四川省成都2017-2018届高考模拟数学理科试题(一)含答案

数学（理工类）（考试用时：120分全卷满分：150分）注意事项：1.答题时，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置。2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4.选做题的作答：先把所做题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。5.考试结束后，请将答题卡上交；第Ι卷（选择题部分，共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设全集U{xZ|1x3},A{1,2},B{y|ylog0.5x,xA}，则集合CU(AB)A.{3}B.{1,0,3}C.{1,0,1,2}D.{1,0,1,2,3}2.已知复数i

1ai为纯虚数，那么实数a的值为A．-1B．0C．1D．23.已知an2n1nN*，把数列an的各项排成如图所示的三角形数阵，记Sm,n表示该数阵中第m行中从左到右的第n个数，则S8,6A．67B．69C．73D．7．函数fxsin2x

4sin2x

4

是A.周期为的偶函数B.周期为2的偶函数C.周期为的奇函数

D.周期为2奇函数

5.已知函数f(x)是定义在R上的单调函数，且对任意的x,yR都有f(xy)f(x)f(y)，若动点P(x,y)满足等式f(x22x2)f(y28y3)0，则xy的最大值为A．5B．-5C.265D．265

6．祖暅是南北朝时代的伟大科学家，5世纪末提出体积计算原理，即祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面面积都相等，那么这两个几何体的体积一定相等．现有以下四个几何体：图①是从圆柱中挖出一个圆锥所得的几何体；图②、图③、图④分别是圆锥、圆台和半球，则满足祖暅原理的两个几何体为A.①②B．①③C．②④D．①④7.下列说法正确的是A.“若a1，则a1”的否命题是“若a1，则a1”B.在ABC中，“AB”是“sinAsinB”必要不充分条件2

2

2

2

C.“若tan

3，则

x

x

”是真命题3

D.x0,0使得3040成立8．“欧几里得算法”是有记载的最古老的算法，可追溯至公元前300年前，上面的程序框图的算法思路就是来源于“欧几里得算法”，执行该程序框图（图“aMODb”表示a除以b的余数），若输入的a,b分别为675,125，则输出的aA．0B．25C．D．7550中2xy20



9.已知实数x，y满足不等式组x2y10，若直线3xy20

yk(x1)把不等式组表示的平面区域分成面积相等的两部分，则k

A．14B．13C．12D．3410.如图，在平面直角坐标系xOy中，质点M，N间隔3分钟先后从点P出发，绕原点按逆时针方向作角速度为弧度/分钟的匀速圆周运动，则M与N的纵坐标之差第4次达到最大6值时，N运动的时间为A．37.5分钟B．40.5分钟C．49.5分钟D．52.5分钟x2y211.已知F是双曲线C：221(a0,b0)的右焦点，P是y轴正半轴上一点，以OPab为直径的圆在第一象限与双曲线的渐近线交于点M．若点P，M，F三点共线，且MFO的面积是PMO面积的5倍，则双曲线C的离心率为A.3B.5C.6D.712.设函数f(x)＝(x－a)2＋(lnx2－2a)2，其中x>0，a∈R，存在x0使得f(x0)≤b成立，则实数b的最小值为1A.5B.45C.25D.1第Ⅱ卷（非选择题部分，共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分。第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22～23题为选做题，考生根据要求作答。二、填空题：本题共4题，每小题5分，共20分13．已知x0，y0，x2y2xy8，则x2y的最小值是14.从1，2，3，4，5中随机取出两个不同的数，则其和为奇数的概率为．．15．已知fx是奇函数，当x0时，fxlnx2x则曲线yfx在点1,f1处的切线方程是.16.已知菱形ABCD的边长为6，A60．沿对角线BD将该菱形折成锐二面角27ABDC，连结AC．若三棱锥ABCD的体积为3，则该三棱锥的外接球的表面积为2__________．三、解答题:（本题包括6小题，共70分。要求写出证明过程或演算步骤）17.（本小题满分12分）已知等差数列an满足：a1=2，且a1，a3，a13成等比数列.（Ⅰ）求数列an的通项公式.（Ⅱ）记Sn为数列an的前项n和，是否存在正整数n，使得Sn40n600?若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由.18.（本题满分12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°．（Ⅰ）证明：AB⊥A1C；（Ⅱ）若AB=CB=2，A1C=，求二面角B﹣AC﹣A1的余弦值．19.（本题满分12分）某学校举行元旦晚会，组委会招募了12名男志愿者和18名女志愿者，将这30名志愿者的身高编成如图所示的茎叶图(单位：cm)，身高在175cm以上(包括175cm)定义为“高个子”，身高在175cm以下(不包括175cm)定义为“非高个子”.(1)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”抽取5人，再从这5人中选2人，求至少有一人是“高个子”的概率；(2)若从身高180cm以上(包括180cm)的志愿者中选出男、女各一人，求这2人身高相差5cm以上的概率.20.（本题满分12分）已知离心率为3的椭圆C焦点在y轴上，且椭圆4个顶点构成的四边形面积为4，过2点M(0,3)的直线l与椭圆C相交于不同的两点A、B.（1）求椭圆C的方程；

