2020年高三总复习数学人教旧版--[第6讲 积分] 讲义(教师版)

1.掌握积分的概念及意义.2.能够熟练掌握积分的计算的方法.3.了解积分的综合应用.1.积分的概念及计算是重点；2.积分的综合应用是难点.第1页微积分基本定理如果fx是区间a,b上的连续函数，并且Fxfx，那么fxdxFaFb。这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼兹公式。a

b

为了方便，常把FaFb记成Fx我们称Fx是fx的一个原函数。微积分基本定理表明，计算定积分ba

，即：

b

a

fxdxFxba

FaFb。fxdx的关键是找到满足Fxfx的函数a

b

Fx例 1. (2020·湖南省考试院调研) A．0【答案】B【解析】原式=练习1.B．2C．2＋2cos1∫

1

-1(sinx＋1)dx的值为()D．2－2cos1-cosxx

11

cos11cos112



0

sinxdx=______________

【答案】2【解析】原式=

cos

0

112

练习2.（2016海淀区期中）【答案】

2

1

(x1x)dx

______________

3

+ln221213

xlnx2ln2ln2222

【解析】原式=

例 2. （2020 天津月考）定积分

∫1 2

1

2

xlnxdx值的符号为（）A.大于零B.小于零C.等于零D.不能确定第2页【答案】B

【解析】练习 1. （2020 河北期中）根据定积分的几何意义，【答案】12【解析】原式=x3x101312练习2.定积分【答案】1【解析】原式=x101

2

−1∫

2(2x3)dx

dx=0

1

；了解微积分定理的概念并会应用求解相关的题.积分的应用定积分公式（1）

b

a

kdxkx

b

a

，其中k是常数；（2）

b

a

xndx

1n1

xn11x

clnc

ba

ba

，其中n是常数，且n1（3）（5）bab

1

dxlnxx

ba

，x0；ba

（4）（6）

b

ab

cxdx

，其中c0且c1

ba



a

sinxdxcosx

；

3a

cosxdxsinx

例 3. （2020 河北期中）估计积分的值：

【答案】2【解析】设f(x)

x

1x21dxx

，先求f(x)在[1,3]上的最大、最小值，2x1第3页x212x2(1x)(1x)

f(x),由f(x)0得(1,3)内驻点x1，由2222(x1)(x1)f(1)0.5,f(1)0.5,f(3)0.3知

由定积分性质得11

f(x),22

33311

2()dxf(x)dxdx2

11122

练习1.

11312x2dx22x(1x)

【答案】见解析1111x2x2【解析】原式=12dx)dx(12221x3x(1x)3x

1

1312

练习2.

11x2xdx

【答案】1【解析】原式=

01(xx)dx(xx2)dx

021111213151[x3x2]0[xx]011322366

例 4.（2020山东期中）

【答案】见解析∫

1

0

xe2xdx

1112x【解析】原式xdexe2x202

11321e2e2x1e02444

练习1.10112xedx20

10xln(1x)dx

【答案】见解析112【解析】原式ln(1x)dx

2011121x2ln(1x)1xdx00221x11111ln2(x1)dx2201x4

练习 2. （2020年河北期中）已知函数 f (x) 连续，且f(x)x



10f(x)dx，求函数f(x).第4页【答案】见解析【解析】设1

10f(x)dxa，则f(x)xa，于是111000af(x)dx(xa)dxxdxadx

0得a

11，所以f(x)x.44

1

a，2定积分的计算及性质公式熟练掌握，运用公式解决相关的题.积分综合从几何上看，如果在区间a,b上函数fx连续且恒有fx0，那么定积分fxdx表示由直线xa,xbab,y0和曲线yfxab所围成的曲边梯形的面积，这就是定积分的几何意义。即：fxdxS如右图所示。ab当fx0时，被积函数fx的曲线在x轴的下方，那么定积分fxdx表示由直线abxa,xbab,y0和曲线yfx所围成的曲边梯形的面积的相反数，即fxdxS；ab当被积分函数在积分区间上有正、有负时，定积分就是x轴之上的正的面积与x轴之下的负的面积的代数和。x＋2－2≤x<0，例 5. （2020香河一中月考）函数 f(x)＝的封闭图形的面积为(A.52)π0≤x≤2cosx2的图象与x轴所围成B．2D．4C．3【答案】D1【解析】画出分段函数的图象，如图所示，则该图象与x轴所围成的封闭图形的面积为×2×22第5页π|0π＋∫02cosxdx＝2＋2sinx2＝4.2练习 1. （2020海淀期中）由直线 y＝2x 及曲线 y＝3－x2 围成的封闭图形的面积为(

A．23C.353B．9－23D.323)【答案】D【解析】注意到直线y＝2x与曲线y＝3－x2的交点A，B的坐标分别是(－3，－6)，(1,2)，因此结合图形可知，由直线y＝2x与曲线y＝3－x2围成的封闭图形的面积为(3－x2－2x)dx13x－x3－x2＝3D.|1

－33×1＝3×1－×13－12－3－31－×3－33

－－32]＝32，选3练习 2. （2020衡水中学月考）函数 f(x)＝sin(ωx＋φ)的导函数 y＝f′(x)的部分图象如图所示，其中，P 为图象与 y 轴的交点，A，C 为图象与 x 轴的两个交点，B 为图象的最低点．

若在曲线段ABC与x轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC内的概率为________．第6页π【答案】.4【解析】设A(x0,0)，则ωx0＋φ＝，∴x0＝

π2πφ－.2ωω

2π

又y＝ωcos(ωx＋φ)的周期为，

ωπφπ－＋，0π

∴|AC|＝，C2ωωω.ω

依题意曲线段ABC与x轴围成的面积为πφππφ

S＝－∫－＋－ωcos(ωx＋φ)dx＝2.

2ωωω2ωωππ

∵|AC|＝，|yB|＝ω，∴S△ABC＝.

ω2π

∴满足条件的概率为.

4

6. （2020•福建）如图所示，在边长为 1 的正方形 OABC 中任取一点 P，则点 P恰好例

取自阴影部分的概率为（

）

A．B．C．D．【答案】C【解析】根据题意，正方形OABC的面积为1×1=1，32

2x1

而阴影部分由函数y=x与y=x围成，其面积为∫01（x﹣x）dx=（x2）|01=，326

则正方形OABC中任取一点P，点P取自阴影部分的概率为1；6第7页故选C．1练习1.如图求由两条曲线y＝－x2，y＝－x2及直线y＝－1所围成的图形的面积．4【答案】.

43

【解析】由y＝－x2，y＝－1，得交点A(－1，－1)，B(1，－1)．1y＝－x2，4由y＝－1，∴所求面积4S＝.3练习2.求在[0,2]上，由x轴及正弦曲线ysinx围成的图形的面积.【答案】4【解析】作出ysinx在[0,2]上的图象如右y得交点C(－2，－1)，D(2，－1)．ysinx与x轴交于0、、2，所求积s



0

sinxdx|sinxdx|(cosx)|(cosx)|4

0

220Лx2Л充分理解积分的几何意义，将积分与面积的求解结合类型题掌握方法.掌握积分的概念及积分的计算性质，会利用积分的求解解决实际问题，尤其是掌握面积的求第8页解及应用.第9页