月15日7时18分，天问一号着陆巡视器成功着陆于火星，我国首次火星探测任务着陆火星取得圆满成功．探测器距离地球约3.2亿千米．数据3.2亿千米用科学记数法可以表示为________千米．

14．?九章算术?中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十，问甲、乙持钱各几何？〞译文：“假设有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱，假设乙把自己一半的钱给甲，那么甲的钱数为50；而甲把自己

2的钱给乙，那3么乙的钱数也能为50．问甲、乙各有多少钱？〞设甲持钱数为x，乙持钱数为y，可列方程组为________．

15．如图是抛物线yax2bxc的局部图象，图象过点(3,0)，对称轴为直线x1，有以下四个结论：①abc0；①abc0；①y的最大值为3；①方程

其中正确的为________〔将所有正确结论的序号都填入〕．ax2bxc10有实数根．

16．假设ABC为直角三角形，ACBC4，以BC为直径画半圆如下图，那么阴影局部的面积为________．

17．如图，将矩形纸片ABCD折叠〔ADAB〕，使AB落在AD上，AE为折痕，然后将矩形纸片展开铺在一个平面上，E点不动，将BE边折起，使点B落在AE上的点G处，连接DE，假设DEEF，CE2，那么AD的长为________．

18．如图，点B1在直线l:y1x上，点B1的横坐标为2，过点B1作B1l，交x轴2于点A1B1B2C1，延长B2C1交x轴于点A2；以A2B2为1，以A1B1为边，向右作正方形A边，向右作正方形A2B2B3C2，延长B3C2交x轴于点A3；以A3B3为边，向右作正方形

A3B3B4C3，延长的B4C3交x轴于点A4；…；按照这个规律进行下去，那么第n个正

方形AnBnBn1Cn的边长为________〔结果用含正整数n的代数式表示〕．

三、解答题

23a1a6a919．a1〔1〕先化简，再求值：，其中a33；

a1a1〔2〕解不等式：17x13x2． 8420．为庆祝中国共产党成立100周年，落实教育部?关于在中小学组织开展“从小学党史，永远跟党走〞主题教育活动的通知?要求，某学校举行党史知识竞赛，随机调查了局部学生的竞赛成绩，绘制成两幅不完整的统计图表．根据统计图表提供的信息，解答以下问题：

竞赛成绩统计表〔成绩总分值100分〕 组别 分数 A组 B组 C组 D组 E组 合计 人数 4 10 75x80 80x85 85x90 90x95 95x100 14 〔1〕本次共调查了________名学生；C组所在扇形的圆心角为________度；

〔2〕该校共有学生1600人，假设90分以上为优秀，估计该校优秀学生人数为多少？

〔3〕假设E组14名学生中有4人总分值，设这4名学生为E1，E2，E3，E4，从其中抽取2名学生代表学校参加上一级比赛，请用列表或画树状图的方法求恰好抽到E1，E2的概率．

21．如图，点P为函数ym1x1与函数y(x0)图象的交点，点P的纵坐标为2x4，PBx轴，垂足为点B．

〔1〕求m的值； 〔2〕点M是函数ym(x0)图象上一动点，过点M作MDBP于点D，假设xtanPMD1，求点M的坐标． 222．接种疫苗是阻断新冠病毒传播的有效途径，针对疫苗急需问题，某制药厂紧急批量生产，方案每天生产疫苗16万剂，但受某些因素影响，有10名工人不能按时到厂．为了应对疫情，回厂的工人加班生产，由原来每天工作8小时增加到10小时，每人每小时完成的工作量不变，这样每天只能生产疫苗15万剂． 〔1〕求该厂当前参加生产的工人有多少人？

〔2〕生产4天后，未到的工人同时到岗参加生产，每天生产时间仍为10小时．假设上级分配给该厂共760万剂的生产任务，问该厂共需要多少天才能完成任务？ 23．四边形ABCD为矩形，E是AB延长线上的一点．

