线线角_线面角_二面角的讲义

一、课前预习

1.在空间四边形ABCD中，AD=BC=2, E、F分别为AB、CD的中点且EF=3，AD、BC所成的角为 .

2.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中 ，B1C和C1D与底面所成的

角分别为60ο和45ο，则异面直线B1C和C1D所成角的余弦值为 ( )

6(A). 4

362(B).3 (C).6 (D).6

ABCD3.平面与直线a所成的角为3,则直线a与平面内所有直

A1B1D1C1线所成的角的取值范围是 ．

4.如图,ABCD是正方形,PD⊥平面ABCD,PD=AD,则PA与BD所成的角的度数为

(A).30ο (B).45ο (C).60ο (D).90ο

5.有一个三角尺ABC,∠A=30ο, ∠C=90ο,BC是贴于桌面上, 当三角尺与桌面成45ο角时,AB边与桌面所成角的正弦值 是 ．

二、典型例题

例1.(96·全国) 如图,正方形ABCD所在平面与正方形

BCAPDCBAABEF所在平面成60ο角,求异面直线AD与BF所成角的余弦值. 【备课说明:1.求异面直线所成的角常作出所成角的平

1

DAFCBE面图形.作法有:

①平移法:在异面直线的一条上选择“特殊点”,作另一条直线平行线或利用中位线.②补形法:把空间图形补成熟悉的几何体,其目的在于容易发现两条异面直线的关系.2.解立几计算题要先作出所求的角,并要有严格的推理论证过程,还要有合理的步骤.】

例2.如图在正方体AC1中, (1) 求BC1与平面ACC1A1所成的角; (2) 求A1B1与平面A1C1B所成的角.

备课说明:求直线与平面所成角的关键是找直线在此平面上的射影,为此必须在这条直线上找一点作平面的垂线. 作垂线的方法常采用:①利用平面垂直

AA1D1B1DCBC1的性质找平面的垂线.②点的射影在面内的特殊位置.

例3. 已知直三棱住ABC-A1B1C1,AB=AC, F为棱BB1上一点,BF∶FB1=2∶1, BF=BC=2a. (1)若D为BC的中点,E为线段AD上不同于A、D的任意一点,证明：EF⊥FC1; (2)试问:若AB=2a,在线段AD上的E点能否使EF与平面BB1C1C成60ο角,为什么?证明你的结论.

A1AEBFB1C1DC备课说明:这是一道探索性命题,也是近年高考热点问题,解 决这类问题,常假设命题成立,再研究是否与已知条件矛盾, 从而判断命题是否成立. 一、知识与方法要点：

1．斜线与平面所成的角就是斜线与它在平面内的射影的夹角。求斜线与平面所成的角关键是找到斜线在平面内的射影，即确定过斜

2

线上一点向平面所作垂线的垂足，这时经常要用面面垂直来确定垂足的位置。若垂足的位置难以确定，可考虑用其它方法求出斜线上一点到平面的距离。

2．二面角的大小用它的平面角来度量，求二面角大小的关键是找到或作出它的平面角(要证明)。作二面角的平面角经常要用三垂线定理，关键是过二面角的一个面内的一点向另一个面作垂线，并确定垂足的位置。若二面角的平面角难以作出，可考虑用射影面积公式求二面角的大小。

3．判定两个平面垂直，关键是在一个平面内找到一条垂直于另一个平面的直线。

两个平面垂直的性质定理是：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．

二、例题

例1．正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为C1D1中点． (1)求证：AC1⊥平面A1BD．

(2)求BM与平面A1BD成的角的正切值． 解： (1)连AC， ∵C1C⊥平面ABCD， ∴C1C⊥BD．

又AC⊥BD， ∴AC1⊥BD．同理AC1⊥A1B ∵A1B∩BD=B．∴AC1⊥平面A1BD．

(2)设正方体的棱长为a，连AD1，AD1交A1D于E，连结ME，在△D1AC1中，ME∥AC1，

3

∵AC1⊥平面A1BD．∴ME⊥平面A1BD．

连结BE，则∠MBE为BM与平面A1BD成的角．在RtMEB中，

262AC13ME2BEaaaMEatanMBE2622，BE2． ，∴

2

例2．如图，把等腰直角三角形ABC以斜边AB为轴旋转， 使C点移动的距离等于AC时停止，并记为点P．

（1）求证：面ABP⊥面ABC；（2）求二面角C-BP-A的余弦值．

证明（1） 由题设知AP＝CP＝BP．∴点P在面ABC的射影D应是△ABC的外心，即D∈AB．∵PD⊥AB，PD面ABP，由面面垂直的判定定理知，面ABP⊥面ABC．

