四川省绵阳市2019届高三第一次诊断性测试数学理

数学理试题

本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题） ．第 I 卷.1 至 2 页，第 II 卷 2 至 4 页．共 4页．满分 150 分．考试时间 120 分钟．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在 本试题卷、草稿纸上答题无效．考试结束后，将答题卡交回．

第 I 卷（选择题，共 50 分）

注意事项： 必须使用 2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑． 第 I 卷共 10 小题．

一、选择题：本大题共 10小题，每小题 5 分，共 50分．在每小题给出的四个选项中，只 有一个是符合

题目要求的．

＊

1．集合 S={x ｜｜ x-4｜＜2，x N }，T＝{4，7，8}，则 S U T＝

（A）{4}

2

（B）{3 ，5， 7，8}

（C） {3， 4, 5， 7，8} （D） {3 ，4, 4, 5, 7, 8} 2．命题 “ x0 N,x02 2x0 3 ”的否定为

（A） x0 N,x02 2x0 3 （B） x N,x2 2x 3 （C） x0 N,x02 2x0 3 （D） x N,x2 2x 3

3．己知幂函数过点（ 2， 2 ），则当 x=8 时的函数值是 （A） 2 2 （B） 2 2 （C） 2 （D） 4.若a,b,c R,己知 P： a,b,c成等比数列； Q: b = ac．则 P是 Q的

A ）充分不必要条

B）必要不充分条件 D）既不充分也不必要条

件

件 5

5.下列四个函数中，最小正周期为 ，且关于直线 x＝一

C）充要条件

对称的函数是

12

x

A ) y sin( )

B ) y sin(

x

23

D ) y sin(2 x )

C ) y sin(2 x )

3

3 a11 ＝

2 （A ）3 （B）6 （C）12 （D）24

1

6．在等差数列{ an }中，若 a4＋a9＋al4＝36，则 a10

7．在△ ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a,b,c ，若 c2 b2 2ab,sin A 2 2sinB，

则 cosC ＝

1·

A）

B) 2

D）

xy0

8．若实数 x，y 满足不等式组 x 2y 4 0，且 x y 的最大值为 3，则实数 m=

x my 1 0

1 （A ）一 1 （B） （C）l （D）2 2

2

9．设函数 y＝f（x），x R满足 f（x＋l）＝f（x一 l），且当 x （－ 1，1］时， f（x）＝1一 x，

2

函数 g（ x）

A)15

lg|x|,x 0

，则 h（ x）＝ f（x）一 g（ x）在区间［－ 6， 9］内的零点个数是

C）13．（D）12

2

2

1 ， 1 ），则｜ MA MB MC ｜的 M（ 11

1,x 0

B)14

10．直角△ ABC 的三个顶点都在单位圆 x y 1上，点

22

D)3 2 ＋2

最大值是

A）

B） 2＋2 （C）322 ＋1

2

第 II 卷（非选择题共 100 分） 注意事项：

必须使用 0．5 毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指的答题区域内作答．作图题可 先用铅笔绘出，确认后再用 0．5 毫米黑色墨迹签字笔描清楚．答在试题卷、草稿纸上无效． 第 II 卷共 11 小题．

二、填空题：本大题共 5小题，每小题 5分，共 25 分，

11、·函数 f（x） 1 lgx 的定义域为

12，式子 tan200 tan 400 3 tan 200 tan 400的值是 13·已知函数 f（x） x

．

x 6x 6,x 2

其中 a>0， a 1 ，若对任意的

2

1

x,x2 R,x1 x2，恒有 ax a,x 2

［ f（x1） f（x2）］（x1 x2 ）>0，则实数 a的取值范围 ． 2

14.二次函数 f（x） ax2 +2bx+c的导函数为 f '（x） ，已知 f '（0） 0 ，且对任意实数 x，有 f（x）

0， 则 的最小值为 ．

f '（0）

f （1）

1 5．设集合 M 是实数集 R 的一个子集，如果点 x0 R 满足：对任意 >0，都存在 x M ，

使得 0<|x x0 | ①有理数集；

；，称 x0 为集合 M 的一个 “聚点 ”．若有集合：

② cos |n N * n1

③ sin |n N* ④ |n N * n 1 n 1

其中以 0为“聚点 ”的集合是 ．（写出所有符合题意的结论序号） 三、解答题：本大题共 6小题，共 75 分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分 12 分）