〔1〕假设ACEC，如图1，求证：四边形BECD为平行四边形；

〔2〕假设ABAD，点F是AB上的点，AFBE，EGAC于点G，如图2，求证：△DGF是等腰直角三角形．

24．二次函数yax2bx4(a0)的图象经过点A(4,0)，B(1,0)，与y轴交于点

C，点P为第二象限内抛物线上一点，连接BP、AC，交于点Q，过点P作PDx轴于点D．

〔1〕求二次函数的表达式；

〔2〕连接BC，当DPB2BCO时，求直线BP的表达式； 〔3〕请判断：理由．

25．O为半圆的圆心，C、D为半圆上的两点，如图1，且BDCD．连接AC并延长，与BD的延长线相交于点E．

PQ是否有最大值，如有请求出有最大值时点P的坐标，如没有请说明QB

〔1〕求证：CDED；

〔2〕AD与OC，BC分别交于点F，H．

①假设CFCH，如图2，求证：CFAFFOAH； ①假设圆的半径为2，BD1，如图3，求AC的值．

参考答案

1．A 【分析】

根据正数比负数大，正数比0大，负数比0小，两个负数中，绝对值大的反而小解答即可．【详解】

解：①①﹣4①=4，4＞3＞2.8， ①﹣4＜﹣3＜﹣2.8＜0＜①﹣4①， ①比﹣3小的数为﹣4， 应选：A． 【点睛】

此题考查有理数大小比拟，熟知有理数的比拟大小的法那么是解答的关键． 2．D 【分析】

分别根据合并同类项法那么、积的乘方运算法那么、完全平方公式、平方差公式进行判断即可． 【详解】

解：A、x2和x3不是同类项，不能合并，此选项错误； B、2x8x3，此选项错误；

C、xyx22xyy2，此选项错误；

D、3x223x(23x)(23x)49x，此选项正确，

223应选：D． 【点睛】

此题考查了同类项、积的乘方、完全平方公式、平方差公式，熟记公式，掌握运算法那么是解答的关键． 3．B 【分析】

直接从左边观察几何体，确定每列最高的小正方体个数，即对应左视图的每列小正方形的个数，即可确定左视图． 【详解】

解：如下图：从左边看几何体，第一列是2个正方体，第二列是4个正方体，第三列是3个正方体；因此得到的左视图的小正方形个数依次应为2,4,3； 应选：B． 【点睛】

此题考查了几何体的三视图，要求学生理解几何体的三种视图并能明白左视图的含义，能确定几何体左视图的形状等，解决此题的关键是牢记三视图定义及其特点，能读懂题意和从题干图形中获取必要信息等，此题蕴含了数形结合的思想方法，对学生的空间想象能力有一定的要求． 4．D 【分析】

根据角平分线的定义求出①6和①7的度数，再利用平行线的性质以及三角形内角和求出①3，①8，①2的度数，最后利用邻补角互补求出①4和①5的度数． 【详解】

首先根据三角尺的直角被直线m平分， ①①6=①7=45°；

A、①①1=60°，①6=45°，①①8=180°-①1-①6=180-60°-45°=75°，m∥n，①①2=①8=75°结论正确，选项不合题意；

B、①①7=45°，m①n，①①3=①7=45°，结论正确，选项不合题意； C、①①8=75°，①①4=180-①8=180-75°=105°，结论正确，选项不合题意； D、①①7=45°，①①5=180-①7=180-45°=135°，结论错误，选项符合题意． 应选：D． 【点睛】

此题考查了角平分线的定义，平行线的性质，三角形内角和，邻补角互补，解答此题的关键是掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．

5．C 【分析】

根据众数的定义及所给频数分布直方图可知，睡眠时间为7小时的人数最多，根据中位数的定义，把睡眠时间按从小到大排列，第25和26位学生的睡眠时间的平均数是中位数，从而可得结果． 【详解】

由频数分布直方图知，睡眠时间为7小时的人数最多，从而众数为7h； 把睡眠时间按从小到大排列，第25和26位学生的睡眠时间的平均数是中位数， 而第25位学生的睡眠时间为7h，第26位学生的睡眠时间为8h，其平均数为7.5h， 应选：C． 【点睛】

