1990年全国统一高考数学试卷（理科）
一、选择题（共15小题，每小题4分，满分60分） 1．（4分）方程 A ． x=
2．（4分）把复数1+i对应的向量按顺时针方向旋转 A ．
B． i
3．（4分）（2009•烟台二模）如果底面直径和高相等的圆柱的侧面积是S，那么圆柱的体积等于（ ） A ． B． C． D． 4．（4分）方程sin2x=sinx在区间（0，2π）内的解的个数是（ ） A ．1 B．2 C．3 D．4
5．（4分）已知如图是函数y=2sin（ωx+φ）（|φ|＜
）的图象，那么（ ）
C．
所得到的向量对应的复数是（ ） D．
=的解是（ ） B． x=
C．x=
D．x =9
A ． ϖ=
，φ=
= B．ϖ
，φ=﹣
C ϖ=2，φ=
．
=2，φ=﹣ D．ϖ
6．（4分）函数 A ．{﹣2，4}
的值域是（ ）
B．{ ﹣2，0，4} C．{﹣2，0，2，D． { ﹣4，﹣2，0，
4} 4}
7．（4分）如果直线y=ax+2与直线y=3x﹣b关于直线y=x对称，那么（ ） A ． B． ，b=﹣6 C．a=3，b=﹣2 D． a =3，b=6 a=，b=6 a= 8．（4分）极坐标方程4sinθ=5ρ表示的曲线是（ ） A ．圆 B．椭 圆 C．双曲线的一支 D．抛 物线
9．（4分）设全集I={（x，y）|x，y∈R}，集合M={（x，y）|等于（ ）
=1}，N=（x，y）|y≠x+1．那么
A ．
B．{ （2，3）} C．（2，3）
D．{ （x，y）
|y=x+1}
10．（4分）（2010•建德市模拟）若实数x、y满足（x+2）2+y2=3，则的最大值为（ ） A ．
B．
C．
D．
11．（4分）如图，正三棱锥SABC的侧棱与底面边长相等，如果E、F分别为SC、AB的中点，那么异面直线EF与SA所成的角等于（ ）
A ．90° B．6 0° C．45° D．3 0° 12．（4分）已知h＞0．设命题甲为：两个实数a，b满足|a﹣b|＜2h；命题乙为：两个实数a，b满足|a﹣1|＜h且|b﹣1|＜h．那么（ ） A ．甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件 B ．甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件 C ．甲是乙的充分条件 D ．甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件 13．（4分）A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边（A，B可以不相邻），那么不同的排法共有（ ） A ．24种 B．6 0种 C．90种 D．1 20种 14．（4分）以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有（ ） A ．70个 B．6 4个 C．58个 D．5 2个 15．（4分）设函数y=arctgx的图象沿x轴正方向平移2个单位所得到的图象为C．又设图象C'与C关于原点对称，那么C'所对应的函数是（ ） A ．y=﹣arctg（xB． y =arctg（x﹣C．y=﹣arctg D．y =arctg（x+2）
﹣2） 2） （x+2）
二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分） 16．（5分）双曲线
的准线方程是 _________ ．
2345
17．（5分）（x﹣1）﹣（x﹣1）+（x﹣1）﹣（x﹣1）+（x﹣1）的展开式中，x2的系数等于 _________ ． 18．（5分）（2011•上海模拟）已知{an}是公差不为零的等差数列，如果sn是{an}的前n项的和，那么
等于 _________ ．
19．（5分）函数y=sinxcosx+sinx+cosx的最大值是 _________ ． 20．（5分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若E、F分别为AB、AC的中点，平面EB1C1F将三棱柱分成体积为V1、V2的两部分，那么V1：V2= _________ ．