已知向量 m （cos ,1 sin ）,n （ cos ,sin ）（ R） （1）若 m n ，求角 的值；

2·

（ 2）若 ，求 cos2 的值．

17、（本小题满分 12 分） 已知数列 { an }的首项 a1＝ 1，且 an+1＝2an＋ （n N*, R） （1）试问数列

{an＋ }是否为等比数列？若是，请求出数列 { an }的通项公式；若不是， 请说，明理由； （2）当 ＝1 时，记 bn

n

，求数列 { bn} 的前 n项和 Sn

an 1

18．（本小题满分 12 分） 某民营企业家去年为西部山区 80 名贫困大学生捐资奖学金共 50 万元妥该企

业家计划 从今年起（今年为第一年） 10年内每年捐资总金额都比上一年增加 10 万元，资助的 贫困大学生每年净增 a 人。·

（l）当 a＝10 时，在计划时间内，每年的受捐贫困大学生人均获得的奖学金是否超过

0.8 万元？请说明理由． （2）为使人均奖学金年年有增加，资助的大学生每年净增人数不超过多少

人？

19．（本小题满分 12 分）

已知如图，在 Rt△ ABC 中，∠ A＝60°，AB＝6，点 D、E 是斜边 AB 上两点． （l）当点 D是线段

AB 靠近 A 的一个三等分点时，求 CD CA的值； （2）当点 D、E 在线段 AB 上运动时，且∠ DCE＝30°，设∠ ACD＝ θ， 试用θ表示△ DCE 的面积 S，并求 S的取值范围．

20：（本小题满分 13 分）

32

3 1 2 已知 f（ x）＝ ax bx

＋cx－ 1 的导函数为 f '

（x） ，且不等式 f '（x） ≥0

的解集为

2

{ x｜一 2≤ x≤1}．

（1）若函数 f（ x）的极小值为一 11，求实数 a 的值； ·

（2）当 x ［－ 3， 0］时，关于 x 的方程 f（x）一 ma＋1＝ 0 有唯一实数解，求实数 m 的取 值

3·

范围．

21．（本小题满分 14 分）

己知函数 f（x）＝ in（x＋ l）一 x（x>一 l） （ 1）求 f（ x）的单调区间；

2）若 k Z，且 f（x 一 1）＋x> k（1 3）对任意 x> 1恒成立，求 k 的最大值；

（3）对于在（理由． x

0，1）中的任意一个常数 a，是否存在正数 x0，使得 ef（x0）

4·

a x02成立？20 请说明

1

绵阳市高 2019 级第一次诊断性考试 数学 (理工类 )

参考解答及评分标准 选择题：本大题共 10小题，每小题 5 分，共 50分．

CDADD BACBC 填空题：本大题共 5小题，每小题 5 分，共 25 分． 11． 0，10 12． 3 13．a≥ 2 14．2

15．①③

解答题：本大题共 6小题，共 75 分．

解 ：( 1)∵ m⊥ n， ∴ m· n=(cosα， 1- sinα)·( - cosα， sinα)=0， 22

即- cos2α+sinα-sin2α=0． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 由 sin 2α+cos2α=1，解得 sinα=1，

16． 2k

2

，k∈ Z.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

3分

2) ∵ m- n=(2cosα， 1- 2sinα)， |m- n|= (2cos ) (1 2sin )

4(cos2 sin2 ) 1 4sin 5 4sin ， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5- 4sinα=3 ，即得 sin 1 ，

