高中数学学习材料 （灿若寒星 精心整理制作）
高中概率统计专题
内容提要：本文对高中数学中概率统计一章学生存在的困难和误区作出分析，并结合实例介绍概率中蕴涵的数学思想，同时结合高考概率题目的解析，强调基础概念对教学的必要性。
概率统计是研究随机现象的科学。高中阶段，学生通过实际问题情境，学习随机抽样、样本估计、概率统计等来体会用样本估计总体及其特征的思想，体会概率模型的作用及运用概率思考问题的特点，初步形成用随机观念观察、分析问题的意识。 一、易错概念分析及错题举例
统计与概率研究对象的总体一般具有不确定性，应用统计与概率方法由部分推断总体具有随机性，其结论往往以不确定现象和不完全的信息作为依据，这样的结论可能是错误的。学生在学习统计与概率的概念时，常存在以下一些问题：
（一）易受日常直觉的影响。
不能把握概率的实质，把某一件事发生机会大于还是小于50%作为预言该结果会不会发生的标准，在每次试验以后就判断说某一概率是预测对了还是错了。
（二）易受逻辑因果思维的影响。
认为随机试验中每一可能的结果都有同等的发生机会，认为在抽样中一个样本应该看起来与其总体相象，常用数值匹配或文字匹配来解释机会值。
（三）不能区分可能性与确定性。
认为很可能就是必然，不太可能就是不可能，且容易混淆可能发生与必然发生。常用举例的方式来说明可能与不可能。举例：
1、某人射击，击中10环，9环，8环，7环的概率分别是0.13，0.16，0.21，0.22，
求击中10环或9环的概率？
错解：P(“ 击中10环 ”) = 0.13 或 P(“ 击中9环 ”) = 0.16 [易错原因]有的学生不明白“或”的含义，对和事件概念含糊。
2、一盒中装有12只球，其中5红、4黑、2白、1绿，从中取1球，这一球是红或黑或白的概率是 。
解法1：从12只球中任取1球是红球有5种取法，是黑球有4种取法，是白球有2种取法，从而所求概率为P=（5+4+2）/12 = 11/12
解法2：记事件A1：从12只球中任取1球得红球；A2：从中任取1球得黑球；A3：从中任取1球得白球；A4：从中任取1球得绿球，则取出红或黑或白的概率为： P(A1+A2+A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=5/12+4/12+2/12=11/12
解法3：A1+A2+A3的对立事件为A4，因此P(A1+A2+A3)=1- P(A4)=11/12 [易错原因] “互斥”与“对立”的关系混淆，互斥是指两事件不能同时发生，对立是指互斥的两事件中必有一个发生，对立必互斥，互斥不一定对立。
3、A、B两人拿两颗骰子做抛掷游戏，规则如下：若掷出的点数之和是3的倍数，则由原掷骰子的人继续掷；若掷出的点数之和不是3的倍数，就由对方接着掷。第一次由A开始掷，设第n次由A掷的概率为Pn，求Pn的表达式（用n表示）。
错解：A、B两人同时掷两颗骰子，有6*6=36种可能的情况，其中点数之和是3的倍数有（1，2）（2，1）（1，5）（5，1）（2，4）（4，2）（3，3）（3，6）（6，3）（4，5）（5，4）（6，6）共12种情形。
[易错原因]解这种应用题关键是仔细审题，理解题中各个量之间的关系，建立内在的联系。这里的错解忽视了对“第n次由A掷”意义的周密思考，审题不清，缺乏缜密思维。
二、概率中的数学思想
1、将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2 的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有
（A）10种 （B）20种 （C）36种 （D）52种 解：1号盒子放1个球，2号盒子放3个球的方法有4种；两个盒子各放两个的方法有6种。因此，满足条件的方法共有4+6=10种。
本题考查组合的基础知识和分类讨论的数学思想，在考生熟悉的问题背景下，需要考生通过题目背景材料提供的信息，提炼相关的数量关系，识别并运用互斥事件与相互
独立时间等重要内容，考查了考生将客观事物数学化的能力。
2、基本系统是由四个整流二极管（串、并）联结而成，已知每个二极管的可靠度为0.8，若要求系统的可靠度大于0.85，请你设计二极管的联结方式，并加以说明。
解： 图（1），全是并联，可靠度为1-0.24 = 0.9984>0.85
图（2），两两串联再并联，可靠度为1-（1-0.82）2 = 0.8704>0.85 图（3），两两并联后再串联，可靠度为（1-0.22）2 = 0.9216>0.85
图（4），三个串联后，再与第四个并联，可靠度为1-0.2（1-0.83）= 0.9024>0.85