三、解答题（共6小题，满分65分） 21．（10分）有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．
22．（10分）已知sina+sinB=，cosa+cosB=，求tg（a+B）的值．
23．（10分）如图，在三棱锥SABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC．DE垂直平分SC，且分别交AC、SC于D、E．又SA=AB，SB=BC．求以BD为棱，以BDE与BDC为面的二面角的度数．
24．（11分）设a为实数，在复数集C中解方程：z2+2|z|=a．
25．（12分）设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e=圆上的点最远距离是
26．（12分）f（x）=lg
，已知点P（0
）到这个椭
．求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点P的距离等于的点的坐标．
，其中a是实数，n是任意自然数且n≥2．
（Ⅰ）如果f（x）当x∈（﹣∞，1]时有意义，求a的取值范围； （Ⅱ）如果a∈（0，1]，证明2f（x）＜f（2x）当x≠0时成立．
1990年全国统一高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共15小题，每小题4分，满分60分） 1．（4分）方程 A ． x=
=的解是（ ） B．
x=
C．x=
D．x =9
考点： 分析： 解答：
对数的运算性质；指数式与对数式的互化． 根据指数式与对数式的互化可知，解：∵∴∴
⇔
，进而得到答案．
点评：
故选A．
本题主要考查指数式与对数式的相互转化．
所得到的向量对应的复数是（ ） D．
2．（4分）把复数1+i对应的向量按顺时针方向旋转 A ．
B． i
考点： 分析： 解答：
复数代数形式的混合运算． 把复数1+i乘以cos（﹣
）+isin（﹣C．
），化简为代数形式即可．
所得到的
=
，
解：复数1+i对应的向量按顺时针方向旋转向量：（1+i）[cos（﹣故选D．
）+isin（﹣
）]=（1+i）
点评：
复数旋转，实际上复数乘以一个模为1的辅角为﹣基础题．
复数三角形式，注意旋转方向，本题是
3．（4分）（2009•烟台二模）如果底面直径和高相等的圆柱的侧面积是S，那么圆柱的体积等于（ ） A ． B． C． D．
考点： 专题： 分析： 解答：
旋转体（圆柱、圆锥、圆台）． 计算题．
设圆柱高为h，推出底面半径，求出圆柱的侧面积，然后求出圆柱的体积即可得到选项． 解：设圆柱高为h，则底面半径为． 由题意知，S=πh2， ∴h=
，
．
∴V=π（）2•h=
点评： 4．（4分）方程sin2x=sinx在区间（0，2π）内的解的个数是（ ）
故选D．
本题是基础题，考查圆柱的侧面积、体积的计算及其关系，考查计算能力，常考题型．
A ．1
考点： 专题： 分析： 解答：
B．2 C．3 D．4
正弦函数的图象；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 计算题．
通过二倍角公式化简的2sinxcosx=sinx，进而推断sinx=0或cosx=，进而求出x的值． 解：sin2x=2sinxcosx=sinx ∴sinx=0或cosx= ∵x∈（0，2π） ∴x=π或
或
点评：
故选C
本题主要考查了三角函数的二倍角公式．属基础题．
）的图象，那么（ ）
5．（4分）已知如图是函数y=2sin（ωx+φ）（|φ|＜
A ． ϖ=
，φ=
= B．ϖ
，φ=﹣C．ϖ=2，φ= =2，φ=﹣ D．ϖ
考点： 专题： 分析：
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式． 计算题；数形结合法． 由图象过（0，1）及|φ|＜知ω•