（2）解法1 取PB中点E，连结CE、DE、CD．∵△BCP为正三角形，∴CE⊥BD．△BOD为等腰直角三角形，∴DE⊥PB．∴∠CED为二面角C-BP-A的平面角．又由（1）知，面ABP⊥面ABC，DC⊥AB，AB＝面ABP∩面ABC，由面面垂直性质定理，得DC⊥面ABP．∴DC⊥DE．因此△CDE为直角三角形．

1DE3cosCED23CE313CEDE2，2，2设BC1，则．

例3．如图所示，在正三棱柱ABCA1B1C1中，EBB1，截面A1EC侧面AC1．(1)求证：BEEB1；(2)若AA1A1B1，求平面A1EC与平面A1B1C1 所成二面角(锐角)的度数．

证明：在截面A1EC内，过E作EG⊥A1C，G是垂足，如图，

4

∵面A1EC⊥面AC1，∴EG⊥侧面AC1．

取AC的中点F，分别连结BF和FC，由AB＝BC得BF⊥AC． ∵面ABC⊥侧面AC1，∴BF⊥侧面AC1，

得BF∥EG．BF和EG确定一个平面，交侧面AC1于FG． ∵BE∥侧面AC1，∴BE∥FG，四边形BEGF是 ∴BE∥AA1，∴FG∥AA1，△AA1C∽△FGC．

，BE＝FG．

解：(2)分别延长CE和C1B1交于点D，连结A1D．

∵∠B

1A

1C

1＝∠B

1C

1A

1＝60°，

∴∠DA1C1＝∠DA1B1＋∠B1A1C1＝90°，即 DA1⊥A1C1．∵CC1⊥面A1C1B1，

由三垂线定理得DA1⊥A1C，所以∠CA1C1是所求二面角的平面角．且∠A1C1C＝90°．

∵CC1＝AA1＝A1B1＝A1C1，∴∠CA1C1＝45°，即所求二面角为45°．

说明：如果改用面积射影定理，则还有另外的解法．

三、作业：

5

1．已知平面 的一条斜线a与平面 成 角，直线b ，且a,b异面，则a与b所成的角为

A．有最小值

（A）

。

，有最大值2B．无最小值，有最大值2 C．有最小值 ，无最大值 D．有最小值 ，有最大值 。 2．下列命题中正确的是

（D）

A．过平面外一点作该平面的垂面有且只有一个 B．过直线外一点作该直线的平行平面有且只有一个 C．过直线外一点作该直线的垂线有且只有一条 D．过平面外的一条斜线作该平面的垂面有且只有一个 3．一条长为60的线段夹在互相垂直的两个平面之间，它和这两个平面所成的角分别为

45°和30°，这条线段的两个端点向平面的交线引垂线，则垂足间的距离是 （A）

A．30 B．20 C．15 D．12

4．设正四棱锥S—ABCD的侧棱长为2，底面边长为3，E是SA的中点，则异面直线BE与SC所成的角是

A．30° B．45° C．60° D．90°

5．正三棱锥的侧面与底面所成的二面角为arctan22，则它的侧棱与底面所成的角为2

6．A是△BCD所在平面外的点，∠BAC=∠CAB=∠DAB=60°，AB=3，AC=AD=2.

（Ⅰ）求证：AB⊥CD； （Ⅱ）求AB与平面BCD所成角的余弦值.

