2021-2022学年新高一数学暑期衔接讲义-第10讲 基本不等式(学生版)

2021-2022学年新高一暑假衔接数学讲义十基本不等式（学生版）学习目标理解基本不等式ab求最大值或最小值的问题ab(a,b0)。结合具体实例，能用基本不等式解决简单的2教学内容进门测试1、解不等式1111x4x5x6x3232、解不等式(x2)(x1)(x1)(x2)03、解不等式32xx11．4、解不等式x3x2.5、对于任意xR，不等式x1x2m恒成立，求m的取值范围．课堂导入柯西不等式的证明柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的\"留数\"问题时得到的.但从历史的角度讲,该不等式应当称为Cauch-Buniakowsky-Schwarz不等式,因为,正是后两位数学家彼此地在积分学中推而广之,并将这一不等式应用到近乎完善的地步柯西不等式是一个非常重要的不等式，灵活巧妙的应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解．可在证明不等式，解三角形相关问题，求函数最值，解方程等问题的方面得到应用．柯西（Cauchy）不等式a1b1a2b2anbn2a12a22an2b12b22bn2aibiR,i1,2n22等号当且仅当a1a2an0或bikai时成立（k为常数，i1,2n）现将它的证明介绍如下：证明：构造二次函数f(x)a1xb1a2xb2anxbn222=a1a2anx2a1b1a2b2anbnxb1b2bn22n2222na12a2an0nfx0恒成立2n4a1b1a2b2anbn4a12a2anb12b22bnn022n即a1b1a2b2anbna12a2an2b21b22bnn当且仅当aixbix0i1,2n即aa1a2n时等号成立b1b2bn柯西不等式是一个非常重要的不等式，灵活巧妙的应用运用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解，这个不等式结构和谐，应用灵活广泛。精讲精练【知识梳理】如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客．你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD中右个全等的直角三角形．设直角三角形的两条直角边长a,b，那么正方形的边长为a2b2．这样，4个直角三角形的面积的和是2ab，正方形的面积为a2b2．由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：a2b22ab．当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有a2b22ab．定理1（基本不等式1）：一般的，如果a,bR,那么ab2ab(当且仅当ab时取\"\"号)证明：因为ab2ab(ab)2222222当ab时,(ab)0,当ab时,(ab)0,所以，(ab)0，即ab2ab.特别的，如果a>0,b>0,我们用分别代替a、b，可得ab2ab，通常我们把上式写作：ab在数学中，我们称归纳：222ab(a>0,b>0)2ab为a、b的算术平均数，称ab为a、b的几何平均数.2M21、两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a，b∈R，且a＋b＝M，M为定值，则ab≤，4＋等号当且仅当a＝b时成立.2、两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若a，b∈R，且ab＝P，P为定值，则a＋b≥2P，＋等号当且仅当a＝b时成立.定理2（基本不等式2）：333如果a,b,cR，那么abc3abc（当且仅当abc时取“=”）证明：∵abc3abc(ab)c3ab3ab3abc3333322(abc)[(ab)2(ab)cc2]3ab(abc)(abc)[a22abb2acbcc23ab](abc)(a2b2c2abbcca)1(abc)[(ab)2(bc)2(ca)2]2∵a,b,cR∴上式≥0从而abc3abc333指出：这里a,b,cR

∵abc0就不能保证推论：如果a,b,cR，那么33abc3abc（当且仅当abc时取“=”）3

3证明：(3a)(3b)(3c)33a3b3cabc33abc

abc3abc3abc

由此推出：abc

3

定理3（基本不等式3）3a1a2ann*≥a1a2annN,aiR,1in

n这个结论最终可用数学归纳法，二项式定理证明（这里从略）．这里涉及到“平均数”的概念．如果a1,a2,,anR,n1且nN则：na1a2an叫做这n个正数的算术平均数，na1a2an叫做这n个正数的几何平均数．定理3的语言表述为：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．【例题精讲】

例1已知x、y都是正数，求证：(1)yx

≥2；(2)（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥８x3y3.xy例2、（1）用篱笆围成一个面积为100m的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，2

所用篱笆最短．最短的篱笆是多少？（2）段长为36m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少?例3、求证(1)111abcbcaabc9（2）9abcbcaabcl例4、一根水平放置的长方体形枕木的安全负荷与它的宽度a成正比，与它的厚度d的平方成正比，与它的长度l的平方成反比．da（Ⅰ）将此枕木翻转90°（即宽度变为了厚度），枕木的安全负荷变大吗？为什么？（Ⅱ）现有一根横断面为半圆（半圆的半径为R）的木材，用它来截取成长方体形的枕木，木材长度即为枕木规定的长度，问如何截取，可使安全负荷最大？【巩固练习】

1．已知a，b，c都是正数，求证：abbcca≥8abc．abbcca的最小值．cab2．设a，b，cR，且abbcca108，求3．（1）若x0，求fx4x（2）若x0，求fx4x9的最小值．x9的最大值．x4．（1）若x0，求x1的取值范围．x（2）若ab1，求ab的取值范围．（3）若x51，求4x2的最大值．44x5x23x3（4）若x2，求的最小值．x2（5）若x，y0，且191，求xy的最小值．xy41的最小值．xy（6）若x，y0，且xy1，求（7）求yx213x42和yx25x42的最小值．（8）若a，b0，且abab3，求ab的取值范围．5．某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3，深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？当堂检测1、某房屋开发公司用100万元购得一块土地，该地可以建造每层1000m2的楼房，楼房的总建筑面积（即各层面积之和）每平方米平均建筑费用与建筑高度有关，楼房每升高一层，整幢楼房每平方米建筑费用提高5%．已知建筑5层楼房时，每平方米建筑费用为400元，公司打算造一幢高于5层的楼房，为了使该楼房每平方米的平均综合费用最低（综合费用是建筑费用与购地费用之和），公司应把楼层建成几层？2、用水清洗一堆蔬菜上残留的农药，对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用1个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的1，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上，设用x单位量的水清2洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数fx．（1）试规定f0的值，并解释其实际意义．（2）试根据假定写出函数fx应满足的条件和具有的性质．（3）设fx1，现有aa0单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次，试1x2问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少？说明理由．3、设a11，a12，a211．1a1（1）证明：2介于a1，a2之间．（2）a1，a2中哪一个更接近于2．（3）根据以上事实，设计一种求2近似值的方案，并说明理由．4、设常数a，bR，试探求不等式ax2ab1xb0对任意x1成立的充要条件．5、已知集合Dx1，x2x10，x20，x1x2k（其中k为正常数）．（1）设ux1x2，求u的取值范围．1（2）求证：当k≥1时，不等式x1x11k2x2≤对任意x1，x2D恒成立．x22k2211k2（3）求使不等式x1x2≥对任意x1，x2D恒成立的k2的范围．x1x22k6、已知a，b，cR，且满足kabc22≥abab4c，求k的最小值．abc温故知新课后巩固

1、将本节课错题进行组卷，进行二次练习，培养错题管理习惯；2、对笔记本进行复习，培养复习习惯。