+
，求出ψ的值，函数图象过点（
，0），据五点法作图的过程
=2π，求出ω．
，
解答：
解：因为函数图象过（0，1），所以，1=2sinφ，∴sinφ=，∵|φ|＜∴φ=
，故函数y=2sin（ωx+
+
），又∵函数图象过点（
+
，0）， =2π，
∴0=2sin（ω•∴ω=2，综上，φ=
点评：
），由五点法作图的过程知，ω•，ω=2，
故选C．
本题考查五点法作图的方法，在本题图中的一个完整的标准周期内，图象上的五个关键点的横坐标分别为：0，
，π，
，2π．
6．（4分）函数
的值域是（ ）
A ．{﹣2，4}
考点： 专题： 分析： 解答：
B．{ ﹣2，0，4} C．{﹣2，0，2，D． { ﹣4，﹣2，0，
4} 4}
函数的值域；三角函数的化简求值．
计算题；分类讨论．
根据正切和余切的定义求出函数的定义域，分四种情况由三角函数值的符号，去掉绝对值求解．解：由题意知，函数的定义域是{x|x≠
，k∈Z}，下由各个象限中三角函数值的符号来确定在
点评：
各个象限中函数的值
当x是第一象限角时，因所有三角函数值大于零，故y=4；
当x是第二象限角时，因为只有正弦值大于零，故y=1﹣1﹣1﹣1=﹣2； 当x是第三象限角时，因为正切值和余切值大于零，故y=﹣1﹣1+1+1=0； 当x是第四象限角时，因为只有余弦值大于零，故y=﹣2； 所以函数的值域是{﹣2，0，4}． 故选B．
本题主要考查了三角函数的定义以及符号，根据定义求出函数的定义域，由三角函数值的符号进行化简求值．
7．（4分）如果直线y=ax+2与直线y=3x﹣b关于直线y=x对称，那么（ ） A ． B． ，b=﹣6 C．a=3，b=﹣2 D． a =3，b=6 a=，b=6 a=
考点： 分析：
反函数．
本题考查对互为反函数的两个函数图象之间的关系、反函数的求法等相关知识；
本题可有两种方法，其一，求出y=ax+2的反函数令其与y=3x﹣b的对应系数相等获得，其二由互为反函数图象上的点之间的对称关系，通过在图象上取特殊点求解． 解：
法一：由题意，函数y=3x﹣b的反函数为y=与y=ax+2对照可得a=，b=6； 法二：在y=ax+2上取点（0，2），
则点（2，0）在y=3x﹣b上，故得b=6；
又y=3x﹣6上有点（0，﹣6），则点（﹣6，0）在y=ax+2上，代入得a=， 由此可得a=，b=6 答案：a=，b=6
点评：
，
解答：
本题解题思路清晰，方向明确，运算量也小，属于容易题目．这里提供了两种方法，比较可见各有特点，直接求反函数过程简捷，较为简单，特值代入，小巧易行，过程稍繁．
8．（4分）极坐标方程4sinθ=5ρ表示的曲线是（ ） A ．圆 B．椭 圆 C．双曲线的一支 D．抛 物线
考点： 简单曲线的极坐标方程． 分析： 先在极坐标方程4sinθ=5ρ的两边同乘以ρ，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，
ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得直角坐标系，再利用直角坐标方程即可进行判断．
解答： 解：将方程4sinθ=5ρ两边都乘以p得：4ρsinθ=5ρ2，
点评：
化成直角坐标方程为
5x2+5y2﹣4y=0．它表示一个圆． 故选A．
本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．
=1}，N=（x，y）|y≠x+1．那么
9．（4分）设全集I={（x，y）|x，y∈R}，集合M={（x，y）|等于（ ） A ．
考点： 分析： 解答：
B．{ （2，3）} C．（2，3）
D．{ （x，y）
|y=x+1}
交、并、补集的混合运算． 先化简集合M，再计算．
解：∵M={（x，y）|y=x+1或（x，y）≠（2，3）}， ∴又∵∴
．
．
，
点评：
故答案选B．
本题主要考查了集合间的交，并，补混合运算，注意弄清各集合中的元素．
10．（4分）（2010•建德市模拟）若实数x、y满足（x+2）2+y2=3，则的最大值为（ ） A ．