6

（C）

7．正四面体ABCD中，E是AD边的中点，求：CE与底面BCD所成角的正弦值．

解 过A，E分别作AH⊥面BCD，EO⊥面BCD，H，O为垂足， ∴AH

2OE，AH，OE确定平面AHD，连结OC，

∠ECO即为所求．∵AB=AC=AD，∴HB=HC=HD ∵△BCD是正三角形，∴H是△BCD的中心， 连结DH并延长交BC于F，F为BC的中点，

DH2233DFaa3323，在Rt△ADH中，

8．在四面体ABCD中，DA⊥面ABC，∠ABC＝90°，AE⊥CD，AF⊥DB．

求证：（1）EF⊥DC；（2）平面DBC⊥平面AEF．

证明 如图1-83．（1）∵AD⊥面ABC．∴AD⊥BC．又∵∠ABC＝90°．∴BC⊥AB．

∴BC⊥面DAB．∴DB是DC在面ABD内的射影．∵AF⊥DB．∴AF⊥CD（三垂线定理）．

7

∵AE⊥CD．∴CD⊥平面AEF．∴CD⊥EF． （2）∵CD⊥AE，CD⊥EF．∴CD⊥面AEF．∵CD 面AEF⊥面BCD．

（3）由EF⊥CD，AE⊥CD ∴AEF为二面角B-DC-A的平面

面BCD．∴

又∵AF⊥DB，AF⊥CD，BD∩CD＝D ∴AF⊥平面DBC，

二面角题目：

如图所示，已知PA面ABC，SPBCS,SABCS，二面角

PBCA的平面角为，求证：ScosS

BCD是正三角形，ABD2．如图，在空间四边形ABCD中，

PADC是等腰直角三角形，且BAD90，又二面角ABDC为直二面角，求二面角ACDB的大小。

8

BABHCEFD例3．设A在平面BCD内的射影是直角三角形BCD的斜边BD的中点O，ACBC1,CD2，

求（1）AC与平面BCD所成角的大小； （2）二面角ABCD的大小；

（3）异面直线AB和CD所成角的大小。

M为AA的中点，例4.在正方体ABCDABCD中，求截面DMB与

底面ABCD所成较小的二面角的大小。

选用：如图，正方体的棱长为1，BCBC'O，求：

（1）AO与AC所成角；

（2）AO与平面ABCD所成角的正切值； （3）平面AOB与平面AOC所成角 D'B'ODEC'A'CAB解：（1）∵AC//AC ∴AO与AC所成角就是OAC ∵OCOB,AB平面BC ∴OCOA（三垂线定理） 在RtAOC中，

OC2,AC22 ∴OAC30

（2）作OEBC，平面BC平面ABCD

∴OE平面ABCD，OAE为OA与平面ABCD所成角 在RtOAE中，

OE115OE5,AE12()2tanOAE222 ∴AE5

9

（3）∵OCOA,OCOB ∴OC平面AOB 又∵OC平面AOC ∴平面AOB平面AOC 即平面AOB与平面AOC所成角为90 二面角大小的求法

二面角的类型和求法可用框图展现如下：

一、定义法：

直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性； 例、 如图,已知二面角α-а-β等于120°,PA⊥α,A∈α,PB⊥β,B∈β. 求∠APB的大小.

P A

例、在四棱锥P-ABCD中，ABCD

是正

O B 方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=a，求角B-PC-D的大小。

AjP二面

HD

10

BC二、三垂线定理法：

已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角；

例、在四棱锥P-ABCD中，ABCD是平行四边形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=a，∠ABC=30°，求二面角P-BC-A的大小。

例、(2003北京春)如图,ABCD-A1B1C1D1是长方体,BD1

HADLp C侧棱AA1长为1,底面为正方体且边长为2,E是棱BC的中点,求面C1DE与面CDE所成二面角的正切值.

A1

D

C1

B1 C E

O ABC外一点P在平例、ΔABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3，平面

A 面ABC内的射影是AB中点M，二面角P—AC—B的大小为求（1）B 45°。

二面角P—BC—A的大小；（2）二面角C—PB—A的大小

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P B D A M C

例、(2006年陕西试题)如图4，平面⊥平面，∩=l，A∈，B∈，点A在直线l上的射影为A1，点B在l的射影为B1，已知AB=2，AA1=1，BB1=2，求：二面角A1－AB－B1的大小.

