2019山西省高二上学期数学(理)期末考试试卷 (2)

高二数学（理科）第一学期期末考试试题

（时间：120分钟 满分：150分）

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1、抛物线x2＝－8y的准线方程是( )

A.y＝－2 B.y＝－4 C.y＝2 D.y＝4 2、已知向量a，则与a共线的单位向量e( ) （1,1,0）A.(2222,,0) B.(,,0) C.(0,1,0) D.(1,1,1) 22223、下列说法中正确的是( )

A.若B. 若

，则A,B,C,D四点构成一个平行四边形 ，

，则

C.若和都是单位向量，则D.零向量与任何向量都共线 4、给出如下四个命题：

①若“p且q”为假命题，则p、q均为假命题；

②命题“若a＞b，则2a＞2b-1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b-1”； ③“∀x∈R，x2+1≥1”的否定是“∃x∈R，x2+1＜1”； 其中正确的命题的个数是( ) A. 0

的离心率为( )

1336A.2 B. 2 C.4 D.4 6、“a1”是“函数ycos2axsin2ax的最小正周期为”的( ) A.充要条件 必要条件

B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不

B. 1

C.2

D. 3

5、若椭圆的两个焦点F1，F2与短轴的一个端点B构成一个正三角形，则该椭圆

x2y27、若曲线1表示椭圆，则k的取值范围是( )

1k1kA.k1 B.k1 C.1k1 D.1k0或0k1

8、已知平面内有一个点M(1,1,2),平面的一个法向量是a(2,1,2)，则下列点P中，在平面内的是( )

A.P(2,3,3) B.P(－2,0,1) C.P(－4,4,0) D.P(3,－3, 4)

x29、若点O和点F(2,0)分别为双曲线2y21(a0)的中心和左焦点，点Pa为双曲线右支的任意一点，则OPFP的取值范围为( )

7) B. [323，) C.[,) D. A. [323，47[,) 410、若动圆与圆(x－2)2＋y2＝1相外切，又与直线x＋1＝0相切，则动圆圆心的

轨迹方程是( )

A. y2＝－4x B. y2＝－8x C.y2＝4x D. y2＝8x

11、平行六面体ABCDA1BC11D1中，若AC1xAB2yBC3zCC1,则

xyz( )

A.1 B.12、方程应是( )

与

752 C. D. 663的曲线在同一坐标系中的示意图

A. B. C. D.

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13、过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1)，B(x2,y2)，如果

x1x28，则|AB|=__________；

14、已知abc1，且

a,bb,ca,c,,,则a2bc_____； 322 x2y21所截得的线段的中点，则l的方程是15、已知(4,2)是直线l被椭圆369_________；

16、如图，四棱锥PABCD的底面是边长为2的正方形，

侧面PCD底面ABCD,且PC=PD=2， M，N分别为棱PC，AD的中点，则点N到平面MBD的距离为______.

三、解答题：（本大题共6小题，共70分） 17、(10分)已知双曲线的方程是16x2－9y2＝144.

(1)求双曲线的实轴长和渐近线方程；

(2)设F1和F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF1|·|PF2|＝32，求∠F1PF2的大小．

18、(12分)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，BB1平面ABC，∠BAC=90°，AC=AB=AA1，E是BC的中点． 求证：AEB1C；

求异面直线AE与A1C所成的角的大小；

19、(12分)如图，在边长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，

E是BC的中点，F是DD1的中点， （1） 求证：CF//平面A1DE；

（2） 求平面A1DE与平面A1DA夹角的余弦值.

20、(12分)已知抛物线

. （1）求抛物线的方程；

(2) 已知抛物线C与直线l：ykx1交于M，N两点，y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有kPMkPN0？说明理由.