考点： 专题： 分析：
B．
C．
D．
简单线性规划． 计算题．
先判断出方程表示的图形，再给赋与几何意义，作出图象，结合图判断出当直线与圆相切时斜率最大求出最大值． 解：（x+2）2+y2=3，表示以（﹣2，0）为圆心，以
为半径的圆
解答：
表示圆上的点与（0，0）连线的斜率，设为k则y=kx 由图知，当过原点的直线与圆相切时斜率最大 故有由图知，故选A
解得
或
点评： 本题考查圆的标准方程、两点连线斜率公式的形式、数形结合求最值． 11．（4分）如图，正三棱锥SABC的侧棱与底面边长相等，如果E、F分别为SC、AB的中点，那么异面直线EF与SA所成的角等于（ ）
A ．90°
考点： 专题： 分析： 解答：
B．6 0°
C．45°
D．3 0°
异面直线及其所成的角． 计算题；压轴题．
先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点AC的中点D，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可．
解：如图，取AC的中点D，连接DE、DF，∠DEF为异面直线EF与SA所成的角 设棱长为2，则DE=1，DF=1，根据SA⊥BC，则ED⊥DF ∴∠DEF=45°， 故选C．
点评：
本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．
12．（4分）已知h＞0．设命题甲为：两个实数a，b满足|a﹣b|＜2h；命题乙为：两个实数a，b满足|a﹣1|＜h且|b﹣1|＜h．那么（ ） A ．甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件 B ．甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件 C ．甲是乙的充分条件 D ．甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件
考点： 分析： 解答：
点评：
必要条件、充分条件与充要条件的判断．
巧妙运用绝对值不等式|a|+|b|≥|a+b|及必要、充分条件，可以解答本题．
解：由|a﹣1|＜h且|b﹣1|＜h 得|a﹣b|=|a﹣1+1﹣b|≤|a﹣1|+|1﹣b|＜2h，所以甲是乙的必要条件；不妨令h=1，a=0.5，b=﹣0.3，|a﹣1|=0.5＜1，而|b﹣1|=1.3＞1，因而甲不是乙的充分条件． 故选B
|a|+|b|≥|a+b|的合理运用，以及巧妙运用|a﹣1|+|1﹣b|的使用，是解答甲是乙的必要条件的一个关键；充分条件的推导用的是特殊值否定法．
13．（4分）A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边（A，B可以不相邻），那么不同的排法共有（ ） A ．24种 B．6 0种 C．90种 D．1 20种
考点： 排列、组合的实际应用． 专题： 转化思想． 分析： 根据题意，首先计算五人并排站成一排的情况数目，进而分析可得，B站在A的左边与B站
在A的右边是等可能的，使用倍分法，计算可得答案．
解答： 解：根据题意，使用倍分法，
五人并排站成一排，有A55种情况，
而其中B站在A的左边与B站在A的右边是等可能的， 则其情况数目是相等的，
则B站在A的右边的情况数目为×A55=60，
点评：
14．（4分）以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有（ ） A ．70个 B．6 4个 C．58个 D．5 2个
考点： 棱锥的结构特征． 专题： 压轴题；分类讨论． 分析： 以一个正方体的顶点为顶点中任意选4个除去在同一个平面上的点，可得四面体的个数． 解答： 解：正方体的8个顶点中任取4个共有C84=70个
不能组成四面体的4个顶点有，已有的6个面，对角面有6个 所以以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有：70﹣12=58个 故选C．
