第2章泛函的极值

第2章 泛函的极值

在讨论泛函的极值以前, 咱们先来回忆一下函数的极值问题。

函数的极值性质

2.1.1 函数的持续性

任意一个多元函数f(x),x(x1,x2,...,xn)TRn, 0, 若是()0, 当

xx0 (或说xO(x0,))时, 有

f(x)f(x0)

xx0那么, 咱们称f(x)在x0处是持续的, 记为f(x0)limf(x)。

2.1.2 函数的可微性

更进一步, 若是存在A(A1,

,An)TRn, 使得

Ailimf(x01,xx0,xi,,x0n)f(x0),1in

xix0i那么咱们称f(x)在x0处是可微的, 或说存在(一阶)导数,记为

f'(x)A

或记为

fffff'(x),,...,

xnx1x2T其中为梯度算子(或Hamilton算子, 见附1)。同理, 能够概念该函数的两阶导数f\"(x)

2fx212fDff\"(x)x2x12fxxn22fx1x22f2x22fxnx22fx1xn2fx2xn

2f2xn及更高阶导数。 那个地址Df也称为Jacobi矩阵。

若是函数f(x)在某点x0足够滑腻, 那么咱们就能够够在该点周围把函数作以下的展开

12f(x0dx)f(x0)df2!dfo(dx)2

dfdxTf(x0)d2fdxTDf(x0)dx

其中o()为高阶小量, df,d2f别离为函数f(x)的一阶微分和两阶微分。

换个角度来看, 若是

1f(x0dx)f(x0)L(x0,dx)2!Q(x0,dx)o(dx)

2其中L(x0,dx)为dx的线性函数, 而Q(x0,dx)为dx的两次函数, 那么L(x0,dx)为f(x)的一阶微分, Q(x0,dx)为f(x)的两阶微分。

2.1.3 函数的极值

关于足够小的0, 若是xO(x0,)，总有f(x)f(x0), 那么咱们称f(x)在 若是xO(x0,)，总有f(x)f(x0), 那么咱们称f(x)在x0有极小值。x0有极大值。

那个地址O(x0,){xxx0}为x0的邻域。

若是f(x)在某一点x0周围足够滑腻, 那么f(x)在x0有极值的必要条件为 或说

dfdxTf(x0)0 f(x0)0

更进一步, 若是Df(x0)0, 那么f(x)在x0有极大(小)值的充分条件为

dfdxTf(x0)0dfdxDf(x0)dx0(0),dx012!2T

或说是

f(x0)0Df(x0)0(0)

其中Df(x0)0表示是负定矩阵。

泛函的极值

2.2.1函数的邻域

概念在区间(a,b)上的函数yy0(x)的一阶邻域概念为: 关于0, 始终知足

y(x)y0(x),x(a,b)y'(x)y'0(x),x(a,b)

咱们称同时知足上述两式的函数y(x)的集合是y0(x)的一阶邻域。一样能够概念函数的高阶邻域。

2.2.2泛函的极值

变分引理: 若是函数f(x)C[a,b], 关于在[a,b]上知足(a)(b)0的、足够

0滑腻的任意函数(x), 若是老是成立

b

f(x)(x)dx0

a那么在x(a,b)必有

f(x)0

证明: 用反证法。 假设有x0(a,b)使得f(x0)0, 不失一样性设 f(x0)0。由

f(x)C0[a,b], 必然存在0, 使

f(x)0,x[x0,x0](a,b)

如此咱们总能够构造下面一个持续函数(x)

(x)3(x)3,x(,) (x)

0,x(,)

其中

x0,x0

能够证明

(x)C2(a,b)

bx0如此

f(x)(x)dxf(x)(x)dx0

ax0显然与引理条件矛盾, 因此关于任意的x[a,b]都有

若是泛函J[y]在yy0(x)的一阶邻域内都不大(小)于J[y0], 那么咱们称泛函

f(x)0

以上结果容易推行到二维或更高维的情形。

J[y]在yy0(x)有极大(小)值。 也确实是说

J[y]J[y0](极小), J[y]J[y0](极大) （2.2.1）

使J[y]取到极值的函数称为极值函数。

下面从最简单的泛函来讨论使泛函取到极值的必要条件。

*bJ[y]F(x,y,y')dx,y(a)y0,y(b)y1

a若是yy(x)使J[y]函数y(x)应有

baF(x,y,y')dx取到极值, 那么关于yy*(x)的一阶邻域内的

J[y]J[y*](极小)或J[y]J[y*](极大)

此刻用变分引理导出泛函取极值的必要条件。取

y(x)y*(x)(x)

