五年级奥数春季班第3讲 带余除法进阶

第三讲 带余除法进阶

模块一、化除为乘

一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0），若有a÷b=q……r，或者a=b×q+r，0≤r当r=0时，我们称a能被b整除；

当r≠0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的商。

在带余除法的算式中，已知三个量，就可以求出第四个量。

特别注意：0≤r例1．完成下列填空：

17÷5= …… ； ÷6=13……4；

79÷ =9……7； 113÷ =12…… ；

解：17÷5= 3 …… 2 ； 82 ÷6=13……4；

79÷ 8 =9……7； 113÷ 9 =12…… 5 ；

例2．两个自然数相除，商是7，余数是5，如果两个数相加，和是69，那么这两个数分别是 和 。

解：设这两个自然数分别为a、b，且a=7b+5，a+b=69，

则7b+5+b=69，解得b=8，a=61.

所以这两个数分别是61和8。

模块二、余数的特征

余数特征：

1．末位法——被4、25、8、125、16、625除的余数特征；

2．数位和法——被3、9、99除的余数特征；

3．数位差法——被11除的余数特征；

4．三位截断法——被7、11、13除的余数特征；

例3．34567除以3、4、5、7、9、11、13、99、999的余数分别为 ； ； ； ；

； ； ； ； 。

解：34567除以3、4、5、7、9、11、13、99、999的余数分别为 1 ； 3 ； 2 ； 1 ； 7 ；

5 ； 0 ； 16 ； 601 。

例4．（1）23456789+3456789的结果除以9的余数为 ；

（2）23456789×3456789的结果除以9的余数为 ；

（3）36×37×38+39×40×41的结果除以7的余数为 ；

解：（1）23456789+3456789≡8+6≡5 (mod 9)，所以余数是5；

（2）23456789+3456789≡8×6≡48≡3 (mod 9)，所以余数是3；

（3）36×37×38+39×40×41≡1×2×3+4×5×6≡126≡0 (mod 7)，所以余数是0.

模块三、

1．a与b的差除以c的余数，等于a、b分别除以c的余数之差（或a的余数加一个除数减b的余数）；

2．a与b的和除以c的余数，等于a、b分别除以c的余数之和（或这个加除以c的余数）；

3．a与b的乘积除以c的余数，等于a、b分别除以c的余数之积（或这个积除以c的余数）；

例5．（1）若已知358除以7的余数是4，那么359除以7的余数是 ；360除以7的余数是 ；

（2）3、32、33、34、35、36、37、38、39、310除以7的余数分别是 ； ； ； ；

； ； ； ； ； 。

（3）发现规律，3100除以7的余数是 。

解：（1）359≡(358)×3≡4×3≡5 (mod 7)，360≡(359)×3≡5×3≡1 (mod 7)，

所以那么359除以7的余数是5，那么360除以7的余数是1；

（2）3、32、33、34、35、36、37、38、39、310除以7的余数分别是3、2、6、4、5、1、3、2、6、4；

（3）3100=(36)16×34≡1×4≡4 (mod 7)，所以3100除以7的余数是4。

例6．著名的斐波那契数列1、1、2、3、5、8、13、21、……中，从第三项开始，每一项都是它前面两项的和，现在我们考虑这个数列的第2014项：

（1）这一项是奇数还是偶数；

（2）这一项除以9的余数是 。

解：（1）斐波那契数列中各项的奇偶性是奇、奇、偶、奇、奇、偶、奇、奇、偶、……，

即第3、6、9、……项为偶数，其余项为奇数，2014÷3=671……1，所以这一项是奇数；

（2）依次写出各项除以9的余数是1、1、2、3、5、8、4、3、7、1、8、0、8、8、7、6、4、1、5、6、2、8、1、0、1、1、2、3、……，所以这是以24为周期的循环，

2014÷24=83……22，所以第2014项除以9的余数是1.

随 堂 测 试

1．完成下列填空：

89÷6= …… ； ÷7=12……5；

95÷ =8……7； 330÷ =19…… .

解：89÷6= 14 …… 5 ； 89 ÷7=12……5；

95÷ 11 =8……7； 330÷ 17 =19…… 7 。

2．两个数相除商是9，余数是4，两个数相加，和是54，则这两个数的乘积为 。

解：设a÷b=9……4，即a=9b+4，又a+b=54，所以9b+4+b=54，b=5，a=49，

所以a×b=49×5=245.

3．684597除以5、7、9、11、13的余数分别为 ； ； ； ； 。

解：684597除以5的余数是7÷5的余数2；

684597除以7的余数，把684597分成684|597，用684−597=87，再算87÷7=12……3，

因为是用前面的三位数减去后面的三位数，所以除以7的余数应该是7−3=4；

684597除以9的余数是3；

684597除以11的余数，可以用奇数位的数字和减去偶数位的数字和即(8+5+7)−(6+4+9)=1，

所以此时余数是1；

684597除以13的余数；把684597分成684|597，用684−597=87，再算87÷13=6……9，

因为是用前面的三位数减去后面的三位数，所以除以13的余数应该是13−9=4；

684597除以5、7、9、11、13的余数分别为2、4、3、1、4.

4．23×24×25×26×27×28×29×30×31的结果除以11的余数为 。

解：23×24×25×26×27×28×29×30×31≡1×2×3×4×5×6×7×8×9

≡2×3×4×5×(11−6)×(11−7)×(11−8)×(11−9)

≡(2×5)2×(3×4)2≡100×12≡1 (mod 11)，

所以余数是1。

5．假设今天是星期三，再过264天，是星期 。

解：23=8≡1 (mod 7)，264≡(23)21×2≡1×2≡2 (mod 7)，

所以再过264天，是星期五。