点评： 本题考查棱锥的结构特征，考查逻辑思维能力，是中档题． 15．（4分）设函数y=arctgx的图象沿x轴正方向平移2个单位所得到的图象为C．又设图象C'与C关于原点对称，那么C'所对应的函数是（ ） A ．y=﹣arctg（xB． y =arctg（x﹣C．y=﹣arctg D．y =arctg（x+2）
﹣2） 2） （x+2）
考点： 函数的图象与图象变化． 专题： 压轴题． 分析： 根据平移变换和对称变换引起的解析式变化规律依次求出C、C'对应的解析式即可． 解答： 解：将函数y=arctgx的图象沿x轴正方向平移2个单位所得到的图象为C
则C对应的解析式为y=arctg（x﹣2） 又∵图象C'与C关于原点对称
则C'对应的解析式为y=﹣arctg（﹣x﹣2）=arctg（x+2）
故选B．
本题考查排列、组合的应用，注意使用倍分法时，注意必须保证其各种情况是等可能的．
点评：
故选D
平移变换的口决是“左加右减，上加下减”
对称变换的口决是“关于Y轴负里面，关于X轴负外面，关于原点，既负里面，又负外面”
二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分） 16．（5分）双曲线
考点： 专题： 分析： 解答：
的准线方程是 y=± ．
双曲线的简单性质． 计算题．
由焦点在y轴的双曲线的准线方程公式解：∵a=4，b=3， 则c=5， 双曲线故答案是
的准线方程是．
，
进行求解．
点评： 本题比较简单，解题时要注意双曲线的焦点在y轴上． 17．（5分）（x﹣1）﹣（x﹣1）2+（x﹣1）3﹣（x﹣1）4+（x﹣1）5的展开式中，x2的系数等于 ﹣20 ．
考点： 二项式定理的应用． 专题： 计算题． 分析： 多项式展开式的含x2项的系数等于各个二项式展开式的系数和，利用二项展开式的通项公式
求出各个系数．
解答： 解：展开式中含x2项的系数为﹣1﹣C32﹣C42﹣C52
=﹣1﹣3﹣6﹣10=﹣20 故答案为﹣20
点评： 本题考查等价转化能力及二项展开式的通项公式的应用． 18．（5分）（2011•上海模拟）已知{an}是公差不为零的等差数列，如果sn是{an}的前n项的和，那么
等于 2 ．
考点： 分析：
等差数列的性质；极限及其运算；等差数列的前n项和． 设an=a1+（n﹣1）d，sn=na1+
d，代入
d，代入得
求出极限即可．
解答：
解：设an=a1+（n﹣1）d，sn=na1+
===2
点评：
故答案为2
考查学生运用等差数列性质的能力，运用等差数列求和公式的能力，会求极限及运算极限的能力．
19．（5分）函数y=sinxcosx+sinx+cosx的最大值是
考点： 专题： 分析： 解答：
．
三角函数的最值． 计算题；压轴题．
利用sinx与cosx的平方关系，令sinx+cosx=t，通过换元，将三角函数转化为二次函数，求出对称轴，利用二次函数的单调性求出最值． 解：令t=sinx+cosx=∴sinxcosx=∴y=对称轴t=﹣1 ∴当t=故答案为
时，y有最大值
=
（
）
则
点评：
本题考查三角函数中利用平方关系sinx+cosx与2sinxcosx两者是可以相互转化的、二次函数的最值的求法．
20．（5分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若E、F分别为AB、AC的中点，平面EB1C1F将三棱柱分成体积为V1、V2的两部分，那么V1：V2=
．
考点： 专题： 分析： 解答：
棱柱、棱锥、棱台的体积． 计算题；压轴题． 设AEF面积为s1，ABC和A1B1C1的面积为s，三棱柱高位h；VAEF﹣A1B1C1=V1；VBCFE﹣B1C1=V2；总体积为：V，根据棱台体积公式求V1；V2=V﹣V1以及面积关系，求出体积之比．
解：由题：设AEF面积为s1，ABC和A1B1C1的面积为s，三棱柱高位h；VAEF﹣A1B1C1=V1； VBCFE﹣B1C1=V2；总体积为：V 计算体积：
V1=h（s1+s+V=sh ② V2=V﹣V1③
）①
由题意可知，s1=④