21、(12分)如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AD=PD=2，E、F分别为CD、PB的中点． （1）求证：平面AEF平面PAB；

（2）设AB2AD，求直线AC与平面AEF所成角θ的正弦值．

的焦点，抛物线上一点P点纵坐标为2，

x2y222、(12分)已知椭圆C：221(ab0)的两个焦点分别为F1，F2，离

ab心率为

1，过F1的直线l与椭圆C交于M，N两点，且△MNF2的周长为8． 2

（1）求椭圆C的方程；

（2）直线m过点(1,0)，且与椭圆C交于P、Q两点，求△PQF2面积的最大值。

高二数学试题答案

一、选择题：(5分×12=60分) 题号 答案 1 C 2 B 3 D 4 C 5 A 6 C 7 D 8 A 9 B 10 D 11 B 12 A 二、填空题(5分×4=20分)

13．10； 14．22； 15．x2y80； 16．三、解答题(共70分，17题10分，其余均为12分)

x2y217．解：（1）由题知：1，a3,b4长轴长为6，渐近线方程是

9165． yx

3（2）PF1PF26且PF1PF232则 cosF1PF2

故F1PF290

18．（1）证明：如图建立空间直角坐标系。设

PF12PF224c22PF1PF2(PF1PF2)22PF1PF24c22PF1PF20

AC=AB=AA1

=a,B(a,0,0),C(0,a,0),A1(0,0,a),

aaE(,,0),B1(a,0,a)则 22aaAE(,,0)，CB1(a,a,a)

22aaAECB1(,,0)(a,a,a)0故

22AEB1C

（2）

A1C(0,a,a)

aa(,,0)(0,a,a)122cosAEA1C 2a2a222()()00a(a)22故异面直线AE与A1C所成的角为60。

19．解：分别以DA,DC,DD1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A（2,0,0）,

A1（2,0,2）,E(1,2,0),D(0,0,0), B1(2,2,2)则

DA12,0,2,DE1,2,0,CF(0,2,1) （3） 设平面A1DE的法向量是na,b,c

nDA12a2c0nDEa2b0，取则n2,1,2

CFn(0,2,1)(2,1,2)0

所以CF//平面A1DE

（2）DC(0,2,0)是面A1DA的法向量，

cosnDC

(2,1,2)(0,2,0)(2)212220220131即平面A1DE与平面A1DA夹角的余弦值为.

3

20．（1）PFyPpp 43即p2故抛物线的方程为x24y。 22（2）设P(0，b)为符合题意的点，设M(x1,y1)，N(x2,y2)，设直线PM，PN的斜率分别为k1,k2.将ykx1代入抛物线C的方程得x24kx40， 故x1x24k,x1x24kPMkPNy1by2bkx11bkx21b x1x2x1x2

2kx1x2(1b)(x1x2)8k4k(1b)k(1b) x1x24

当b=-1时，有kPMkPN0

21.（1）如图建立空间直角坐标系。设ABa A(2,0,0),B(2,a,0),C(0,a,0),P(0,0,2)

E、F分别是CD，PB的中点

aaE(0,,0),F(1,,0)EF(1,0,1)

22又AB(0,a,0)AP(2,0,2)

EFAB0且EFAP0 EFAB且EFAPEF平面PAB

又EF平面AEF 平面AEF平面PAB （2）设平面AEF的法向量是n(x,y,z)

AE(2,2,0)且EF(1,0,1)

AEn02x2y0令x1，则y2,z1

则即xz0EFn0n(1,2,1)又AC(2,22,0)

cosnAC(1,2,1)(2,22,0)122148033，故sin|cosnAC|

6622.解：（1）由题意知，4a8，则a2， 由椭圆离心率ec1，则c1，b23． a2x2y2椭圆C的方程1；

43

（2）设直线m的方程为：xky1，P(x1,y1)，Q(x2,y2)，则

6kyyxky11223k24222 (43k)y6ky90xy91yy12343k24所以SBPQ112k21 F1F2y1y2223k4令k21t，则t1，所以SBPQ1213tt123t1t，而3t在1,上单调递增

1t

所以SBPQ3。

当t1时取等号，即当k0时，BPQ的面积最大值为3。