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第一单元 图形的变换

（1）轴对称图形的概念：如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形。沿着的那条对折直线叫做对称轴。

（2）轴对称图形的性质：在轴对称图形中，对称轴两侧相对的点到对称轴两侧的距离相等。 （3）平移：沿着直线移动，这样的现象叫做平移。 （4）旋转：物体都绕着一个固定的点或一个固定的轴移动，这样的现象叫做旋转。 （旋转三 要素：旋转中心、旋转方向、旋转角）

（5）等腰三角形有 1 条对称轴，等边三角形有 3 条对称轴，长方形有两条对称轴，正方形有 四条对称轴，正五边形有 5 条对称轴，正六边形有 6 条对称轴，圆形有无数条对称轴。 （6）

第二单元 因数和倍数

0）。 注意：为了方便，在研究因数和倍数的时候，我们所说的数指的是整数（一般不包括 1、整除：被除数、除数和商都是非 0 的自然数，并且没有余数。 如果 a 能被 b 整除，那么 b 是 a 的因数， a 是 b 的倍数 一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是 然数的因数。

1，最大的因数是它本身。 1 是所有自

一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身。没有最大的倍数。

2、自然数按能不能被 2 整除来分： 奇数 偶数

奇数：不能被 2 整除的数， 最小的奇数是 1 偶数： 能被 2 整除的数， 最小的偶数是 0

连续的奇数，如 1、 3、 5 等，连续偶数如、 12、14、 16、等，连续的奇数或连续的偶数 前后相差 2。 用字母表示连续的奇数或偶数（ a-2 ）、 a、（ a+2） 3、 2、 3、 5 倍数的特征

个位上是 0，2，4，6，8 的数都是 2 的倍数 。 个位上是 0 或 5 的数，是 5 的倍数 。

同时是 2 和 5 的倍数个位必须是

0

一个数各位上的数的和是 3 的倍数，这个数就是 3 的倍数 。 能同时被 2、3、5 整除的最大的两位数是

90，最小的两位数是 30，最小的三位数是 120。

4、自然数按因数的个数来分： 质数、合数、 1

质数：有且只有 两个因数， 1 和它本身。 最小的质数是 2

合数：至少有 三个因数， 1、它本身、别的因数， 最小的合数是 4

1： 只有 1 个因数。 “1”既不是质数，也不是合数。

每个合数都可以由几个质数相乘得到。

在自然数中， 既是偶数又是质数的只有 2。20 以内即是奇数又是合数的如 9、15 等） 100 以内的质数： 2、 3、5、 7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、 43、47、53、59、

61、67、71、73、79、 83、 、97

第三单元 长方体和正方体

（1）我们周围许多物体的形状都是长方体或正方体（正方体也叫立方体） 。 （2）棱长是 1cm 的正方体，体积是 1cm3（大约是一个手指尖的体积或一粒骰子）

棱长是 1m 的正方体，体积是 1m3， 也叫 1 方， 1 方 =1m3 （大约课室一部电视的体积）相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方形的 长、宽、高 。 （3）长方体或正方体 6 个面的 总面积，叫做它的 表面积 。 （4）物体所占 空间的大小 叫做物体的 体积 。

（5）长方体和正方体都有 6 个面， 12 条棱和 8 个顶点，正方体可以说是长、宽、高都相等的长方体，它是一种 特殊的长方体 。

（6）相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做 长方形的长、宽、高 。 （7）计量体积要用 体积单位，常用的体积单位有立方厘米、立方分米、立方米

（8）箱子、油桶、仓库等 所能够容纳物体的体积， 通常叫做它们的 容积 。计量容积，一般就 用体积单位。计量液体的体积，如水、油等，常用容积单位 升和毫升 。 （9）单位进率

单位名称 相邻两个单位间的进率

长度 米、分米、厘米 10 面积 平方米、平方分米、平方厘米 100

立方米、立方分米、立方厘米（升、毫升） 1000 体积

（9）长方体和正方体公式： (一般用 C 字母代表棱长总和，用 S 代表面积，用 V 代表体积 ) 名称 图形

长方体

正方体（特殊的长方形）

面

特征

棱

有 6 个面，每个面是长方形 （或有两个相对 有 6 个面， 6 个面都是正方形， 6 个面的面积相等。 的面是正方形），相对的面面积相等。

有 12 条棱，相对的 4 条棱的长度相等。 有 12 条棱，12 条棱的长度都相

等，叫做棱长。

有 8 个顶点。

正方体棱长总和 =棱长× 12 反之 棱长 =棱长总和÷ 12 正方体表面积 =棱长×棱长× 6 S=6a

顶点 有 8 个顶点。 棱长 长方体棱长总和 =（长 +宽 +高）× 4 总和 反之 高 =棱长总和÷ 4－长－宽 表面

计算 公式

积

长方体表面积 =长×宽× 2+长×高× 2+宽×高× 2

上或下

前或后

左或右

2

长方体体积 =长×宽×高

正方体的体积 棱长×棱长×棱长

=

体积

V=a× b× c

V=a×a× a=a3

长方体和正方体统一的体积公式： 体积 =底面积×高V=sh

3

3

单 位 1 立方米（ m）=1000 立方分米 (dm) =1000 升(L)