根据①②③④解方程可得：V1=故答案为：
sh，V2=
sh；则
点评： 本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积，考查计算能力，转化思想，考查空间想象能力，是基础题．
三、解答题（共6小题，满分65分） 21．（10分）有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．
考点： 数列的应用． 专题： 计算题． 分析： 设四个数依次为x，y，12﹣y，16﹣x．根据等差数列和等比数列的性质知
，由此能求出这四个数．
解答：
解：设四个数依次为x，y，12﹣y，16﹣x．
依题意，有
由①式得x=3y﹣12．③
将③式代入②式得y（16﹣3y+12）=（12﹣y）2， 整理得y2﹣13y+36=0． 解得y1=4，y2=9．
代入③式得x1=0，x2=15．
从而得所求四个数为0，4，8，16或15，9，3，1．
本题考查数列的性质和应用，解题时要注意公式的合理运用．
点评：
22．（10分）已知sina+sinB=，cosa+cosB=，求tg（a+B）的值．
考点： 分析：
两角和与差的正弦函数；同角三角函数基本关系的运用． 和差化积，两已知等式出现相同的因式，两式相除，约分得入即求的结果，注意二倍角公式的符号． 解法一：由已知得 sinα+sinβ=2sincos
cos
=，
，
角的正切，用二倍角公式代
解答：
两式相除得tan=，
tan（α+β）=
=
点评：
数学课本中常见的三角函数恒等式的变换，既是重点，又是难点．其主要难于三角公式多，难记忆，角度变化、函数名称变化，运算符号复杂、难掌握，解题时抓住题目本质，熟记公式，才不会出错．
23．（10分）如图，在三棱锥SABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC．DE垂直平分SC，且分别交AC、SC于D、E．又SA=AB，SB=BC．求以BD为棱，以BDE与BDC为面的二面角的度数．
考点： 专题： 分析： 解答：
平面与平面之间的位置关系． 计算题．
欲证BD⊥DE，BD⊥DC，先证BD⊥面SAC，从而得到∠EDC是所求的二面角的平面角，利用Rt△SAC与Rt△EDC相似求出∠EDC即可．
解：由于SB=BC，且E是SC的中点，因此BE是等腰三角形SBC的底边SC的中线，所以SC⊥BE．
又已知SC⊥DE，BE∩DE=E， ∴SC⊥面BDE， ∴SC⊥BD．
又∵SA⊥底面ABC，BD在底面ABC上， ∴SA⊥BD．
而SC∩SA=S，∴BD⊥面SAC．
∵DE=面SAC∩面BDE，DC=面SAC∩面BDC， ∴BD⊥DE，BD⊥DC．
∴∠EDC是所求的二面角的平面角．
∵SA⊥底面ABC，∴SA⊥AB，SA⊥AC． 设SA=a，则AB=a，BC=SB=a ∵AB⊥BC，∴AC=
，在Rt△SAC中tan∠ACS=
∴∠ACS=30°．
又已知DE⊥SC，所以∠EDC=60°，即所求的二面角等于60°．
点评：
本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．
24．（11分）设a为实数，在复数集C中解方程：z2+2|z|=a．
考点： 复数的基本概念；复数相等的充要条件． 专题： 压轴题；分类讨论． 分析： 由于z2=a﹣2|z|为实数，故z为纯虚数或实数，因而需分情况进行讨论．当z是实数时，本题
是一个关于z的一元二次方程组，解方程组即可；当z是一个纯虚数时，按照实数方程求解得到z的虚部，写出纯虚数即可．
解答： 解：设|z|=r．若a＜0，则z2=a﹣2|z|＜0，于是z为纯虚数，从而r2=2r﹣a．
由于z2=a﹣2|z|为实数，故z为纯虚数或实数，因而需分情况进行讨论．
解得r=
（r=
＜0，不合，舍去）．故z=±（
）i．
若a≥0，对r作如下讨论：
（1）若r≤a，则z2=a﹣2|z|≥0，于是z为实数． 解方程r2=a﹣2r，得r=故z=±（
）．
（r=
＜0，不合，舍去）．