此题考查了频数分布直方图，众数和中位数，读懂频数分布直方图，掌握众数和中位数的定义是解决此题的关键． 6．B 【分析】

连接AD，由切线性质可得①ADB=①ADC=90°，根据AB=2AD及锐角的三角函数可求得①BAD=60°，易求得①ADE=72°，由AD=AE可求得①DAE=36°，那么①GAC=96°，根据圆周角定理即可求得①GFE的度数． 【详解】

解：连接AD，那么AD=AG=3， ①BC与圆A相切于点D， ①①ADB=①ADC=90°，

在Rt①ADB中，AB=6，那么cos①BAD=①①BAD=60°， ①①CDE=18°，

①①ADE=90°﹣18°=72°， ①AD=AE，

①①ADE=①AED=72°， ①①DAE=180°﹣2×72°=36°，

AD1=， AB2①①GAC=36°+60°=96°， ①①GFE=

1①GAC=48°， 2应选：B．

【点睛】

此题考查切线性质、锐角的三角函数、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、圆周角定理，熟练掌握切线性质和圆周角定理，利用特殊角的三角函数值求得①BAD=60°是解答的关键． 7．C 【分析】

由一元二次方程定义得出二次项系数k≠0；由方程有两个不相等的实数根，得出“①>0〞，解这两个不等式即可得到k的取值范围． 【详解】

k0, 解：由题可得：22k14kk201解得：k且k0；

4应选：C． 【点睛】

此题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，涉及到了解不等式等内容，解决此题的关键是能读懂题意并牢记一元二次方程的概念和根的判别式的内容，能正确求出不等式〔组〕的解集等，此题对学生的计算能力有一定的要求． 8．B 【分析】

根据二次函数平移性质“左加右减，上加下减〞，得出将抛物线yx22x3的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到的抛物线的解析式，代入求值即可.

【详解】

解：将抛物线yx22x3化为顶点式， 即：yx22x3

=x22x3 x14，

将抛物线的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位， 根据函数图像平移性质：左加右减，上加下减得：

2yx1142x22，

A选项代入，yx22=(2)222，不符合； B选项代入， yx22(1)221，符合； C选项代入，yx22(0)222 ，不符合； D选项代入，yx22(1)221，不符合； 应选：B． 【点睛】

此题主要考查函数图像平移的性质，一般先将函数化为顶点式：即ya(xh)2k的形式，然后按照“上加下减，左加右减〞的方式写出平移后的解析式，能够根据平移方式写出平移后的解析式是解题关键． 9．C 【分析】

如图，延长AD，BC，二线交于点E，可求得①E=30°，在Rt①CDE中，利用tan30°计算DE，在Rt①ABE中，利用sin30°计算AE，根据AD=AE-DE求解即可； 【详解】

如图，延长AD，BC，二线交于点E，

2

①①B=90°，①BCD=120°， ①①A=60°，①E=30°，①ADC=90°， ①①ADC=①EDC= 90°， 在Rt①CDE中， tan30°=

DC， DE1①DE=3=3，

3在Rt①ABE中，

AB， AE2①AB=1=4，

2sin30°=

①AD=AE-DE=43, 应选C 【点睛】

此题考查了圆的内接四边形对角互补，特殊角的三角函数值，延长构造直角三角形，灵活运用直角三角形特殊角的三角函数值计算是解题的关键． 10．D 【分析】

依次分析各选项，进行推理论证即可；其中①可通过证明DME≌BNEAAS，进一步转换后可以得到结论，①可先得到该平行四边形是矩形，利用矩形的性质等得到MN垂直平分BC，即可完成求证，①可以先证明两个三角形的共线边上的高的关系，再利用三角形面积公式即可完成证明，①可以先证明MND≌DCMSAS后可进一步证明

MNF≌DCFAAS，即可完成求证．

【详解】

解：①平行四边形ABCD中，E是BD的中点， ①BEDE，AD//BC，ADBC， ①MDENBE,DMEBNE, ①DME≌BNEAAS, ①DMBN， ①AMCN， 故①正确； 假设A90，

