椭圆性质总结及习题

重点：椭圆的定义、椭圆的标准方程及椭圆的参数方程； 难点：用椭圆的定义及基本性质求椭圆的方程。 1 椭圆的两种定义：

①平面内与两定点F1，F2的距离的和等于定长2aF1F2的点的轨迹，即点集M={P| |PF1|+|PF2|=2a，2a＞|F1F2|}；（2aF1F2时为线段F1F2，2aF1F2无轨迹）。其中两定点F1，F2叫焦点，定点间的距离叫焦距。

②平面内一动点到一个定点和一定直线的距离的比是小于1的正常数的点的轨迹，即点集

d2 标准方程：

M={P|

PFe，0＜e＜1的常数

。（e1为抛物线；e1为双曲线）

x2y2（1）焦点在x轴上，中心在原点：221（a＞b＞0）；

ab焦点F1（－c，0）， F2（c，0）。其中ca2b2（一个Rt）

y2x2（2）焦点在y轴上，中心在原点：221（a＞b＞0）；

ab焦点F1（0，－c），F2（0，c）。其中ca2b2 注意：①在两种标准方程中，总有a＞b＞0，c a2b2并且椭圆的焦点总在长轴上；

②两种标准方程可用一般形式表示：Ax2+By2=1 （A＞0，B＞0，A≠B），当A＜

B时，椭圆的焦点在x轴上，A＞B时焦点在y轴上。

x2y23．参数方程 ：椭圆221(ab0)的参数方程

ab xacos (为参数)

ybsinab224.性质：对于焦点在x轴上，中心在原点：xy1（a＞b＞0）有以下性质：

22坐标系下的性质：

① 范围：|x|≤a，|y|≤b；

② 对称性：对称轴方程为x=0，y=0，对称中心为O（0，0）； ③ 顶点：A1（-a，0），A2（a，0），B1（0，-b），B2（0，b），长轴|A1A2|=2a，短轴|B1B2|=2b；

（a半长轴长，b半短轴长）；

a2④ 准线方程：xca2；或y

c⑤ 焦半径公式：P（x0，y0）为椭圆上任一点。|PF1|=r左=a+ex0，|PF2|=r右=a-ex0；

|PF1|=r下=a+ey0，|PF2|=r上=a-ey0;PFac,PFminac max平面几何性质： ⑥ 离心率：e=

c（焦距与长轴长之比）0,1；e越大越______，e0是_____。 ab22a2⑦ 焦准距p；准线间距

cc二、焦点三角形

x2y2结论一：若F1、F2是椭圆221(ab0)的两个焦点，P是椭圆上一点，且

abF1PF2，当点P位于___________时最大，cos=______________.

|PF1||PF2|的最大值为______________. SF1PF2btan22

结论二：过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短，通径为__________。

三．中点弦问题

x2y2AB是椭圆221(ab0)的一条弦，中点M坐标为(x0,y0)，则直线的斜率

ab为 。

四．弦长问题.

(1)斜率为k的直线与圆锥曲线相交于两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，则所得的弦长 或 .

(2)当直线的斜率不存在时，可求出交点的坐标，直接运算；

(3)经过圆锥曲线的焦点的弦(也称为焦点弦)的长度问题，可利用圆锥曲线的定义，将其转化为利用 ，往往比利用弦长公式简单。 五．X轴正半轴到椭圆的最短距离问题：

x2y2已知椭圆221(ab0)，则点(m ，O)到椭圆的最短距离为：_________________.

ab六．过椭圆上点切线问题

x0xy0yx2y2121222P0(x0,y0)Pbb若在椭圆a上，则过0的椭圆的切线方程是a.

习 题

1、 求椭圆16x25y400的长轴和短轴的长，离心率，焦点和顶点的坐标。 2、已知椭圆的焦点为F1(1,0)和F2(1,0)，P是椭圆上的一点，且F1F2是PF1与PF2的等差中项，则该椭圆的方程为__________________。

22x2y21上的一点M到左焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，则ON的长是3、 椭圆

259___________________。

4、 如果方程kxy2表示焦点在x轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是

______________。

22x2y25、 过椭圆221(ab0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，

ab若F1PF260，则椭圆的离心率为__________。

x2y26、 设F1,F2是椭圆221(ab0)的两个焦点，以F1为圆心且过椭圆中心的圆与椭

ab圆的一个焦点为M，若直线F2M与圆F1相切，则该椭圆的离心率为____________________。

x2y2125167、点P是椭圆上一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，且△PF1F2的内切圆半径

为1，当P在第一象限时，P点的纵坐标为_______________.

x2y2C:221FFab8、（2009年上海卷理）已知1、2是椭圆（a＞b＞0）的两个焦点，P1PF2.若PF1F2的面积为9，则b=____________. 为椭圆C上一点，且PFx2y21F,F|PF1|429、（2009北京文）椭圆9的焦点为12，点P在椭圆上，若，则

|PF2| ；

F1PF2的大小为 .

x2y21的左、右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上，若P、F1、F2是一10、已知椭圆169个直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为_________。

x2y2 11、设点P（x，y）在椭圆（1）试求点P到直线xy50的距离d的最1，

169大值和最小值。(2) 求x+2y的最小值。

x2y2112、设F1、F2分别是椭圆4的左、右焦点.