（2）设P为椭圆上一点，且OAOBOP（O为坐标原点）.求当AB3时，实数的取值范围.21．（本题满分12分）（1）当x＞0时，求证：2﹣；（2）当函数y=ax（a＞1）与函数y=x有且仅有一个交点，求a的值；||

（3）讨论函数y=ax﹣|x|（a＞0且a≠1）y=a的零点个数．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时请写清题号，本小题满分10分。22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程x3cos平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（为参数），以坐标原点O

ysin为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为4sin

（1）写出曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）若射线OM：0(0)平分曲线C2，且与曲线C1交于点A，曲线C1上的点



.6

B满足AOB

，求AB.2

23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数f(x)|xa||x3|（a3）．（I）若不等式f(x)4的解集为{x|x19

或x}，求a的值．22（II）若对xR，f(x)|x3|1，求实数a的取值范围．成都龙泉中学2018届高考模拟考试试题（一）

数学（理工类）参1—513．4ABACD6—10DCBBA15.11—12CB16.14.

3517.解：（1）设数列an公差为d,由a3a1a13得22d2212d2

2

解得d=0或d=4故an=2或an=4n-2(2)当an=2时，Sn=2n

Sn=2n40n600.不存在正整数n，使得Sn40n600

当an=4n-2时，Sn=2n2由2n40n600

2

解得n>30或n<-10(舍去)此时存在正整数n使得Sn40n600.且n的最小值为31.综上，当an=2时，不存在正整数n，使得Sn40n600当an=4n-2时，存在正整数n使得Sn40n600.且n的最小值为31.18．解：（Ⅰ）证明：取AB中点O，连CO，OA1，A1B，∵AB=AA1，∠BAA1=60°，∴△A1AB为正三角形，∴A1O⊥AB，∵CA=CB，∴CO⊥AB，∵CO∩A1O=O，∴AB⊥平面COA1，∵A1C⊂平面COA1，∴AB⊥A1C．（Ⅱ）解：∵AB=CB=2，AB=AA1，CA=CB，∠BAA1=60°，∴CO=A1O=∵A1C=∴∴OC⊥A1O，∵OC∩AB=O，∴A1O⊥平面ABC，------------------5分，=，=，建立如图空间直角坐标系O﹣xyz，O（0，0，0），A（1，0，0），设平面AA1C的法向量为则，，，C（0，0，，），∴∴=（，，1，1），平面向量ACB的法向量=（0，1，0），cos＜＞==．．12分∴二面角B﹣AC=A1的余弦值为19.解(1)根据茎叶图知，“高个子”有12人，“非高个子”有18人，51用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是＝，30611所以抽取的5人中，“高个子”有12×＝2人，“非高个子”有18×＝3人.66“高个子”用A，B表示，“非高个子”用a，b，c表示，则从这5人中选2人的情况有(A，B)，(A，a)，(A，b)，(A，c)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，(a，b)，(a，c)，(b，c)，共10种，至少有一名“高个子”被选中的情况有(A，B)，(A，a)，(A，b)，(A，c)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，共7种.因此，至少有一人是“高个子”的概率是P＝7.10(2)由茎叶图知，有5名男志愿者身高在180cm以上(包括180cm)，身高分别为181cm，182cm，184cm，187cm，191cm；有2名女志愿者身高为180cm以上(包括180cm)，身高分别为180cm，181cm.抽出的2人用身高表示，则有(181，180)，(181，181)，(182，180)，(182，181)，(184，180)，(184，181)，(187，180)，(187，181)，(191，180)，(191，181)，共10种情况，身高相差5cm以上的有(187，180)，(187，181)，(191，180)，(191，181)，共4种情况，42故这2人身高相差5cm以上的概率为＝.105x2y2c23b212