（1） （2）
（3） （4）
本题考查解决实际问题的能力及n次独立重复试验中的某事件恰好发生k次的概率计算，要求能阅读、理解对问题进行陈述的材料，能应用数学知识、思想和方法解决问题。本题首先要运用分类讨论和枚举的思想方法，由并联到串联逐一讨论，分类时要条理清楚，有规律，不能重复和遗漏。 三、链接高考
概率以其独特的研究对象和研究方法，在中学数学中占有特殊的地位，是高中数学相对独立的内容，不论是思考方法还是解题技巧，与其他章节都有很大不同。概率统计是研究随机现象统计规律的数学分支，这种规律对于具体的对象来说，并不表示必然的结果关系，所以概率统计无论是研究对象还是研究方法都与中学数学的其他内容迥然不同，它在中学数学中的地位是不可替代的。
（1）从实际生活中抽象概括出来的问题
A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验。每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效。若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组。设每只小白鼠服用A有效的概率为
21，服用B有效的概率为。 32（Ⅰ）求一个试验组为甲类组的概率；
（Ⅱ）观察3个试验组，用表示这3个试验组中甲类组的个数，求的分布列和期望。
解：（I）设Ai表示事件“一个试验组中，服用A有效的小白鼠有i只”，i=0，1，2，…Bi表示事件“一个试验组中，服用B有效的小白鼠有i只”，i=0，1，2，…依题意有
124224111111P(A1)2,P(A2) P(B0),P(B1)2
3393392242221414144所求的概率为pP(B0A1)P(B0A2)P(B1A2)
49492994（II）ξ的可能值为0，1，2，3且ξ~B（3，）。
95125451001P（ξ=0）=()3 P（ξ=1）=C3()2
97299924345804642P（ξ=2）=C3()2 P（ξ=3）=()3
992439729ξ的分布列为
ξ 0 1 100 2432 80 2433 64 729125 72944数学期望Eξ=3
93p （2）与学科内其他知识横向综合的问题
现有甲、乙两个项目，对甲项目每投资十万元，一年后的利润是1.2万元、1.18
111万元、1.17万元的概率分别为,,;已知乙项目的利润与产品价格的调整有关，在每
623次调整中，价格下降的概率都是p0p1，设乙项目产品价格在一年内进行2次独立的调整，记乙项目产品价格在一年内的下降次数为，对乙项目每投资十万元，取0、1、2时，一年后相应利润是1.3万元、1.25万元、0.2万元。随机变量1,2分别表示对甲、乙两项目各投资十万元一年后的利润。 （1）求1,2的概率分布和数学期望E1,E2; （2）当E1E2时，求p的取值范围。
解：（1）1的概率分布为
1 1.2 1.18 1.17 1 61 21 3P 111E1=1.2+1.18+1.17=1.18
623由题设得~B(2,p)，则的概率分布为
0 (1p)2 1 2p(1p) 2 p2 P 故2的概率分布为
2 1.3 1.25 0.2 P (1p)2 2p(1p) p2 所以2的数学期望为 E2=1.3(1p)2+1.252p(1p)+0.2p2=p20.1p1.3 （II）解：由E1E2，得：整理得
解得
，
因0 < p < 1，所以E1E2时，p的取值范围是0 < p < 0.3
（3）赋予人文精神的数学实际问题
一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）。为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在[2500,3000)（元）月收入段应抽出 25 人。
频率/组距0.00050.00040.00030.00020.0001月收入（元）1000150020002500300035004000
综上，统计与概率研究对象的总体一般具有不确定性，在高中阶段应让学生了解随机现象与概率的意义，结合具体问题对统计中的概念进行描述说明，对概念不刻意追求形式化的描述。在教学中，应切实采取有效措施，使学生掌握概念，发展概念。
参考文献：
1．《高考研究》2007.1 西藏人民出版社
2.《普通高校招生全国统一考试天津卷说明》2007.2 天津人民出版社 3.《考前一个月》2007.3 光明日报出版社
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