那么平行四边形ABCD是矩形，

由矩形的对角线相等，而点E是矩形的对角线的交点可知， E点到B、C两点的距离相等， ①E点在BC的垂直平分线上， 由MDAM，可得BN=CN， 所以N点是BC的中点， ①MN垂直平分BC， ①BMCM， 故①正确；

假设MD2AM，那么BN=2CN，

如图1，分别过D、E两点向BC作垂线，垂足分别为Q点和P点， ①E点是BD中点， ①DQ=2EP， ①S△MNC11CNDQ=CN2EP=CNEP， 22SBNE11BNEP=2CNEP=CNEP 22①S△MNCS△BNE， 故①正确；

假设ABMN， 因为ABDC， 所以DCMN，

分别过N、C两点向AD作垂线，垂足分别为H、K， 由平行线间的距离处处相等可知：NH=CK， ①RtNHM≌RtCKDHL， ①NMDMDC， ①MND≌DCMSAS, ①MNDDCM， 又①NFMCFD， ①MNF≌DCFAAS, 故①正确； 应选：D．

【点睛】

此题综合考查了平行四边形的性质、矩形的判定与性质、线段的垂直平分线的判定与性质、全等三角形的判定与性质等内容，解决此题的关键是牢记相关概念与性质，能熟练运用全等三角形的判定与性质进行角或边之间关系的转化等，此题对推理分析能力要求较高，属于中

等难度偏上的题目，对学生的综合分析能力有一定的要求． 11．A 【分析】

作DF①AB于F点，EG①BC于G点，根据坡度求出DF=50，AF=120，从而分别在①BEG和①CEG中求解即可． 【详解】

如图，作DF①AB于F点，EG①BC于G点， 那么四边形DFBG为矩形，DF=BG， ①斜坡AD的坡度i1:2.4， ①tanDAF①AD=130， ①DF=50，AF=120， ①BG=DF=50，

由题意，①CEG=60°，①BEG=45°， ①①BEG为等腰直角三角形，BG=EG=50， 在Rt①CEG中，CG=3EG=503， ①BCBGCG50503136.6米， 应选：A．

15DF， 2.412AF

【点睛】

此题考查解直角三角形的实际应用，正确理解坡度的定义，准确构建适宜的直角三角形是解题关键． 12．A 【分析】

根据题中条件确定出点P的轨迹是线段，那么线段DQ的最小值就转化为定点D到点P的

轨迹线段的距离问题． 【详解】 解：

AP与AQ固定夹角是60，AP:AQ1，点P的轨迹是线段，

Q的轨迹也是一条线段．

两点确定一条直线，取点P分别与B,C重合时，所对应两个点Q， 来确定点Q的轨迹，得到如下标注信息后的图形：

求DQ的最小值，转化为点D到点Q的轨迹线段的距离问题，

AB5,BC53,

在RtABC中，tanBAC533,BAC60,

5AB//DC,DCA60，

将AC逆时针绕点A转动60后得到AQ1，

ACQ1为等边三角形，DCDQ15, Q2为AC的中点，根据三线合一知， CQQ1230,

过点D作Q1Q2的垂线交于点Q,

在RtQQD中，30对应的边等于斜边的一半， 1DQ15DQ1， 225DQ的最小值为，

2应选：A．

【点睛】

此题考查了动点问题中，两点间距离的最小值问题，解题的关键是：需要确定动点的轨迹，才能方便找到解决问题的突破口． 13．3.2108 【分析】

根据科学记数法的一般形式a×10n〔1≤①a①＜10，n为整数〕确定出a和n值即可． 【详解】 解：①1亿=108,， ①3.2亿=3.2×108， 故答案为：3.2×108． 【点睛】

此题考查科学记数法，熟记科学记数法的一般形式，正确确定a和n值是解答的关键．

yx50214．

2xy503【详解】

【分析】甲持钱数为x，乙持钱数为y，根据题意可得：甲的钱+乙的钱的一半=50，乙的钱+甲所有钱的

2=50，据此列方程组即可. 3【详解】由题意可得，

yx502， 2xy503yx502故答案为．

2xy503【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意，找出适宜的等量关系是解题的关键.

