专题61 椭圆的几何性质(原卷版)

专题知识梳理 1．椭圆的标准方程和几何性质

标准方程 x2y2＋＝1(a>b>0) a2b2y2x2＋＝1(a>b>0) a2b2图形 范围 对称性 －a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a 既是轴对称图形又是中心对称图形. 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 A1(－a，0)，A2(a，0) B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－b，0)，B2(b，0) 顶点 轴 焦距 离心率 a，b，c的关系 准线方程 2.直线与椭圆的位置关系的判断 长轴A1A2的长为2a，短轴B1B2的长为2b F1F2＝2c ce＝∈(0，1) ac2＝a2－b2 a2x＝± c a2y＝± c将直线方程与椭圆方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．

可考虑一元二次方程的判别式Δ，有： ①Δ>0⇔直线与椭圆相交； ②Δ＝0⇔直线与椭圆相切； ③Δ＜0⇔直线与椭圆相离．

3．设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝（1＋k2）[（x1＋x2）2－4x1x2](k为直线斜率)或

1

1（1＋2）[（y1＋y2）2－4y1y2](k为直线斜率)．

k

考点探究 考向1 求椭圆离心率的值

x2y2

【例】(1)如图，已知F1，F2是椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF2与圆

abx2＋y2＝b2相切于点Q，且点Q为线段PF2的中点，则椭圆C的离心率为____．

x2y2

(2)已知O为坐标原点，F是椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点．P为C上

ab一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为____． 题组训练

x2y2

1.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A，B1，B2分别为椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的右、下、上顶点，

abF是椭圆C的右焦点．若B2F⊥AB1，则椭圆C的离心率是____．

x2y2

2.过椭圆2＋2＝1(a>b>0)的左顶点A且斜率为1的直线与椭圆的另一个交点为M，与y轴的交点为B，若

abAM＝MB，则该椭圆的离心率为____．

2

x2y2

3.已知椭圆C：2＋2＝1，(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay

ab＋2ab＝0相切，则C的离心率为____．

4.以等腰直角△ABC的两个顶点为焦点，并且经过另一顶点的椭圆的离心率为________．

x2y2

5.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)的左顶点为A，左焦点为F，上顶点为B，

ab若∠BAO＋∠BFO＝90°，则椭圆的离心率是____．

考向2 椭圆离心率的取值范围

x2y2→→

【例】 (1)已知F1(－c，0)，F2(c，0)为椭圆2＋2＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆上一点，且PF1·PF2＝c2，

ab则此椭圆离心率e的取值范围是____．

(2)设F1，F2是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P，使∠F1PF2＝120°，则椭圆离心率e的取值范围是____． 题组训练

x2y2

1.已知椭圆2＋2＝1(a＞b＞c＞0，a2＝b2＋c2)的左、右焦点分别为F1，F2，若以F2为圆心，b－c为半径作

ab圆F2，过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T，且|PT|的最小值不小于

3(a－c)，则椭圆离心率e的取值2

3

范围是____．

x2y2

2.已知椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)和圆O：x2＋y2＝b2，若C上存在点P，使得过点P引圆O的两条切线，

ab切点分别为A，B，满足∠APB＝60°，则椭圆C的离心率的取值范围是____．

x2y2

3.若椭圆2＋2＝1(a>b>0)的右焦点为F，其右准线与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P，使得线段AP的

ab垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是____.

考向3 直线与椭圆的位置关系

【例】（2018·江苏卷）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C过点(3,)，焦点F，1(3,0),F2(3,0)圆O的直径为F1F2．

（1）求椭圆C及圆O的方程；

（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．

①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标； ②直线l与椭圆C交于A,B两点．若AOB的面积为1226，求直线l的方程． 7

题组训练 2y2x1.（2017南通三模）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆221(ab0)的左焦点为F(1，0)，且经ab过点(1，3)．

2

4

（1）求椭圆的标准方程；

（2）已知椭圆的弦AB过点F，且与x轴不垂直．

若D为x轴上的一点，DADB，求AB的值．

DF

x2y233

2.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的离心率为，且过点(1，)．过椭圆C

ab22的左顶点A作直线交椭圆C于另一点P，交直线l：x＝m(m＞a)于点M.已知点B(1，0)，直线PB交l于点N.

(1)求椭圆C的方程；

(2)若MB是线段PN的垂直平分线，求实数m的值．

5

x2y213.（2018苏北四市一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆221(ab0)的离心率为，

ab2且过点(1,).F为椭圆的右焦点，A,B为椭圆上关于原点对称的两点，连接AF,BF分别交椭圆于C,D两点.

⑴求椭圆的标准方程； ⑵若AFFC，求

32BF的值； FD⑶设直线AB,CD的斜率分别为k1,k2，是否存在实数m，使得k2mk1，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.

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