由于y(a)y0,y(b)y1, 因此

(a)(b)0

**当足够小的时候, y(x)属于yy(x)的邻域。当yy(x)和(x)给定以后, J[y]应

该是关于的函数

J[y]F(x,y*,y*'')dxJ()

ab*因为J[y]在yy(x)处取极值, 0应该是J()的极值点。依照函数极值的必要条件

dJ()|00 db这就意味着

a[FdF()](x)dx0 ydxy'若是令

y

那么有

J[abFdF()]ydx0 ydxy'考虑到y的任意性，依照变分引理有

FdF()0 （2.2.2） ydxy'这确实是该泛函极值问题的Euler方程。

若是只限定y(a)y0、而放松xb处的要求，那么概念域

Y{yC[a,b],y(a)0}

（2.2.3）

1

J[abFdFF()]ydxyydxy'y'xb0

若yy(x)是泛函J[y]在Y上的极值，限定

Yo{yC[a,b],y(a)y0,y(b)y(b)y1}Y

则yy(x)必是泛函J[y]在Yo上的极值，依照（2.2.2）有

FdF()0,x(a,b) (2.2.4) ydxy'Fy'

代入（2.2.3）并考虑y(b)的任意性可得

xb0 (2.2.5)

要使J[y]在yy(x)处取极值, 那么意味着必需同时知足（2.2.4）和（）

关于更一样的泛函咱们一样能够取得下面的泛函极值定理。

定理 若是泛函J[y]在yy0(x)上达到极值，那么泛函在yy0(x)上的一阶变分

J知足

J0

证明：

依照泛函极值的概念，若是泛函J[y]在yy0(x)上达到极大值, 那么必然存在y0(x)的一个领域, 关于该领域内的任何一个函数y(x), 使得泛函的增量JJ[y0]J[y]不变号, 由前面的推导(1.4.6)

1JJ2!2J...

其中

J2dJ[y]|0

d2d2J[y]J|0d2

显然, 当充分小时, J的符号由J部份确信。若是J0, 咱们老是能够调整的符号使得J改变符号, 这与假设矛盾。 因此J0是泛函有极值的必要条件。

尽管J0不是泛函有极值的充分条件，但往往仍成心义。关于仅仅知足J0的泛函J，咱们称在该点取驻值。

2.2.3 泛函的Euler方程

由泛函J0所取得的微分方程（包括边界条件）称为泛函的Euler方程。 例

bJ[y]F(x,y,y')dx

a的Euler方程为

例

21bdyJ[y]p(x)q(x)y2dx,2adx

FdF()0 ydxy'y(a)y0,y(b)y1

Jp(x)q(x)yydxadxdxddyp(x)q(x)yydx0adxdxbbdydy

取得

ddyp(x)q(x)y0 dxdx上式称为Sturm-Liouville方程。结合边界条件y(a)y0,y(b)y1, 组成第一边值问题的Sturm-Liouville问题。

例

22J[y]uxuydxdy

G上述泛函能够写成

J[y]G(uu)dxdy

其一阶变分为

J2(uu)dxdyG2(uu)u(u)dxdyG

依照格林公式有

J2Guuds2uudxdy0

Gn当边界上值给按时,

uG0，能够取得相应的Euler方程

u0

这是一个Laplace 方程。若是只在部份边界G1上给定函数值，那个地址GG1G2，那么除上述的Laplace 方程外还应知足

un例

G20

1222u2uudxdy xxxyyyG2其中u及其法向导数在G的边界G上给定。

J[y]泛函的一阶变分为

JuGxxuxx2uxyuxyuyyuyydxdy

由于

2u2u2uuxx2uxyuyy2xxyy2(uxxux)(2uxyux)(uyyuy)uxxxux2uxyyuxuyyyuyxyy(uxxux)(2uxyux)(uyyuy)(uxxxu)(2uxyyu) xyyxx(uyyyu)uxxxxu2uxxyyuuyyyyuyuuuu2uu2uxyuxuyyuyuyyyuxxxxxxxyyxyuxxxxu2uxxyyuuyyyyuG依照格林公式, 由于u及其法向导数在G的边界G上给定, 即u有 从而

unG0，因此

uGuxGuyG0

Juxxxx2uxxyyuyyyyudxdy

G当泛函取极值时, 依照变分引理1取得

uxxxx2uxxyyuyyyy0

也确实是

例

22J[y(x,y,z)]uxuyuz22uf(x,y,z)dxdydz

G

u2u0

这是一个双调和方程。

其中u(x,y,z)在一部份边界G1（GG1G2）上给定：u(x,y,z)泛函能够写成

J[y]G1u(x,y,z)。

uu2uf(x,y,z)dxdydz

G其一阶变分为

J[y]2uu2uf(x,y,z)dxdydzG2(uu)uuuf(x,y,z)dxdydzG

udS2uuuf(x,y,z)dxdydzGGnu2udS2uuuf(x,y,z)dxdydzG2Gn2u当泛函取极值时, 依照变分引理2取得对应的Euler方程为