15．①①

【分析】

根据二次函数的图象与性质对各项进行判断即可． 【详解】

解：①抛物线的开口向下，与y轴的交点在y轴的正半轴， ①a＜0，c＞0，

①抛物线的对称轴为直线x=1， ①﹣

b=1，即b=﹣2a＞0 2a①abc＜0，故①错误；

①抛物线与x轴的一个交点坐标为〔3，0〕，

①根据对称性，与x轴的另一个交点坐标为〔﹣1，0〕， ①a﹣b+c=0，故①正确；

根据图象，y是有最大值，但不一定是3，故①错误； 由ax2bxc10得ax2bxc=﹣1， 根据图象，抛物线与直线y=﹣1有交点， ①ax2bxc10有实数根，故①正确， 综上，正确的为①①， 故答案为：①①． 【点睛】

此题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质，会利用数形结合思想解决问题是解答的关键． 16．4 【分析】

设AB与半圆的交点为D,连接DC,根据题意,得到阴影局部的面积等于S【详解】

解：如图，设AB与半圆的交点为D，连接DC， ①BC是直径， ①①BDC=90°，

ACD，计算即可

①①ACB=90°，AC=BC=4， ①①DBC=①DCB=45°，AD=BD， 过点D作DE①BC，垂足为E， 那么①CDE=①BDE=45°， ①CE=EB=ED=2， ①半圆关于直线DE对称， ①阴影局部的面积等于S①S1=SACD2ACD，

ABC=

1144=4 22故答案为：4． 【点睛】

此题考查了等腰直角三角形的判定和性质，直径所对的圆周角是直角，圆的对称性， 利用圆的对称性化阴影的面积为三角形的面积加以计算是解题的关键． 17．422 【分析】

根据矩形的性质和正方形的性质，证明△BEF△GEF，从而BFFG2，又因为

AGFGAEEG【详解】

21AB，代入求解即可．

解：①四边形ABCD是矩形,ABAB，

①ABCD,ADBC,BC90,且四边形ABEB是正方形， ①ABBE， ①BECD， 又①DEEF，

①△BEF△CDE， ①BFCE2

又①△BEF△GEF〔折叠，

①BFFG2，BEGE,FGEB90 ， 设ABx,那么AE2x，

①AGAEGEAEBEAEAB又①AE是正方形ABEB对角线， ①GAF45 ， ①AFG45 ， ①FGAG ， ①

21x ，

21x2 ，解得：x222，即ABBE222 ，

①ADBCBEEC2222422． 故答案为：4+22 【点睛】

此题考查的是矩形的性质，正方形的性质和判定，三角形全等等相关知识点，根据题意找到等量关系转换是解题的关键．

5318．22【分析】

n1

根据题中条件，证明所有的直角三角形都相似且确定相似比，再具体算出前几个正方形的边长，然后再找规律得出第n个正方形的边长． 【详解】 解：

点B1在直线l:y1x上，点B1的横坐标为2， 2点B1纵坐标为1．OB122125,

分别过B1，C1,,C4作x轴的垂线，分别交于D,D1,,D4，以下图只显示一条；

B1DA1C1DB190,B1ODA1B1D,

RtB1DO∽RtA1DB1类似证明可得，图上所有直角三角形都相似，有

CAB1D1B1A1C1A2nn1， OD2OB1C1A1CnAn不妨设第1个至第n个正方形的边长分别用：l1,l2,,ln来表示，通过计算得：

l1OB15， 223l153， 2222l2l1C1A23l53l3l2C2A32

222

3l53lnln1Cn1Ann1222n1

n153按照这个规律进行下去，那么第n个正方形AnBnBn1Cn的边长为2253故答案是：22【点睛】

n1，

．

此题考查了三角形相似，解题的关键是：利用条件及三角形相似，先研究好前面几个正方形的边长，再从中去找计算第n个正方形边长的方法与技巧． 19．〔1〕【分析】

a；13；〔2〕x1 a3〔1〕先根据分式混合运算法那么化简，然后代入条件求值即可； 〔2〕根据解一元一次不等式的步骤求解即可． 【详解】

3a1a21a1 解：〔1〕原式2a1(a3)a(a3)a12

a1(a3)a

a3当a33时， 原式333313；

3333〔2〕8(7x1)2(3x2)