2

21

cos2 1 2sin ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

2

1

22

6分

解：( 1)由已知 an+1=2an+λ，可得 an+1+λ=2(an+λ)．

∵ a1=1 ，

当 a

9分

1+

λ=0，即 λ=-1 时， an+λ=0 ，此时 { an+λ}不是等比等列． a 当 a1+λ≠0，即 λ≠-1 时， an 1 2 (常数)．

a

n

此时，数列 {an } 是以 a1

17．

1 为首项， 2 为公比的等比数列，

12 分

∴ an (1 ) 2n 1，于是 an (1 ) 2n 1 ． ⋯⋯⋯⋯⋯

n bn

3分

3

23

n2n

(2) 当 λ=1 时， an=2n- 1，

2n .222

Sn 211 两边同乘

以 两式相减得

1

得 12Sn 1 1

2 2 n

123 222 1

22

234

n

1

2

n2n n

n

2n 1

⋯ 6 分

7分

5·

(1 1n ) 2 2n

111

n

2n 1

n1 ， ，2n

2n 1

1 n

．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ∴

Sn 2

2n1 2n ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

18 ．解：（1）设第 n 年的受捐贫困生的人数为 an，捐资总额为 n． b则 a

n =80+(n-1)a，bn=50+(n-1)×10=40+10n.

当 a=10 时，

an=10n+70 ，

12 分

2分

bn 40 10n

an 10n 70

解得： n>8． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

即从第 9年起受捐大学生人均获得的奖学金才能超过 0.8万元． ⋯⋯⋯⋯ 6分

2）由题意：

ba

n 1 n 1

5 分

ba

n n

40 10(n 1) 40 10n

，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

80 na 80 (n 1)a

整理得 (5+n)[80+(n-1)a]-(4+n)(80+na)>0， 即 400+5na-5a+80n+n2a-na-320-4na-80n-n2a>0， 化简得 80-5a>0，

解得 a<16，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 11 分

要使人均奖学金年年有增加，资助的大学生每年净增人数不超过

8分

15 人．

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分

11

19．解：(1)在 Rt△ABC中，AC=ABcos60o=6

3， AD AB 2. 23

∵ CD CA AD ，

2

∴ CD CA (CA AD) CA CA AD CA

|CA|2 | AD | |CA| cos AD ，CA

=9+2 ×3× cos120o =6.

4分

33

2

2)在△ ACD 中，∠ ADC =180o- ∠ A- ∠DCA= 120o-θ，

由正弦定理可得

CD AC sin A sin ADC

即 CD

sin(120 )

33 2sin(120 )

5分

6·

在△ AEC 中，∠ ACE=θ+30o，∠AEC=180o-60o-(θ+30o)=90o-

33

θ，

2cos

，

即 CE 2 由正弦定理可得： CE AC ，

sin(90 ) sin A sin AEC

S DCE 1CD CE DCE

2

27 3 3

sin30 1

4

33 2sin(120 )

7分

33 2cos

16 sin(120 ) cos 令 f(θ)=sin(120o- θ)cosθ， 0o≤ θ≤

60o， ∵ f(θ)=(sin120ocosθ- cos120osinθ)cosθ 3cos2

1

sin cos

22 3 1 cos2 1 1 2 2 2 2

3 13

sin 2

( cos2 1sin2 ) 4 2 2 2

3 1

sin(2 60 ) ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 42 由 0o≤ θ≤60o，知 60o≤2θ+60o≤ 180o，

∴ 0≤ sin(2 θ+60o)≤ 1，

3 3 1

，

4 2

1 4 3 ≤， f ( ) 3

27 3

10 分

12 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

≤f(θ)≤

4

f (x) 3ax2 bx c ，

2 2∴ 4(2 3) ≤ +bx+c≥0 的解集为 {x|-2≤x≤1}， 3ax

2 2

且方程 3ax+bx+c=0 的两根为 - 2， 1．

27bc3)(2 于是 1， 2 ，12分 ≤ S DCE ≤

4

3a 3a 得 b=3a， c=- 6a. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ∵ 3ax2+bx+c<0 的解集为