uf(x,y,z),(x,y,z)G u

0,(x,y,z)G2n这是一个Poisson 方程。

泛函的条件极值问题

2.3.1 函数的条件极值问题与Lagrange乘子

假设求极值的函数为

ff(x1,x2,...,xn)

gi(x1,x2,...,xn)0,1is （2.3.1）

n相应的约束条件为

第一, 自变量的微分必需知足约束条件, 也确实是说

xj1gijdxj0,(i1,2,...,s)

这意味着

gidx0,(i1,2,...,s) （2.3.2）

也确实是说dx必需与每一个约束函数的梯度正交。关于极值函数f, 若是在某点的梯度知足

fsg,iii1iR(i1,2,...,s)

那么, 沿着知足约束条件的方向有

dffdxigidx0

i1s该点也确实是条件极值点。反之, 若是要求沿着知足约束条件的方向有

dffdx0

必需有

fsg,iii1iR(i1,2,...,s)

如此, 就有 而

f*0 （2.3.3）

sffigi （2.3.4）

*i1因此关于约束极值问题, 咱们能够通过引进拉格朗日乘子iR(i1,2,...,s)来构造一个新的函数，能够把原先的条件极值问题转化为新函数f*的无条件极值问题。

2.3.2 存在代数约束下的泛函极值

泛函为

bJ[y1,y2,...,yn]F(x,y1,y2,...,yn;y1',y'2,...,y'n)dx （2.3.5）

a约束条件

i(x,y1,y2,...,yn)0(i1,2,...,s) （2.3.6）

注意∶上述约束是(a,b)上的恒等式，因此引入的是Lagrange函数、而不是Lagrange乘子。

能够通过引进Lagrange函数1(x),2(x),...s(x),把它转化成下面新泛函的无条件极值问题

bJ*[y1,y2,...,yn;1,2,...s]F*(x,y1,y2,...,yn;y1',y'2,...,y'n;1,2,...s)dx

a

s F*Fi(x)i （2.3.7）

i1那个地址Lagrange函数1(x),2(x),...s(x)是新泛函的自变函数，相应的Euler方程为 和

F*dF* ()0, (i1,2,...,n) （2.3.8）

yidxyi'i(x,y1,y2,...,yn)0, (i1,2,...,s)

如此共有个ns方程(恒等式)来决定ns个未知函数y1,y2,...,yn;1,2,...s。

例 第1章的短程线问题

J[y,z]x1x01y'z'dx, (x,y,z)0

22新的泛函为

J*'2'21yz(x)(x,y,z)dx x0x1相应的Euler方程为

(x)y(x)zdy'0

22dx1y'z'dz'0

22dx1y'z'(x,y,z)0

2.3.3 存在微分约束下的泛函极值

泛函为

bJ[y1,y2,...,yn]F(x,y1,y2,...,yn;y1',y'2,...,y'n)dx

a约束条件

i(x,y1,y2,...,yn;y1',y'2,...,y'n)0(i1,2,...,s) （2.3.9）

上述约束仍是(a,b)上的恒等式，通过引进Lagrange函数1(x),2(x),...s(x), 把它转化成下面新泛函的无条件极值问题

bJ*[y1,y2,...,yn;1,2,...s]F*(x,y1,y2,...,yn;y1',y'2,...,y'n;1,2,...s)dx

a

s F*Fi(x)i （2.3.10）

i1那个地址Lagrange函数1(x),2(x),...s(x)是新泛函的自变函数. 相应的Euler方程为 和

2.3.4 存在积分约束下的泛函极值

泛函为

b

F*dF* ()0, (i1,2,...,n) （2.3.11）

yidxyi'

i(x,y1,y2,...,yn;y1',y'2,...,y'n)0, (i1,2,...,s)

J[y1,y2,...,yn]F(x,y1,y2,...,yn;y1',y'2,...,y'n)dx

a约束条件为

x1x0 i(x,y1,y2,...,yn;y1',y'2,...,y'n)dxi,(i1,2,...,s) （2.3.12）

注意：与前面不同，那个地址约束条件为s个数值等式，而不是恒等式。从而能够通过引进Lagrange1,2,...s乘子（而不是函数）, 把它转化成下面新泛函的无条件极值问题