87x16x4 7x6x49 13x13 x1．

【点睛】

此题考查分式的化简求值，解一元一次不等式等，掌握相应的运算法那么，注意分母有理化是解题关键．

20．〔1〕50，72；〔2〕960人；〔3〕【分析】

〔1〕根据样本容量=样本中某工程的频数除以该工程所占的百分数，求得样本容量，利用圆心角度数=某工程所占的百分数乘以360，计算即可； (2)计算出各组的人数,利用样本估计总体的思想计算即可； 〔3〕利用画树状图法计算概率； 【详解】

1 6〔1〕①样本容量=

1450， 28%①共有50人参与调查；

①等级C组所对应的扇形的圆心角为：故答案为：50，72；

〔2〕B组人数：5012%6〔人〕 D组人数：5046101416〔人〕 该校优秀人数：1600〔3〕树状图

10360=72， 501614960〔人〕 50

P〔抽到E1，E2〕【点睛】

21 126此题考查了统计表，扇形统计图，样本容量，画树状图求概率，掌握统计图的意义，并能灵活运用画树状图法进行相关计算是解题的关键． 21．〔1〕24；〔2〕M点的坐标为(8,3) 【分析】

(1)根据交点坐标的意义，求得点P的横坐标，利用k=xy计算m即可； 〔2〕利用分类思想，根据正切的定义，建立等式求解即可. 【详解】

解：〔1〕①点P纵坐标为4， ①41x1，解得x6， 2∴P(6,4)

①4=m， 61， 2①m24． 〔2〕①tanPMD①

PD1， PM2设PDt(t0)，那么DM2t， 当M点在P点右侧，

①M点的坐标为(62t,4t)， ①〔6+2t〕〔4-t〕=24， 解得：t1当t11，t20〔舍去〕，

1时，M(8,3)，

①M点的坐标为(8,3)， 当M点在P点的左侧， ①M点的坐标为(62t,4t)， ①〔6-2t〕〔4+t〕=24，

解得：t10，t21，均舍去． 综上，M点的坐标为(8,3)． 【点睛】

此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数解析式确实定，三角函数，一元二次方程的解法，熟练掌握函数图像交点的意义，灵活运用三角函数的定义，构造一元二次方程并准确解答是解题的关键． 22．〔1〕30人；〔2〕39天 【分析】

〔1〕设当前参加生产的工人有x人，根据每人每小时完成的工作量不变列出关于x的方程，求解即可；

〔2〕设还需要生产y天才能完成任务．根据前面4天完成的工作量＋后面y天完成的工作量＝760列出关于y的方程，求解即可． 【详解】

解：〔1〕设当前参加生产的工人有x人， 依题意得：

1615，

8(x10)10x解得：x30，

经检验，x30是原方程的解，且符合题意． 答：当前参加生产的工人有30人．

〔2〕每人每小时的数量为168400.05〔万剂〕． 设还需要生产y天才能完成任务，

依题意得：41540100.05y760， 解得：y35，35439〔天〕 答：该厂共需要39天才能完成任务． 【点睛】

此题考查分式方程的应用和一元一次方程的应用，分析题意，找到适宜的数量关系是解决问题的关键．

23．〔1〕见解析；〔2〕见解析 【分析】

〔1〕根据等腰三角形的性质得出ABBE，再根据一组对边平行且相等证明即可； 〔2〕先证矩形ABCD是正方形，再证△EGF≌△AGD，得出GFGD，再证

DGF90即可．

【详解】

证明：〔1〕①ABCD是矩形，

∴AB//CD，CBAE，

又

ACEC，

ABBE，

∴BE//CD，

①四边形BECD是平行四边形． 〔2〕

ABAD，

①矩形ABCD是正方形，

CAE45，

EGAC，

∴EGAE45， ∴GEGA，

又AFBE，

ABFE，

∴FEAD，

又DACE45，

∴△EGF≌△AGD，

GFGD，DGAFGE，

DGFDGAAGFEGFAGFAGE90，

DGF是等腰直角三角形．

【点睛】

此题考查了矩形的性质、平行四边形的判定、正方形的判定与性质和全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练准确运用相关知识进行推理证明． 24．〔1〕yx23x4；〔2〕y【分析】

