数学分析9.2牛顿—莱布尼茨公式

第九章 定积分

2 牛顿—莱布尼茨公式

定理：若函数f在[a,b]上连续，且存在原函数F，即F’(x)=f(x)，

x∈[a,b]，则f在[a,b]上可积，且写成：babaf(x)dx=F(a)-F(b)，称为牛顿—莱布尼茨公式，常

f(x)dx=F(x).

ba证：对[a,b]上的任一分割T={a=x0,x1,…,xn=b}，

在每个小区间[xi-1,xi]上对F(x)应用拉格朗日中值定理，则

分别存在ηi∈(xi-1,xi)，i=1,2,…,n，使得

F(b)-F(a)=

[F(x)F(xii1ni-1)]=

F(η)△xf(η)△xiii1nn=

iii1.

；

∵f在[a,b]上连续，从而一致连续，∴对任给的ε>0，存在δ>0，使

ε当x’,x”∈[a,b]且|x’-x”|<δ时，|f(x’)-f(x”)|于是，当△xi≤║T║<δ时，任取ξi∈(xi-1,xi)，便有|ξi-ηi|<δ，

nnn∴|

f(ξ)△xii1i-[F(a)-F(b)]|=|

[f(ξ)f(η)]△xiii1i|≤

f(ξ)f(η)△xiii1i

εb△xifn例1：利用牛顿—莱布尼茨公式计算下列定积分：

dxx2(0(1)abxndx(n为正整数)；(2)abexdx； (3)

ba\\

(4)0sinxdx；(5)20x4-x2dx.

n1xxn1bnx解：(1)∵∫xndx =n1+C，∴adx=n1babn1an1=n1.

(2)∵∫exdx =ex+C，∴baexdx=ex=eb-ea.

1111=-b-(-a)=a-b.

babdxdx1122(3)∵∫x =-x+C，∴ax=-xba(4)∵∫sin xdx=-cosx+C，∴0sinxdx=-cosx=-cosπ-(-cos0)=2.

8=3.

ba112232(4-x)(4-x2)3x4-x2(5)∵∫x4-xdx=-3+C，∴0dx=-320

111limn∞n1n22n. 例2：利用定积分求极限：}

11dxn∞ini11n解：原式==01x=ln(1+x)

limn110=ln2.

11ini11n注：和式是函数f(x)=1x在[0,1]上的一个积分和，这里所取的是等分分割，

i-11in△xi=n，ξi =n∈in, i=1,2,…,n.

n1习题

1、计算下列定积分：

x-x1e-ee2dx1-x2(2x3)2(1)0dx；(2)01xdx； (3)exlnx；(4)02dx；

11e141dx2(lnx)x13tan2x4xdx；(7)01x；(8)ex(5)0dx；(6)dx.

9(2x3)解：(1)dx=(x2+3x)

0110=4.

！

1-x212(2)01xdx=(2arctanx-x)0=2-1.

1(3)

e2edxxlnx=lnlnx

e2e=ln2-ln1=ln2.

ex-e-x111(4)02dx=2(ex+e-x)0=2(e+e-1-2).

1(5)30tanx|dx=(tanx-x)=3-3.

23012916443xx2x|4xdx=34=(18+6)-(3+4)=3. (6)

92t20|(7)令t =x，则1x=01tdt=2(t-ln|1+t|)0=4-2ln3.

4dx4e1212(lnx)11|ex(8)dx=3(lnx)3e=3.

e:

2、利用定积分求极限：

111133limnlim(12n)222n∞(n1)(n2)(nn)n∞n4； (1)；(2)

1112(n1)1limn22limsinsinsin22n∞nnn1n22n；(4)n∞nn. (3)

4i1x13limxn∞n=0dx=4i1n解：(1)原式=

n3101=4.

n∞limi1n1i1n21n(2)原式=

110(1x)2=dx=-1x1101=2.

n∞limi1n1i1n21n(3)原式=

12=01xdx=arcttan

110=4.

1(4)原式=n∞limsini1n(i-1)1nn=0sinx1dx=-cosx02=.

/

3、证明：若f在[a,b]上可积，F在[a,b]上连续，且除有限个点外有F’(x)=f(x)，则有：

baf(x)dx=F(a)-F(b).

证：设除有限个点：y1,y2,…,ym外有F’(x)=f(x).对[a,b]上的任一分割T’，

T={a=x0,x1,…,xn=b}是分割T’添加分点y1,y2,…,ym后所得到的分割.

在每个小区间[xi-1,xi]上对F(x)应用拉格朗日中值定理，则

分别存在ηi∈(xi-1,xi)，i=1,2,…,n，使得

F(b)-F(a)=

[F(x)F(xii1ni-1)]=

F(η)△xf(η)△xiii1nn=

iii1.∵f在[a,b]上可积，

∴f在[a,b]上连续，从而一致连续，∴对任给的ε>0，存在δ>0，使

ε当x’,x”∈[a,b]且|x’-x”|<δ时，|f(x’)-f(x”)|当△xi≤║T║<δ时，任取ξi∈(xi-1,xi)，便有|ξi-ηi|<δ，

∴|

f(ξ)△xii1ni-[F(a)-F(b)]|=|

[f(ξ)f(η)]△xiii1ni|≤

f(ξ)f(η)△xiii1ni

εb△xifn