● 《蔓・ ● 解题技巧与方法 雅鼢 念 豢 虞 ２１５３１６） 食 题 ：１ 一１＜ ＜０ ◎靳伟峰 （江苏省昆山第二中等专业学校【摘要】反三角函数的概念比较深奥，是历来教学的一 个难点，要实现反三角函数概念的建构过程，让学生掌握 好，应用好，就要通过老师的重点和难点的讲解．本文重点 口０。 口 Ｕ钝角 ａｒｃｓｉｎｘ＝［￣９０ｏ 以反正弦函数为主，以反三角在实际教学中应重点解决的 问题入手，谈谈反三角学习中的几个问题． 日【关键词】反函数；三角函数；反正弦；反余弦：反正切： 反余切 亓锐角门 ０＜ ＜ 反三角函数的内容是建立在三角函数学习的基础之上 目 。 口负锐角 ＜０ 口锐角 ＜０ 的三角内容的一部分．这一部分内容比较难．如何促进学生 对反三角概念的深化，怎样掌握好，应用好这部分内容，笔 者认为应当重点从以下几个角度出发． 第一，复习好反函数存在的条件，正确理解正弦函数 ａｒｃｔａｎｘ＝爿０。 日 ＝０ ａｒｃｃｏｔ ＝爿９０。 日 ＝０ 闩 日锐角 Ｙ＝ｓｉｎｘ在定义域（一Ｏ０，ｌ＋Ｏ０）上，无反函数的原因．因为反 函数存在的条件是对值域中的任一ｙ，通过关系式Ｙ＝ ）， 都有唯一确定的定义域中的 与之对应．而Ｙ＝ｓｉｎｘ在 （一 ，＋ ）上，并不满足存在反函数的条件．例如ｓｉｎ ３０。＝ １ １ ＞０ 口 闩钝角 ＞０ 刚开始学习反三角的同学，很难区别ａｒｃｓｉｎｘ和 ａｒｃｃｏｓｘ；ａｒｃｔａｎｘ和ａｒｃｃｏｔｘ两个的不同之处，为了学生可以直 观的记忆各自的结论，给出上述分类结果，是很有帮助的． ÷，但已知ｓｉｎｘ＝÷，则 ：？（答案有无穷多） ［例一］已知ｓｉｎ ＝ａ（一１≤ ≤１）， ∈Ｉ—＿丌， Ｉ，试用 反三角表示 解析：当 ∈Ｉ一÷，｛ｌ时，有 ＝ａｒｃｓｉｎｎ， 第二，，，＝ｓｉｎ 的反函数是在区间［一号，詈］上定义的． 因为在区间ｌ一号，号ｌ上，ｙ＝ｓｉ一满足反函数存在的条件， ［詈， ］时，有 一盯 ［一号，詈］，又ｓ 一 ，＝ｓｉｎ ＝ 即一一对应．还应指出，Ｙ＝ｓｉｎｘ在它的每一个单调区间如 ［一 ，一号］，［一号，詈］，［号，孚］等等内，都符合反函 数存在的条件，都存在反函数．ｙ＝ａｒｃｓｉｎ 只是其中特殊的 一ａ，．’．ｓｉｎ（ 一１Ｔ）＝一ｓｉｎ（ 一 ）＝一ａ，所以 一１Ｔ＝ａｒｃｓｉｎ（一ａ）， 解得 百＋ａｒｃｓｉｎ（一ａ） 个（定义在区间ｌ一号，号Ｉ上）．利用数形结合的思想方 法可以给予说明． 第三，正确理解反正弦函数的符号含义．ａｒｃｓｉｎｘ， ａｒｃｃｏｓｘ，ａｒｃｔａｎｘ，ａｒｃｃｏｔｘ表示一个角度或者是一个弧度数．例 如ａｒｃｓｉｎｘ表示一个角，并且这个角度的正弦值就等于 ，即 ｓｉｎ（ａｒｃｓｉｎｘ）＝ｘ，ｘ∈［一１，１］，而且这个角度一定在区间 第六，在计算和概念中注意反正弦和反余弦的区别和 联系．Ｙ＝ａｒｃｃｏｓｘ和ｙ＝ａｒｃｓｉｎｘ函数在 ∈（０，１）时，计算方 法和理解差不多．一般不存在太多的难度，但当 （一１，０） 时，两个的结论却存在很大的差别．ａｒｃｓｉｎｘ此时为负的锐角 （锐角的相反数）但ａｒｃｃｏｓｘ却是一个钝角答案．其原因为， 正弦函数和余弦函数在定义反函数时，因为本身的单调区 间不同，故在定义各自的反函数时所给定的自变量范 围不同．正是这个地方的差别，才导致四个反三角函数在计 算过程中一定要注意到 取值的正、负以及所得答案的范 ［一号，詈］中．例如ａｒｃｓｉｎ １＝３０。． 第四，ａｒｃｓｉｎｘ是一个整体符号，不是ａｒｃ与ｓｉｎ的乘积． 并且ａｒｃｓｉｎｘ中，只有 ∈［一１，１］时，才有意义，即ａｒｃｓｉｎｘ的 围考虑．例如ａｒｃｓｉｎ（一÷）和ａｒｃｃｏｓ（一÷）结果一个是负 锐角，一个却得到钝角．因此，反三角概念理解的正确与否， 四个反三角之间的定义区别和联系的掌握好坏，是能否顺 利解决问题的根本所在． 第七，在教学和学习记忆中，要注意反正弦和反正切； 反余弦和反余切；反弦类和反切类的共同点和区别．在任何 学习中，都要善于抓住相似问题的不同之处以及共同之处， 这样有利于所学知识在脑海中的结构体系的形成． 第八，四个反三角的图像的理解和深化，可以帮助学生 更好的从数形结合方式中理解反三角的各自特点，所以教 者和学习者，都要认真的分析四个反三角函数的图像．在图 像分析上记忆单调性，奇偶性、定义域、值域等特点． 综上讨论，在教学和学习中，注意到反三角函数的这几 个问题，能帮助学生加深对反三角函数概念的理解和认识， 提高解决问题的能力．在学习概念的过程中，结合一定的练 习对所学知识加以应用，巩固和记忆．特别是对自己做错的 题目进行分析，找出问题出现的原因，这对正确理解反三角 函数有很大的帮助． 定义域为［一１，１］．例如ａｒｃｓｉｎ￣－，ａｒｃｓｉｎ号等都是无意义的 式子． 第五，实际计算中，正确理解和记忆ａｒｃｓｉｎｘ，ａｒｃｃｏｓｘ， ａｒｃｔａｎｘ，ａｒｃｃｏｔｘ结论的分类． 口Ｕ ． 一９０。 ：１ 目负锐角 一１＜ ＜０ 口ｏｏ ｍ 口 ：０ 目锐角 ０＜Ｕ ＜１ 日９００ ：１ 数学学习与研究２０１５．１９