〔1〕将A(4,0)，B(1,0)代入yax2bx4(a0)中，列出关于a、b的二元一次方程组，求出a、b的值即可；

PQ15154x；P点坐标为(2,6) 〔3〕有最大值为，

QB588DPBOEB，〔2〕设BP与y轴交于点E，根据PD//y轴可知，当DPB2BCO，

即OEB2BCO，由此推断OEB为等腰三角形，设OEa，那么CE4a，所以BE4a，由勾股定理得BE2OE2OB2，解出点E的坐标，用待定系数法确定出BP的函数解析式即可；

〔3〕设PD与AC交于点N，过B作y轴的平行线与AC相交于点M．由A、C两点坐标

可得AC所在直线表达式，求得 M点坐标，那么BM5，由BM//PN，可得

△PNQ∽△BMQ，

PQPNPN2，设P(a0,a03a04)(4a00)，那么QBBM5223a04(a04)a04a0(a02)24PQa0N(a0,a04)，根据二次函数

QB555性质求解即可． 【详解】

解：〔1〕由题意可得：

a(4)2b(4)40 ab+40解得：a1，

b3①二次函数的表达式为yx23x4； 〔2〕设BP与y轴交于点E，

①PD//y轴，

∴DPBOEB， ∵DPB2BCO， ∴OEB2BCO，

ECBEBC，

BECE，设OEa，

那么CE4a，∴BE4a，

在RtBOE中，由勾股定理得BE2OE2OB2，

∴(4a)2a212

解得a15， 815∴E0,，

8设BE所在直线表达式为ykxe(k0)

1515k,k0e,8 8解得15e.k1+e0.8①直线BP的表达式为y1515x． 88〔3〕设PD与AC交于点N．

过B作y轴的平行线与AC相交于点M．

由A、C两点坐标分别为(4,0)，(0,4) 可得AC所在直线表达式为yx4 ①M点坐标为(1,5)，BM5

由BM//PN，可得△PNQ∽△BMQ，

∴PQPNPN QBBM52设P(a0,a03a04)(4a00)，那么N(a0,a04)

223a04(a04)a04a0(a02)24PQa0∴， QB555①当a02时，

PQ有最大值0.8， QB此时P点坐标为(2,6)． 【点睛】

此题主要考查二次函数以及一次函数解析式确实定，函数图像的性质，相似三角形，勾股定理等知识点，熟练运用待定系数法求函数解析式是解题关键，此题综合性强，涉及知识面广，难度较大，属于中考压轴题．

25．〔1〕见解析；〔2〕①见解析；①AC【分析】

〔1〕连接BC，根据ACBBCE90，ECDBCD90且BDCD，那么

7 2EECD，即可推导出CDED；

〔2〕①CFCH，那么AFOCHF，又BDCD，CADBAD，那么

△AFO∽△AHC，进而推导出CFAFFOAH；

①连接OD交BC于G，设OGx，那么DG2x，根据在Rt△OGB和Rt△BGD中 列式22x212(2x)2，进而求得x的值，再根据中位线定理求出AC的长． 【详解】

证明：〔1〕连接BC， ①AB为直径

①ACBBCE90

ECDBCD90

①BDCD ①EBCBCD ①EECD ①CDED．

〔2〕①①CFCH ①CFHCHF 又①AFOCFH ①AFOCHF 又①BDCD ①CADBAD ①△AFO∽△AHC

AFOF AHCHAFOF① AHCF①

①CFAFOFAH

①连接OD交BC于G． 设OGx，那么DG2x ①CDBD ①CODBOD 又①OCOB ①ODBC，CGBG

在Rt△OGB和Rt△BGD中

22x212(2x)2

①x77即OG

44①OAOB

①OG是ABC的中位线

1AC 27①AC．

2①OG

【点睛】

此题考查了等弧对等角、相似三角形、等腰三角形、中位线等有关知识点，属于综合题型，借助辅助线是解决这类问题的关键．