(Ⅰ)若P是该椭圆上的一个动点，求PF1·PF2的最大值和最小值;

（Ⅱ）设过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围.

13、已知椭圆的中心在原点O，焦点在x轴上，点A（23,0)是其左顶点，点C在椭圆

上，且ACCO0，|AC||CO|． （Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若平行于CO的直线l和椭圆交于M,N两个不同点，求CMN面积的最大值，并求此时直线l的方程．

6x2y21(ab0)2b214、 已知椭圆a的离心率为3，长轴长为23，直线l:ykxm

椭圆于不同的两点A，B． （Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若m1，且OAOB0，求k的值（O点为坐标原点）；

3（Ⅲ）若坐标原点O到直线l的距离为2，求AOB面积的最大值．

15、在直角坐标系xOy中，点M到F1(3,0)、F2(3,0)的距离之和是4，点M的轨迹

C 与x轴的负半轴交于点A，不过点A的直线l：ykxb与轨迹C交于不同的两

点P和Q．

（1）求轨迹C的方程； （2）当

APAQ0时，求k与b的关系，并证明直线l过定点．

x2y221(ab0)2A(1,1)b16、已知点是椭圆a上的一点，F1,F2是椭圆的两个焦点,

且满足

AF1AF24.

(Ⅰ)求椭圆的方程及离心率;

(Ⅱ)设点C,D是椭圆上的两点,直线AC,AD的倾斜角互补,试判断直线CD的斜

率是否为定值?并说明理由.

y21，过点M（0，1）的直线l交椭圆于点A、B，O是坐标17、设椭圆方程为x4111原点，点P满足OP(OAOB)，点N的坐标为(,)，当l绕点M旋转

222时，求（1）动点P的轨迹方程；（2）|NP|的最小值与最大值.

23x2y218、已知椭圆221（a>b>0）的离心率e=，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的

2ab面积为4.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设直线l与椭圆相交于不同的两点A、B，已知点A的坐标为（-a，0）.

|= （i）若|AB42，求直线l的倾斜角； 5（0，y0） （ii）若点Q在线段AB的垂直平分线上，且QAQB=4.求y0的值.

17、解：（1）法1：直线l过点M（0，1）设其斜率为k，则l的方程为y=kx+1. 记A(x1,y1),B(x2,y2)，由题设可得点A、B的坐标 (x1,y1)、 (x2,y2)是方程组

① ykx1 的解. 将①代入②并化简得(4+k2)x2+2kx-3=0， 2y21x② 42kxx,214k2所以

8yy.1224kxx2y1y21k4,)(,). 于是OP(OAOB)(1222224k4k设点P的坐标为(x,y), 则

kx,4k2消去参数k得4x2+y2-y=0 ③ y4.4k2当k不存在时，A、B中点为坐标原点（0，0），也满足方程③， 所以点P的轨迹方程为4x2+y2-y=0

解法二：设点P的坐标为(x,y)，因A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆上，所以

2y12y22x1, ④ x21. ⑤

4412222④—⑤得x1x2(y1y2)0，

41所以(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)0.

4yy210. ⑥ 当x1x2时，有x1x2(y1y2)14x1x221x1x2x,2yy2, ⑦ 将⑦代入⑥并整理得 4x2+y2-y=0 ⑧ 并且y12y1y1y2xxx.12当x1=x2时，点A、B的坐标为（0，2）、（0，－2），这时点P的坐标为

12(y)x221. （0，0）也满足⑧，所以点P的轨迹方程为111641112,即x.所以 （2）由点P的轨迹方程知x1644111117|NP|2(x)2(y)2(x)24x23(x)2

222461211，|NP|取得最小值，最小值为; 44211. 当x时，|NP|取得最大值，最大值为66故当x

18.【解析】（Ⅰ）解：由e=由题意可知

c322222，得3a4c.再由cab，解得a=2b. a212a2b4，即ab=2. 2a2b,x2y21. 解方程组得a=2，b=1，所以椭圆的方程为4ab2,(Ⅱ)(i)解：由（Ⅰ）可知点A的坐标是（-2,0）.设点B的坐标为(x1,y1)，直线l的斜率为k.则直线l的方程为y=k（x+2）.

yk(x2),于是A、B两点的坐标满足方程组x2消去y并整理，得

2y1.4(14k2)x216k2x(16k24)0.

16k2428k24kx由2x1，得.从而. y1114k214k214k228k24k41k2所以|AB|2. 22214k14k14k22

2k18k2x（2）当k0时，线段AB的垂直平分线方程为y。 2214kk14k令x0，解得y06k。

14k2由QA2,y0，QBx1,y1y0，

QA•QB2x1y0y1y0416k415k214，

228k214k26k4k6k

14k214k214k214k222整理得7k2。故k14214。所以y0。 75214。 5综上，y022或y0