（2）若r＞a，则z2=a﹣2|z|＜0，于是z为纯虚数． 解方程r2=2r﹣a，得r=故z=±（
）i（a≤1）．
或r=
（a≤1）．
综上所述，原方程的解的情况如下： 当a＜0时，解为：z=±（当0≤a≤1时，解为：z=±（当a＞1时，解为：z=±（
点评：
25．（12分）设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e=
，已知点P（0
）到这个椭
）i； ），z=±（）．
）i；
本题还可以令z=x+yi（x、y∈R）代入原方程后，由复数相等的条件将复数方程化归为关于x，
y的实系数的二元方程组来求解．
圆上的点最远距离是．求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点P的距离等于
考点： 椭圆的应用．
的点的坐标．
专题： 分析：
计算题；压轴题．
由题设条件取椭圆的参数方程
，其中0≤θ＜2π，根据已知条件和椭圆的性质能够推
的点的坐标．
出b=1，a=2．从而求出这个椭圆的方程和椭圆上到点P的距离等于
解答：
解：根据题设条件，可取椭圆的参数方程是由
可得
，其中0≤θ＜2π， ，即a=2b．
设椭圆上的点（x，y）到点P的距离为d，则
====如果由此得因此必有
，即
．
，则当sinθ=﹣1时，d2有最大值，由题设得，与成立，于是当
矛盾．
时，d2有最大值，由题设得
， ，
由此可得b=1，a=2． ∴椭圆的方程是得， 椭圆上的点
和
到点P的距离都是
．
，所求椭圆的参数方程是
，由
可
点评：
本题考查椭圆的性质及其应用，解题时要注意参数方程的合理运用．
26．（12分）f（x）=lg，其中a是实数，n是任意自然数且n≥2．
（Ⅰ）如果f（x）当x∈（﹣∞，1]时有意义，求a的取值范围； （Ⅱ）如果a∈（0，1]，证明2f（x）＜f（2x）当x≠0时成立．
考点： 对数函数图象与性质的综合应用．
专题： 分析： 计算题；压轴题． （Ⅰ）、f（x）当x∈（﹣∞，1]时有意义的条件是1+2x+…+（n﹣1）x+nxa＞0，x∈（﹣∞，1]，n≥2，即
，然后由函数的单调性求实
解答：
数a的取值范围． （Ⅱ）、欲证如果a∈（0，1]，证明2f（x）＜f（2x）当x≠0时成立，只需证明n≥2时，[1+2x+…+（n﹣1）x+nxa]2＜n[1+22x+…+（n﹣1）2x+n2xa]，a∈（0，1]，x≠0即可得证． 解：（Ⅰ）f（x）当x∈（﹣∞，1]时有意义的条件是1+2x+…+（n﹣1）x+nxa＞0，x∈（﹣∞，1]，n≥2， 即∵∴
，
上都是增函数，
在（﹣∞，1]上也是增函数，
从而它在x=1时取得最大值．
所以∵
故a的取值范围是{a|a＞﹣}．
等价于
，
，
点评：
（Ⅱ）证明：只需证明n≥2时，[1+2x+…+（n﹣1）x+nxa]2 ＜n[1+22x+…+（n﹣1）2x+n2xa]，a∈（0，1]，x≠0．
∵（a1+a2+…+an2）2=（a12+a22+…an2）+2（a1a2+a2a3+…+an﹣1an） ≤（a12+a22+…an2）+[（a12+a22）+…+（a12+an2）]+[（a22+a32）
+…+（a22+an2）]+…+[（an﹣22+an﹣12）+（an﹣22+an2）]+（an﹣12+an2） =n（a12+a22+…+an2）．
于是（a1+a2+…+an）2≤n（a12+a22+…+an2）当a1=a2=…=an时成立． 利用上面结果知，当a=1，x≠0时，因1≠2x，
所以有[1+2x+…+（n﹣1）x+nxa]2＜n[1+22x+…+（n﹣1）2x+n2xa]，a∈（0，1]， 当0＜a＜1，x≠0时，因a2＜a，
所以有[1+2x+…+（n﹣1）x+nxa]2＜n[1+22x+…+（n﹣1）2x+n2xa]， 即有2f（x）＜f（2x）a∈（0，1]，x≠0．
本题是比较难的对数函数的综合题，在解题过程中要注意等价转化思想的灵活运用，并且细心运算，避免不必要的错误．
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