20．解：{x|x<- 2 或 x>1} ， ∴ f(x)在(-∞， - 2)上是减函数，在 [- 2，1]上是增函数，在 (1，

（1） +∞ )上是减函数． ∴ 当 x=- 2时 f(x)取极小值，即 -8a+2b- 2c- 1= - 11， 把 由题意得

∴ a<0 ， 代入得 - 8a+6 a+12 a- 1=- 11， 解得 a=-1. b=3a，c=- 6a

2分

5分

7·

( 2)由方程 f(x)- ma+1=0 ，可整理得 ax3 1bx2 cx 1 ma 1 0 ，

2

32

3 即 ax ax 6ax ma ． 2 ∴ m x3 3x2 6x ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分 2 令 g(x) x3 3x2 6x

，

2 ∴ g (x) 3x2 3x b

3(x 2)(x 1) ． 列表如下：

x (- ∞， -2) + -2 0 (- 2，1) - 1 0 (1，+∞) + g (x) ↗ ↘ g(x) g(x)在［-3，- 2］是增函数，在 ［-2，0］上是减函数．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

9

又∵ g( 3) 2 ，g(-2)=10，g(0)=0，

由题意，知直线 y=m与曲线 g(x) x3 3x2 6 x仅有一个交点，

2 于是 m=10 或 02

极大值 极小值 11分

↗ 1x

21． 解：( 1) f (x) 1 ，

x 1 x 1

∴当 x∈(-1，0)时， f (x) 0，即 f(x)在(-1，0)上是增函数，

当 x∈(0，+∞)时， f (x) 0，即 f(x)在(0，+∞)上是减函数．

∴ f(x)的单调递增区间为 (-1，0)，单调递减函数区间为 (0，+∞ )．⋯⋯⋯ 3 分 (2)由 f(x- 1)+ x>k (1 3) 变形得 lnx (x 1) x k(1 3)，

xx

整理得 xlnx+x- kx+3 k>0，

令 g(x)=xlnx+x-kx+3k，则 g (x) ln x 2 k. ∵ x>1 ， ∴ lnx>0

若 k≤2 时， g(x) 0恒成立，即 g(x)在(1，+∞)上递增，

1

∴ 由 g(1)>0 即 1+2k>0 解得 k ，

2

∴ 1 k 2.

2

又∵ k∈ Z， ∴ k 的最大值为 2．

若 k>2 时，由 lnx+2- k>0 解得 x>ek 2，由 lnx+2 - k<0，解得 18·

∴ g(x)在(1，+∞ )上有最小值 g(ek 2)=3k- ek 2， 于是转化为 3k- ek 2 >0( k>2)恒成立，求 k 的最大值．

令 h(x)=3x- ex 2 ，于是 h(x) 3 ex 2 ．

∵ 当 x>2+ln3 时， h (x) 0 ，h(x)单调递减，当 x<2+ln3 时 h (x) 0 ，h(x)单调递增． ∴ h(x) 在 x=2+ln3 处取得最大值． ∵ 11

∵ h(1) 3 ∴ k≤ 4 ．

2 3

0 ，h(2+ln3)=3+3ln3>0 ，h(4)=12-e2>0，h(5)=15- e3<0， e

∴ k 的最大取值为 4．

∴ 综上所述， k 的最大值为 4. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 9 分 (3) 假设存在这样的 x0 满足题意，则 由 ef(x0) 1 a x02等价于 a x02 x0x01 1 0(*)．

x0

2 2 e

a 2 x 1

要找一个 x0>0，使(*)式成立，只需找到当 x>0 时，函数 h(x)= x2

2e

足 h(x)min<0 即可．

1

∵ h(x) x(a x ) ，

e 令 h ( x) =0，得 ex= 1 ，则 x=- lna，取 x0=- lna，

a

在 0< xx0时， h(x)>0， ∴ h(x)min=h(x0)=h(- lna)= a(lna)2 alna a 1，

2

下面只需证明：在 02 又令 p(a)= a (ln a)2 aln a a 1， a∈ (0， 1)，

2

则

x 1 的最小值 h(x)min满

p(a)

12

(lna)2 ≥0，从而 p(a)在 a∈ (0， 1)时为增函数．

∴ p(a)9·