J*[y1,y2,...,yn;1,2,...s]

F(x,y1,y2,...,yn;y1',y'2,...,y'n;1,2,...s)dxjj（2.3.13）

*aj1sF*Fjjj1bs与新变分问题对应的Euler方程为 和

F*dF*()0, (i1,2,...,n) （2.3.14） yidxyi'x1x0i(x,y1,y2,...,yn;y1',y'2,...,y'n)dxi,(i1,2,...,s)

注意，此刻有n个微分方程(恒等式)和s个数值等式, 去决定n个未知函数y1,y2,...,yn和s个未知数1,2,...s。

例 悬索问题。 已知空间两点A, B和一条长为lAB的绳索, 假定绳索的长度不可改变, 而弯曲刚度是能够忽略不计。现把绳索的两头悬挂在AB两点, 求平稳时候绳索的形状。

取和最速降线问题一样的坐标系（图）, 记绳索的方程为

yy(x) y(x0)0,

那么边界条件为

y(xa)b

绳索的长度知足

a01(y')2dxl

a依照最小势能定理, 在平稳状态下绳索的势能最小

mg0y1(y')2dxmin

其中m是绳索单位长度的质量。也确实是说

Ma0y1(y')2dxmax

a为了求得上述的条件极值问题, 咱们引入新的泛函

M*y1(y')2dx0a0a01(y')2dxl

(y)1(y')2dxl由新泛函的极值条件取得

d(y)y'01(y')2dx1(y') 2a01(y')2dxl例 等周问题为一积分约束下的变分问题.

J[x,y]

l1(xy'yx')ds 2Gl0(x')2(y')2ds

例 在约束条件

u2d1

下使泛函

J[u]GF(x,y,z,u,ux,uy,uz)dV

取极值的函数知足Euler方程

FdFuxdFuydFuz u

udxdydz当F

12p(u)qu时，Euler方程为 2 (pu)quu

这是个特点值问题。 约束条件表示的是一个归一化条件。在后面咱们会详细讨论该问题。

变分问题中的边界条件

图可动边界

下面咱们讨论泛函

J[y]x1x0F(x,y,y')dx

极值问题中的边界条件。若是该泛函自变函数yy(x)的边界位置为x0,x1，那么相应的边界条件能够分为：

(1) 固定边界: 边界位置固定，边界上函数值固定，y(x0)y0,y(x1)y1；

(2) 自由边界: 边界位置固定，边界上函数值自由，x0,x1固定，y0,y1自由； (3) 可动边界: 边界位置不定，边界上函数值不定，x0,x1不定，y0,y1也不定； (4) 约束边界: 边界在固定的曲线(或曲面)上，0(x0,y0)0,1(x1,y1)0。 自由边界条件可视为特殊的约束边界条件：x0const,x1const。也能够考虑混合组合，譬如一端是固定的、另一端是自由的，等等。

为简单起见，假设在xx0处是固定边界，xx1是自由、可动或约束边界，而泛函为

J[y,x1]F(x,y,y')dx

x0x1那个地址J[y,x1]表示泛函自变量为自变函数y和边界的位置x1。计算

J[yy,x1x1]J[y,x1]x1x1x0F(x,yy,yy)dxF(x,y,y)dxx0x1x1F(x,y,y)x[FdF()]ydx (2.4.1 )

x11x0ydxyFyyx1(y,x1)由J0可得

Fdydx(Fy)0,x(x0,x1) F(x,y,y)x1xF1yyx10,xx1 (1) xx1是自由边界

现在x10，(2.4.3)式变成

FyFyx10yx10 (2) xx1是可动边界: 注意到 (见图

y1(yy)(x1x1)y(x1) y(x1)y(x1x1)y(x1)y(x(x

1)y1)x1y(x1)代入(2.4.3)，那么边界条件变成 (F(x,y,y)Fyy)Fx1x1yx1y10,xx1 如此可得xx1处的边界条件 (F(x,y,y)Fyy)Fx10,yx10 (3) xx1是约束边界: 边界在固定的曲线(或曲面)上，1(x1,y1)0, 现在

1xx11yy10 11考虑到(2.4.5), 可得(约束)边界条件

(2.4.2) (2.4.3)

(2.4.4)

(2.4.5)

(2.4.6)

F(x,y,y)Fyyx11/x1加上约束边界函数

Fy1/y1x1 (2.4.7)

1(x1,y1)0 (2.4.8)