331 立方分米 (dm)=1000 立方厘米 (cm)=1000 毫升 (lm) 进率

相邻的两个体积单位间的进率是 1000。

9、 a3 读作“ a 的立方”表示 3 个 a 相乘，（即 a·a·a）例如 0.1 3=0.1 × 0.1 ×0.1=0.001

×进率 ÷进率

【体积单位换算】

高级单位 低级单位 低级单位 高级单位 10、长方体的长、宽、高同时扩大 a 倍，表面积扩大 a 的平方倍，体积扩大 a 的立方倍。

正方体的棱长扩大 a，表面积扩大 a 的平方倍，体积扩大 a 的立方倍。

如、一个长方体长宽高都扩大

3 倍，表面积扩大 9 倍，体积扩大 27 倍。

11、两个小正方体 拼成一个长方体，表面积 减少 2 个面（棱长×棱长× 2），体积不变。

一个大长方体 切成两个小正方体，表面积 增加 2 个面（棱长×棱长× 2），体积不变。

12、不规则物体的体积：

体积 =总体积 - 水的体积

或 体积 =长×宽×上升的高

知道上升的高用第 2 个公式，反之用第 1 个。

第四单元 分数的意义和性质

（1）产生：在进行测量时、分物或计算时，往往不能正好得到整数的结果，这时常用分数来表示。

（2）意义：把单位“ 1”平均分 成若干份，表示这样的一份或几份都可以用数叫做分数。 单位“ 1”可以是一个物体、一些物体或一个图形。

（3）把单位“ 1”平均分成若干份，表示其中 一份的数叫做 分数单位 。都写作 （n≠0）

n

（4）分数表示两个含义：

具体的数（带单位）：总数÷份数

两个数之间的关系（通常不带任何单位） ：即一个数是（或占）另一个数的几分之几？

前一个数 ÷ 后一个数，再写成分数

例如：把 6 米长的绳子平均分成 7 段，每段是这根绳子的（

1

1 ），每段长（ 6 ）米。 7 7

把 10 克糖溶解在 100 克水中，糖占糖水的几分之几？ 10÷（ 10+100）= 11

1

（5）分数与除法

区别：分数可以看成两个数相除，除法只是一个算式。 被除数相当于分子，除数相当于分母，商相当于分数值。

被除数÷除数 = 被除数

除数

÷ a a b= b

（ 不为 ） b 0

（6）分数的分类

真分数： 分子比分母小的分数。 真分数＜ 1

假分数： 分子比分母大或分子和分母相等的分数。 假分数≥ 1 带分数： 整数带着一个真分数。

假分数和带分数的互换 ：①把假分数化成整数或带分数，要用分子除以分母，能整除就 是整数，不能整除的，商是带分数的整数部分，余数就是分数部分的分子， 分母不变 。②带分数化成假分数，用整数部分乘以分母，再加上分子，作为新分子， 分母不变 。

（ 7）分数的基本性 ： 分数的分子和分母同 乘以或除以相同的数（ 0 除外），分数的大小不 。 （ 8）最大公因数：几个数公有的因数，叫做它 的公因数。其中，最大的那个公因数，叫做

8 和 12 它 的最大公因数。最大公因数的求法：例如

①列 法 ： ②分解 因数： 8 的因数： 1、8、 2、 4、 8=2×2×2 12 的因数： 1、12、2、6、3、4、 12=2×2×3 公有的 因数相乘 2× 2=4 ③短除法 ： 公有 独有 4 8 12 最大公因数是除数： 4

2 3

（9）一个分数的 分子和分母只有公因数 1，像 的分数叫做 最 分数 。最 分数的分子和 分母是互 关系。 （10）把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比 小的分数，叫做 分。