20.解析：（1）设椭圆的方程为221，由题意可知e2，得2，a2b；baa4a4

y2

又顶点构成四边形的是菱形，面积S2ab4，所以a2，b1，椭圆方程为x1.4

2

（2）设直线AB的方程为ykx3或x0，A(x1,y1)，B(x2,y2)，P(x3,y3)，当AB的方程为x0时，AB4

3，与题意不符.ykx3

当AB的方程为ykx3时，由题设可得A、B的坐标是方程组2y2的解.1x

4消去y得(4k)x6kx50，所以(6k)20(4k)0，即k5，则x1x2因为AB解得

2

2

2

2

2

6k524

yy(kx3)(kx3)，，，xx1212122224k4k4k(x1x2)2(y1y2)23，所以1k2(6k220)3，2246k4k16

k28，所以5k28.13

因为OAOBOP，即(x1,y1)(x2,y2)(x3y3)，6k24

所以当0时，由OAOB0，得x1x2，0yy0，12

4k24k2上述方程无解，所以此时符合条件的直线l不存在：当0时，x3

x1x2

y1y26k24

，，y3

(4k2)(4k2)2

2

6k124

因为点P(x3,y3)在椭圆上，所以1，22(4k)4(4k)

化简得

2

3622

，因为，所以5k834，则(2,3)(3,2).24k综上，实数的取值范围为(2,3)(3,2).21.证明：（1）令f（x）=lnx+﹣2，g（x）=lnx﹣，x＞0，f′（x）==，所以y=f（x）在（0，e）上单调递减，在（e，+∞）上单调递增，∴f（x）min=f（e）=0，同理可证g（x）max=g（e）=0，故得证…（2）令h（x）=ax﹣x，x∈R，h′（x）=axlna﹣1，令h′（x）=0，则x=loga（logae），y=h（x）在（﹣∞，loga（logae））上单调递减，在（loga（logae），+∞）上单调递增，∃t＞0，使ax≥≥﹣2t﹣2，，当x≥t+3时，ax=at•xxt≥﹣•x[x﹣t]=＞（1+（a﹣1）（a﹣t﹣1））＞2x﹣2t﹣2；ax﹣x≥xax﹣x≤1﹣x，=logae﹣=0，ae=e，lnae=1，当x≤0时，∴h（loga（logae））（loga（logae）a=．||

（3）令k（x）=ax﹣|x|，x∈R，y=k（x）是偶函数，k（0）=1≠0时，k（x）=ax﹣x，由（2）知，当a=时，函数k（x）=ax﹣|x|，有两个零点；||

k′（x）=axlna﹣1，当0＜a＜1时，k′（0）=1，k（1）=a﹣1＜0，所以函数k（x）=ax﹣|x|，有两个零点；当1＜a＜||

时，k′（x）=axlna﹣1，y=k（x），在（0，loga（logae））上单调递减，在（loga（logae），+∞）上单调递增，k（loga（logae））=logae﹣loga（logae）＜0，k（0）=1＞1，当x≥y+3时，ax=at•xx﹣t≥=≥＞2x﹣2t﹣2，ax﹣x≥x﹣2t﹣2，所以k（2t+3）＞1＞0，函数y=a|x|﹣|x|，有四个零点；当a＞时，＞•xx﹣t≥y=k（x），在（0，loga（logae））上单调递减，在（loga（logae），+∞）上单调递增，且k||

（loga（logae））=logae﹣loga（logae）＞0，函数y=ax﹣|x|，没有零点．综上所述，当0＜a＜1或a=||

时，函数y=ax﹣|x|，有两个零点；当1＜a＜||

时，函数y=ax﹣|x|，有四个零点；当a＞时，函数y=ax﹣|x|，没有零点…||

x2322.解析：（1）曲线C1的直角坐标方程是；y21，化成极坐标方程为2212sin3

曲线C2的直角坐标方程是(x1)2(y3)24.（2）曲线C2是圆，射线OM过圆心，所以方程是

A2

6

，53

得(0)，代入22312sin又AOB

422，所以B22，因此ABAB5.2523．解：（I）a2；2xa3,xa法一：由已知得f(x)3a,ax3，……2分2xa3,x3当xa，即ax3x4，得x当x3，即x

7a

，……4分219

由已知f(x)4的解集为{x|x或x}，则显然a2．……5分22a3

法二：由已知易得f(x)|xa||x3|的图象关于直线x对称，……3分2

1919

又f(x)4的解集为{x|x或x}，则a3，即a2．……5分2222

（II）法一：不等式f(x)|x3|1恒成立，即|xa|2|x3|1恒成立．……6分当xa时，即3xa50恒成立，得3aa50，解得a

a1

；……3分25

；……7分2当ax3，即xa50恒成立，得3a50，解得a2；……8分当x3，即3xa70恒成立，得9a70，解得a2．……9分综上得a2．……10分法二：不等式f(x)|x3|1恒成立，即|xa||x3||x3|1恒成立，由图象可知f(x)|xa||x3|在x3处取得最小值3a，……8分而|x3|1在x3处取得最大值1，故3a1，得a2．……10分