抛物线知识点归纳总结

第二章 2.4 抛物线

y22px (p0)抛 物 线 O F x F l y y22px (p0)y l O x x22py (p0)y F O x l x22py (p0)y O F l x 平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线定义 的焦点，直线l叫做抛物线的准线。 {MMF=点M到直线l的距离} 范围 对称性 (焦点 x0,yR x0,yR xR,y0 xR,y0 关于x轴对称 关于y轴对称 (p,0) 2p,0) 2(0,p) 2(0,p) 2焦点在对称轴上 顶点 离心率 准线 方程 顶点到准线的距离 焦点到准线的距离 O(0,0) e=1 xp 2xp 2yp 2yp 2准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的距离相等。 p 2p 选修1-1

焦半径 A(x1,y1) AFx1p 2AFx1p 2AFy1p 2AFy1p 2 焦 点弦 长 AB (x1x2)p (x1x2)p (y1y2)p (y1y2)p 焦点弦AB的几条性质 以AB为直径的圆必与准线l相切 y o Ax1,y1 x Bx2,y2 F A(x1,y1)B(x2,y2) 若AB的倾斜角为，则AB2p sin2若AB的倾斜角为，则AB2p cos2p2x1x2 y1y2p2 411AFBFAB2 AFBFAFBFAFBFp切线 方程

1. 直线与抛物线的位置关系 直线

，抛物线

，

y0yp(xx0) y0yp(xx0) x0xp(yy0) x0xp(yy0) 选修1-1

，消y得：

（1）当k=0时，直线l与抛物线的对称轴平行，有一个交点； （2）当k≠0时，

Δ＞0，直线l与抛物线相交，两个不同交点； Δ=0， 直线l与抛物线相切，一个切点； Δ＜0，直线l与抛物线相离，无公共点。

（3）若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?（不一定）

2. 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法 直线l：

ykxb 抛物线

，(p0)

① 联立方程法：

ykxbk2x22(kbp)xb20 2y2px设交点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2)，则有0,以及x1x2,x1x2，还可进一步求出

y1y2kx1bkx2bk(x1x2)2b，

y1y2(kx1b)(kx2b)k2x1x2kb(x1x2)b2

在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如 a.

相交弦AB的弦长

22 AB1kx1x21k(x1x2)24x1x21k2 a或 AB11122 yy1(yy)4yy1k12121222kkax1x2yy2， y01 22b. 中点M(x0,y0), x0② 点差法：

设交点坐标为A(x1,y1)，B(x2,y2)，代入抛物线方程，得

选修1-1

y12px1 y22px2

将两式相减，可得

22(y1y2)(y1y2)2p(x1x2)

y1y22px1x2y1y2a.

在涉及斜率问题时，kAB2p

y1y2b. 在涉及中点轨迹问题时，设线段AB的中点为M(x0,y0)，

y1y22p2pp， x1x2y1y22y0y0 即kABp， y02同理，对于抛物线x2py(p0)，若直线l与抛物线相交于A、B两点，点M(x0,y0)是弦AB的中点，则有kABx1x22x0x0 2p2pp（注意能用这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同的交点，2）直线的斜率存在，且不等于零）