公因数只有 1 的两个数，叫做 互 数 。两数互 的特殊情况： 1 和任何自然数互 ；相

两个自然数互 ；两个 数一定互 ； 2 和所有奇数互 ； 数与比它小的合数互 ；

（11）把一个分数化成最 分数，分子和分母同 除以分子和分母的最大公因数。 （12）最小公倍数：几个数公有的倍数，叫做它 的 公倍数 。其中，最小的那个公倍数，叫 做它 的 最小公倍数 。求法：例如 8 和 12 ①列 法 ： ②分解 因数： 8 的倍数： 8、16、24、32⋯ 8=2× 2× 2 12 的倍数：12、24、36⋯ 12=2× 2× 3 公有的 因数×独有的： 2× 2× 2× 3=24 ③短除法 ： 公有 独有 4 8 12 最大公因数是除数×商： 4×2×3=24

2 3 （13）分数比 大小：分母相同的两个分数分子越大，分数就越大。

分子相同的两个分数分母越小，反而分数越大。

（14）像 ，把异分母分数分 化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。

（15）小数表示的就是十分之几、百分之几、千分之几 ------- 的数，所以可以直接写成分母是 10、100、 1000，---- 的分数，在化 。 分母是 2、4、5、 8、 25、125 的数很好化成是分母是 10、 100、1000、----- 的分数。 2× 5=10 4× 25=100 125×8=1000 （16）分母不是 10、100、1000、---- 或者不能化成分母是 10、100、1000---的分数，那么用 分数的分子除以分母，除不尽 ，要根据需要按“四舍五入”法保留几位。 （17）当两个数是 倍数关系 ， 两个数的最大公因数是 小数，最小公倍数是 大数。 （18）当两个数是 互 关系 ， 两个数的最大公因数是 1，最小公倍数是他 的乘 。 （19）常 的分数与小数的互 ：

1

1

=0.5

2 =0.125

1

3

=0.25 4 =0.375

3

5

=0.75 4 =0.625

1

7 =0.2 5

2

=0.4 5

3

=0.6 5

4

=0.8 5

=0.875

8 8 8 8

1 =0.05 20 1 =0.04 。 25

第五单元分数的加减法

（1）同分母分数加减法：同分母分数相加、减，分母不不变，只把分子相加、减。 （2）异分母分数加减法：先通分，然后按同分母分数加减法进行计算。 （3）分数加减混合运算顺序：

在没有括号的算式里，只有加、减法，从左到右进行计算。 在有括号的算式里，先算括号里面的，再算括号外面的。 （4）交换两个分数的位置，和不变，这叫做分数加法交换律。

（5）三个分数相加，先算前两个分数，再加上第三个分数；或者先算后两个分数，再加上第一个分数，这叫做分数的结合律。

（6）一个数连续减去几个数，就等于减去这几个数的和。

第六单元 统 计

（1）在一组数据中出现次数最多的数，叫做这组数据的众数。众数能够反映一组数据的集中情况。

（2）当一组 数据相差不是很大 时，可以用平均数来表示；

（3）如果有 偏大偏小数据出现 ，而中间的数比较集中，可以用中位数来表示；

（4） 如果有一个数据出现的次数 超过一半或一半以上 的时候，用众数来表示这组数据的总体情况比较好。

（5）平均数、中位数、众数比较 统计量

平均数

相同点

代表，从不同

优点 缺点

易受极端 值的影响 反映数据

求法

公式：

平均数 =总数÷总份数 中间两数之和的平均数。

个数

唯一 唯一

都 是 数 据 的 反映平均水平 侧 面 反 映 了 反映一般水平 数 据 的 集 中 程度

中位数

不 能 全 面 先排序，找最中间的数或 有 多 个 众 出现次数最多 数 时 没 多 大意义

众数

反映出现最多 的数据

不唯一

（6）复式折线统计图

折线统计图直观、有效地表示数据，并对数据进行简单分析和预测。

特点：很容易地看出数量的增减变化的情况。

单式折线统计图与复式折线统计图有什么不同：复式折线统计图可以比较容易地比较出两组数据的变化趋势。

在制作复式折线统计图时，要注意画出图例， 先描点，再连线，最后标数据 。（7）打电话：（方法： 逐个法，分组法 ，

时间 通知人数

① ② ③ ④ ⑤ ⑥

1—— 3—— 7—— 15—— 31—— 63⋯⋯

第七单元数学广角

物品的个数

至少称几次保证找出次品

2~3 4~9 10~27

1 2 3

28~81 82~243

4 5

方法：尽量平均分成 3 份，使份数之间最多相差 1.（例如： 8（ 3， 3， 2）） 如 10 个物品，其中有一个是次品，次品重一点。

平衡 2（1,1） 共 3 次

平衡， 4（1，1，2）

不平衡 共 2 次

10（3，3，4）