酶 口Ｅ１Ｈ Ｉｌ ０ ＹＵ！ＦＡＮＧＦ￣ 解题技巧与方法 ． ● ． ●．－Ｉｌ一｜● 函数 域 ◎邱息良 （江苏省徐州市广播电视大学教务处２２１００６） 【摘要】本文通过多年的教学工作实践，简要探讨了利 用值域的定义、互为反函数的函数定义域与值域之间的关 ’・ 当 ＝÷时，Ｙ：２；当ｘ－＊Ｏ时，ｙ一＋ ， 函数的值域为［２，＋ ）． ‘系、函数的单调性、一些非负数的概念、求函数的最大值与 最小值、一元二次方程Ⅱ ＋ ＋ｃ：０（Ⅱ≠０）有实数根的充 要条件是Ａ＝ｂ 一４ａｃ≥０来求函数值域的几种常用方法． ．．方法四：利用一些非负数（√ ≥０，ｆ ｆ≥０， ≥０等）的 概念来求函数的值域 例４ 求函数Ｙ： ２ 一３＋１的值域． 解 ‘．’ ／０，．＞・．、 ＋１≥１． 【关键词】函数；值域；解法 函数是数字中的一个极其重要的概念，是字 商等数 即函数的值域为［１，＋。。）． 学、工程数学和其他科学技术不可缺少的基础．函数的定义 域、值域、解析式是构成函数的三个基本要素；但一般教材 方法五：利用求函数的最大值、最小值来求函数的值域 例５ 求函数Ｙ：ｓｊｎ ＋ＣＯＳＹ（一１的值域． 中只讲函数定义域的求法，而对函数值域的求法讲得很少， 现介绍几种求函数值域的常用方法，供大家参考． 解 ‘．‘Ｙ＝ｓｉｎｘ＋ＣＯＳ）Ｃ一１＝￣／２ｓｉｎ（４５。＋ｘ）一１， 又 ．’～ｌ≤ｓｉｎ（４５。＋ ）≤１， ‘一．．方法一：利用值域的定义来求函数的值域 例１ 求函数Ｙ＝３—２ｘ（一３≤ ≤２， ∈Ｚ）的值域． （√２＋】）≤Ｙ≤√２—１． 解将函数的定义域 ＝一３，一２，一１，０，１，２分别代入 即函数的值域为［一（√芝＋１），（√２—１）］． 方法六：利用一元二次方程 ＋ ＋ｃ＝０（０≠０）有实 数根的充分必要条件是△：ｂ 一４ａｃ≥０来求函数的值域 例６求函数 ＝ 十 十 函数解析式，，＝３—２ｘ，求得相应的Ｙ值为９，７，５，３，１，一１， 所以，函数的值域为｛９，７，５，３，１，一１｝． 方法＿二：利用互为反函数的函数定义域、值域之问的关 系来求函数的值域 的值域． 例２ 求函数Ｙ＝ｊ＿１十＿垒的值域． 解 由Ｙ＝ Ｊ＋ 解 将ｙ＝ 变形成一元二次方程形式为（ｙ一 ２） ＋（２ｙ＋１） ＋（２ｙ＋１）＝ｏ，（Ｙ≠２）． 求得 ＝ 十 ，交换 ，Ｙ的位置得函数 当Ｙ≠２时，要使方程有实数根，必定有 △：（２ｙ＋１） 一４（ 一２）（２ ＋１）≥０， ，＝－３鲁的反函数ｙ＝ ．而，，＝ 的定义域为 ≠一２ 的值域为ｙ≠一２的一切实数． 又解此不等式得～÷≤ｙ≤寻，且 ≠２． 。．‘函数的定义域为（一。。，＋ ），而当 ＝一１时，，一２， ，．．的一切实数，．．．Ｙ： 方法三：利用函数的单调性来求函数的值域 例３ 求函数Ｙ＝ｌｏｇ＋ ＋、／ｌ 的值域． 函数ｙ： 的值域是［一 １，詈］． 使用此方法时，要注意函数的定义域和对一元二次方 解容易求出函数的定义域为（０，÷】． 设Ｙ ：ｌｏｇ＋ ，Ｙ：＝、 ， 程中二次项系数不为零的ｙ值要进行检验确定， 除上述几种求值域的方法外，还可以利用函数的图像 来求值域；对一些复杂的也可先换元再求值域；对于一些实 则它们都是区间（０，÷］上的减函数． －际问题的函数，我们在求其值域时还要考虑它的实际意义． 总之，求函数值域的方法很多，需要我们针对具体问题灵活 运用各种方法． ．．函数ｙ：１。ｇ÷ ＋ｖ／ 在区问（ｏ，÷１上也是减 ２０１０ １ 函数． 数学学习与研究