三、垂面法：

L

A 1 A

E F B1

 

图4

B 已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直；

例、空间的点P到二面角l的面、及棱l的距离分别为4、3、

A

239，求二面角l的大小. 3P



B

 C

l

四、射影法：（面积法）

利用面积射影公式S射＝S原cos,其中为平面角的大小，此方法不必在图形中画出平面角；

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例、在四棱锥P-ABCD中，ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝a，求平面PBA与平面PDC所成二面角的大小。

PADBlC 13

例、如图，设M为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CC1的中点，求平面BMD1与底面ABCD所成的二面角的大小。

D1 C1 A1 D B1 H M C

五、平移或延长（展）线（面）法

对于一类没有给出棱的二面角，应先延伸两个半平面，使之相交出现棱，然后再选用上述方法（尤其要考虑射影法）。

例、在四棱锥P-ABCD中，ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD， PA＝AB＝a，求平面PBA与平面PDC所成二面角的大小。

A B PPC1A1B1DCDCABA14

B课前预习

61. 60ο 2.A 3. [3,2] 4.C 5.4

典型例题 例1解:∵CB∥AD

∴∠CBF为异面直线AD与BF所成的角.连接CF、CE设正方形ABCD的边长为,则BF=2a∵CB⊥AB, EB⊥AB∴∠CEB为平面ABCD与平面ABEF所成的角

2∴∠CBE=∠60ο ∴CE=a FC=2a ∴cos∠CBF=4

例2解:(1)设所求的角为,先证BD⊥平面ACC1A1,则sin=sin∠

OB1OC1B=BC1=2.故=30o.(2)△A1BC1是正三角形,且A1B1=B1C1=BB1.

∴棱锥B1-A1BC1是正三棱锥.过B1作B1H⊥平面A1BC1,连A1H, ∠B1A1H是直线A1B1与平面A1C1B所成的角.设A1B1=a则A1B=2a得

A1H666aarccos3 A1H=3.故cos∠B1A1H=A1B1=3.所求角为

例3解:(1)连接OF,容易证明AD⊥面BB1C1C, DF是EF在面B1C1CB的射影,且DF⊥FC1,

∴FC1⊥EF.(2) ∵AD⊥面BB1C1C, ∠EFD是EF与平面BB1C1C所成的角.在△EDF中,若∠EFD=60ο,则ED=DF·tan60ο=3·5=15a,∵AB=BC=AC=2a,∴AD=3a.∵15a>3a.∴E在DA的延长线上,而不在线段AD上;故线段AD上的E点不可能使EF与平面BB1C1C成60ο角.

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反馈练习

451. D 2. D 3. 9 4. 3 5.[ 60ο,90ο] 6. 45ο

7.解:(1)作DD＇⊥于D＇,连接AD＇,BD＇.CA⊥,∴CA∥DD＇.四边形CAD＇D是直角梯形,∠CAD＇=∠D D＇A=90ο,AB,AB⊥DD＇.又AB⊥BD,∴AB⊥平面BDD＇,BD＇平面BDD＇.∴AB⊥BD＇.

b∵∠DBD＇是BD与所成的角,∴∠DBD＇=30ο,BD=b,DD＇=2,BD＇3b3b2.在△ABD＇中,AB=a,BD＇=2,∠ABD＇=90ο,∴AD＇

==

2AB2BD＇=

3b2a42.在CAD＇D中，

'2'222AD(ACDD)abCD=.

(2)作D＇C＇∥DC交CA于C＇,∠C＇D＇A是CD与所成的角,sin

AC'bC'D'2a2b2∠C＇D＇A=.

反馈练习

1设集合A、B、C分别表示异面直线所成的角、平面的斜线与平面所成的角、直线与平面所成的角的取值范围,则（ ）

(A)A=B=C

(B)A=BC (C)ABC

(D) BAC.

2两条直线a,b与平面所成的角相等,则直线a,b的位置关系是（ ） (A)平行

(B)相交

(C)异面

(D) 以上均有可能.

3设棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别为AA1和BB1的中点，则直线CM和D1N所成角的正弦值为 .

4已知a、b是一对异面直线，且a、b成60o角，则在过空间任意点

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P的所有直线中，与a、b均成60o角的直线有 条.

5异面直线a、b互相垂直，c与a成30o角，则c与b所成角的范围是 .

6∠ACB=90ο在平面内,PC与CA、CB所成的角∠PCA=∠PCB=60o,则PC与平面所成的角为 .

7设线段AB=a,AB在平面内,CA⊥,BD与成30ο角,BD⊥AB,C、D在同侧,CA=BD=b.求: (1)CD的长;(2)CD与平面所成角正弦值.

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C DAB

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