求函数值域的几种方法

汝南双语学校 赵保刚

函数的值域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一.本节主要帮助考生灵活掌握

求值域的各种方法，并会用函数的值域解决实际应用问题.

定义域、对应法则、值域是函数构造的三个基本“元件”。平时数学中，实行“定义域优先”的原则，无可置疑。然而事物均具有二重性，在强化定义域问题的同时，往往就削弱或谈化了，对值域问题的探究，造成了一手“硬”一手“软”，使学生对函数的掌握时好时坏，事实上，定义域与值域二者的位置是相当的，绝不能厚此薄彼，何况它们二者随时处于互相转化之中（典型的例子是互为反函数定义域与值域的相互转化）。如果函数的值域是无限集的话，那么求函数值域不总是容易的，反靠不等式的运算性质有时并不能奏效，还必须联系函数的奇偶性、单调性、有界性、周期性来考虑函数的取值情况。才能获得正确答案，从这个角度来讲，求值域的问题有时比求定义域问题难。实践证明，如果加强了对值域求法的研究和讨论，有利于对定义域内函数的理解，从而深化对函数本质的认识。

若有非空数集A到B的映射f:A→B，则函数：y=f(x)(x∈A,y∈B)的值域是自变量x在f作用下的函数值y的集合C，很明显，C 来加以说明。

题型一 定义法

要深刻领会映射与函数值域的定义。

例1．已知函数f:A→B（A，B为非空数集），定义域为M，值域为N，则A，B，M，N的关系：（ ）。

B，求函数值域的方法要随函数式的变化而灵活掌握，同时

应注重数形结合，等价转换，分类讨论等重要数学思想的理解与运用。下面通过八个方面的例题

A．M＝A，N＝B B．M

B D．M

N，N＝B A，N

B

C．M＝A，N

说明：函数的定义域是映射f：A→B中的原象集合A，而值域即函数值的集合是集合B的子集。

故：应有M＝A，N

B，选C。

-1

例2．已知函数f(x)=2log2x的值域是[-1，1]，求函数y=f(x)的值域。 分析：要求反函数的值域，只需求原函数的定义域。 解：由已知可得

f(x)∈[-1，1]， ，解之得 ，

即函数y=f(x)的值域是

题型二 利用均值定理求函数的值域

-1

。

例3．若函数 解：∵

,

的定义域是(0,+∞)，求值域。

∴ ,则

当且仅当时取“=”。因此，函数的值域是 。

例4．已知x+2y=1，x,y∈R+,求 解：由已知x+2y=1,x,y∈R+,则有

的最小值。

当且仅当 ，即 时取等号，故 的最小值是。

说明：利用重要不等式均值定理求函数值域，要注意三条原则：一正数，二定值，三取等。 题型三 配方法

形如y=ax+bx+c(a≠0)的函数常用配方法求函数的值域，要注意x的取值范围。

2

例5．设（a∈R），如果x∈(-∞,1)时，f(x)有意义，求a的取值范围。

解：由题知，当x∈(-∞,1)时，要使函数f(x)有意义，需满足不等式： 即1＋2+a×4>0恒成立，分离常数得

x

x

，

由于 ，因而。

故a的取值范围是

题型四 换元法

。

通过代数换元法或者三角函数换元法，把无理函数、指数函数、对数函数等超越函数转化为代数函数来求函数值域的方法。

例6．已知函数f(x)的值域是。求 的值域。

解：∵，

∴ 。

故 ，

令 ，则，

有 ，，

由于y=g(t)在时单调递增，

∴ 当时， ;

当时， 。

∴

题型五 判别式法

的值域是 。

形如

2

的函数值域，可变形为

(dy-a)x+(ey-b)x+(fy-c)=0......(1)

当dy-a≠0时，(1)式为关于x的一元二次方程，由于函数的定义域为非空数集，故方程(1)有实根，因而Δ=(ey-b)-4(dy-a)(by-c)≥0.....(2)，再通过不等式(2)求y的最大值和最小值。此法称为判别式法

2

例7．求函数的值域。

解：由已知得， (y-1)x+(1-y)x+y=0.

当y=1时，方程(y-1)x+(1-y)x+y=0无解，

2

2

∴ y≠1,

又∵ x∈R，则 Δ＝(1-y)-4y(y-1)≥0

2

解之得

又因为y≠1,

。

故函数值域为。

说明：利用判别式法求函数的值域，一是方程二次项系数为0的情形要特别讨论；二是要看函数的定义域是否满足x∈R。如果x有特定的范围限制时，往往要综合运用判别式和韦达定理等，方能求出y的值域。 题型六 利用函数的单调性求函数的值域 例8．求函数的值域。 解：函数的定义域为，函数y=x和函数 在 上均为单调递增函数。 故。 因此，函数 题型七 数形结合法 的值域是。 通过函数图象，把求函数值域的问题转化为求直线的斜率或距离的范围问题。 例9． 已知：实数x,y∈R，满足(x-2)+y=3,求22的最值。 解: 如图，因为，可看作是动点P(x，y)与原点O(0，0)连线的斜率，而动点P(x，y)在圆(x-2)+y=3上，于是依数形结合法，可得 22的最大值为，最小值为 。 说明：数形结合是解决求值域和最值问题的重要方法。运用图形的直观性，通过数形结合使抽象问题直观化；复杂问题简单化；综合问题浅显化，充分训练发散思维。 题型八 实际应用 设m是实数，记M={m|m>1},f(x)=log3(x2－4mx+4m2+m+1). m1(1)证明：当m∈M时，f(x)对所有实数都有意义；反之，若f(x)对所有实数x都有意义，则m∈M. (2)当m∈M时，求函数f(x)的最小值. (3)求证：对每个m∈M,函数f(x)的最小值都不小于1. (1)证明：先将f(x)变形：f(x)=log3［(x－2m)+m+21］, m11>0恒成立，故f(x)的定义域为R. m11反之，若f(x)对所有实数x都有意义，则只须x2－4mx+4m2+m+>0,令Δ＜0,即16m2m11－4(4m2+m+)＜0,解得m>1,故m∈M. m11(2)解析：设u=x2－4mx+4m2+m+,∵y=log3u是增函数，∴当u最小时，f(x)最小.m1111而u=(x－2m)2+m+,显然，当x=m时，u取最小值为m+,此时f(2m)=log3(m+)m1m1m1当m∈M时，m>1,∴(x－m)2+m+为最小值. (3)证明：当m∈M时，m+∴log3(m+11=(m－1)+ +1≥3,当且仅当m=2时等号成立. m1m11)≥log33=1. m1 以上是对函数值域的一些常用求法，仅供大家在教学或学习中用以参考。若要想真正得以提高，我们必须在数学复习中对求值域的常用方法和一般技能进行系统整理，深化训练。那样才能让学生真正熟练掌握。