即得xx1处的完整的边界条件。

象自由边界条件(2.4.4)、可动边界条件 和约束边界条件中 能够通过泛函取驻值(J0)取得，咱们称为自然边界条件。反之，固定边界条件和约束边界条件中 是泛函概念域中规定了的，咱们称为固定边界条件。操纵方程 和自然边界条件合称为Euler方程。

例

J[u(x,y,z)]p(u)2qu22fudVp(2guhu2)dS GG其一阶变分为

J[y]2puu2quu2fudVp(2gu2huu)dSGG2(puu)u(pu)quufudV2p(guhuu)dS

GG2(pu)qufudV2p(GGuhug)udSn依照J[y]0取得Euler方程

(pu)quf

及自然边界条件

uhug0 nG例 左端在xa处固定x(a)x0, 右端在y1(x1)上移动。 在右端要求知足

(F(x,y,y)FFy)x1x1yyx1y10,xx1

因此在右端有

F(x,y,y)'(x)y'例 J[y]F0,xx1 y'x101y'2dx；左端x0,y0，而右端在上移动

（a） :y1(x11)212操纵方程为

由于

2(x11)dx1-dy10

y/1y'2C

yax (b)

因此极值曲线为

在右端边界上知足条件

F(x,y,y)

考虑到

Fy'Fy'因此有

Fyy2(1x1)x1Fy1x1

11y'2,Fy'y'1y'2

11y'2[12(1x)y]x10 (c)

由(a) 、(b) 和(c) 可解答

4a34a2101 x112a1y1214a2即a为知足上述三次方程的一个实根，从而能够取得x1,y1。

也能够通过引进Lagrange乘子把固定边界问题转换成自由边界问题，如

J[y]baF(x,y,y')dx,y(a)y0,y(b)y1

新泛函为

J*[y,1,2]baF(x,y,y')dx1(y|ay0)2(y|by1)

Hamilton原理

以相空间作为描述对象，一个力学系统的动能能够表示为

1,q2,...,qn) TT(q1,q2,...,qn;qVV(q1,q2,...,qn)

L(q1,q2,...,qn;q1,q2,...,qn)TV （2.5.1）

tf1,q2,...,qn为广义速度。势能能够表示为 其中，q1,q2,...,qn为广义坐标，q

概念Lagrange函数为

概念Hamilton泛函为

HL(q1,q2,...,qn;q1,q2,...,qn)dt （2.5.2）

t0Hamilton原理：给定初始时刻tt0和终止时刻tt1的状态（位置），在所有可能的运动中，真实的运动应该使得Hamilton泛函取极小值，也确实是说

HL(q1,q2,...,qn;q1,q2,...,qn)dtmin （2.5.3）

t0tfH0 （2.5.4）

例 弹簧的自由振动问题

Tmx,122Vkx,122Htf12t0(mx2kx2)dt

Hamilton泛函的变分为

H(mxxkxx)dt

t0tf mxx|tf0 ttft0(mxxkxx)dt

tft0(mxkx)xdt0

由极值条件取得运动方程为

kx0 mx例 单摆。为均匀摆杆的（线）密度，M是小球的质量，L是摆杆长。

图单摆和双摆

左图中单摆

L120232211(x)2dx12M(L)23LML

T2 V12Lg(1cos)MgL(1cos)H(TV)dt

t0tfH0运动方程

(1 (13LM)L2LM)gsin0至于右图中的双摆问题，留作读者自行解决。

例：Euler-Bernouillie梁弯曲的振动问题。

2T12t0l0w2dx,2dwV1EI2dx20dx

lH(TV)dt其中l为梁的长度，为梁单位长度的质量，w为梁的挠度, EI为梁的弯曲刚度。动能中已略去梁单元转动的动能。

Hamilton泛函的变分为

tfHtft0ld2wd2wwwEI22dxdt0dxdxltl0t0xxxxwwdx|t0f0tf(wEIwxxxx)wdtdxtft0xxtft0EIwxxwxEIwxxxwl0dt



tft0wEIwwdxdtEIw0lwxEIwxxxwl0dt由泛函极值问题取得梁的振动方程

EIwxxxx0 wlEIwwEIwwxxxxxx0dt0 t0而边界条件可从

tf取得，譬如梁弯曲的自然边界条件为

wxx0,

习题

wxxx0

1. 在条件u(x,0)0,u(x,1)1下，求以下泛函的极值

11 F[u]yesinuydxdy

u002. 求长度为lba曲线y(x),y(a)y(b)0，使得它与线段axb所围的面积最大。 3. 已给定侧面面积，试求体积最大的旋转体。

4. 在条件y(x0)(x0),y(x1)(x1)下，求以下泛函的变分 F[y]x1x0[y2y2]dx

5. 由Hamilton原理推导弦振动方程。