“认识分数”教学研究综述 黄伟星 ，许光新 ，凌国伟。 （１．无锡市北塘区教研室，２１４０３１；２．无锡市新区实验小学，２１４１１２； ３．无锡市教育研究中心，２１４００１） 摘要：分数是一个内涵丰富的数学概念，在小学数学教学内 容中占有重要地位。由于分数与整数有较大的差异，学生掌握分数 概念比较困难，所以苏教版教材对此内容分三个阶段教学。本次校 际联合教研活动，旨在帮助教师从整体上把握认识分数的教材和教 法。初步形成概念教学的几点共识。 关键词：认识分数概念教学研究 教材分析 苏教版小学数学教材中有关“认识分数” 的内容主要分三个阶段学习。 １．从分数的定义认识概念的抽象性。 第一阶段第一课时在三年级（上册）第十 分数的定义一般有四种。定义１（份数定 单元，主要内容是：认识一个物体或一个图形 义）：分数是把一个单位平均分成若干份之后 的几分之一；知道分数的读、写方法，各部分名 其中的一份或几份。定义２（商定义）：分数是两 称；会进行两个几分之一的分数大小比较；借 个数相除（除数不为Ｏ）的商。定义３（比定义）： 助“你知道吗”了解分数产生和发展的历史。 分数是整数ｑ与整数Ｐ（Ｐ≠０）之比。定义４（公 第二阶段第一课时在三年级（下册）第八 理化定义）：有序的整数对（户，ｑ），其中Ｐ≠０。 单元，主要内容是：认识有若干个物体组成的 在小学数学教学中，分数既表示部分与整 一个整体；理解把一个整体平均分成几份，这 体的关系，也表示两个整数相除（除数≠Ｏ）的 个整体中的一份可以用几分之一来表示。 商，还表示整数ｑ与整数Ｐ（Ｐ≠Ｏ）之比。但是 第三阶段第一课时在五年级（下册）第四 教材在给分数下定义时，根据学生的实际认知 单元，主要内容是：认识单位“１”，认识分数意 水平，一般采用的是份数定义。所以在实际教 义和分数单位。 学中，学生对为什么要出现单位“１”这个概念， 分数概念的高度抽象性决定了其认识过 单位“１”有何特殊性，与自然数１有什么关系 程的曲折性，需要一个螺旋上升、在已有基础 等这些有关单位“１”概念的理解比较困难，单 上逐步概括的过程，需要区分不同年龄阶段 位“１”概念的出现也使得分数概念的抽象程度 的概括层次。所以，教材编排从认识一个物体 比一般概念更高。 或一个图形的几分之一，到认识一个整体的 ２．从教材的编排体现过程的渐进性。 几分之一，再到认识单位“１”和分数的意义， 教育研究与评论．，Ｊ、学教育教学 ５７ 充分体现了学生认识数学概念的“渐进性”， 遵循了“教学与学生认知水平相适应”的 原理。 ３．从例子的变化理解概念的系统性。 “一天有两个人一起捕到了４只羚羊，２只小鹿，１ 只兔子，他们该怎么分配才公平呢？４只羚羊 怎么分？（每人２只）老祖先是这样记的Ｉｌ。２ 只小鹿呢？（每人１只）他们记作：Ｉ。１只兔子 『 个好例子胜过一千条说教”，为了有 呢？（每人半只）他们这样记 。．。 ＩＩ 利于学生开展分数概念的概括活动，例子的 选择至关重要。苏教版教材在编写“认识分 其实，两个人分享一样东西，我们在生活 中也遇到过。瞧，春游的时候，丁丁和当当在 数”时，就逐步通过例子的变化，帮助学生更 好地掌握分数这一概念的本质，体现在概念 分享什么呀？每人分得多少呢？（半个） 系统中学习概念的重要思想。第一，首次引入 （２）联系旧知引人。 １ 分数时，分割的对象从蛋糕到纸片（平面图 “认识一个整体的去”（厶 无锡市五爱小学 形），通过对象的变化更好地理解其中的关键 三年级备课组设计，余慧执教）。 要素“平均分”，也渗透了分数概念的必要性。 同学们还记得这张图片吗？（出示上册教 第二，注意分割方法的变化。例如，表示长方 材“认识分数”情景图）这是上学期小新秋游 １ 形纸片的去时，可以横着折，可以竖着折，也 时的情景，回家后小新写下了一篇数学日记。 厶 我们一起来听一听—— 可以斜着折……再如，引入一定的“反例”（一 １１月４日 星期二 天气：晴 些没有平均分的例子）。从折法的变化和正反 今天我和同学们来到美丽的大自然寻找 例的比较中，进一步明确：分数教学的关键不 秋天，我们不光欣赏了美丽的风景，还分享了 在于“如何分”，重要的是“平均分”，后者是分 食物，在平均分的过程中我认识了分数。我知 数概念的本质。第三，将“平均分成２份”中的 道把一个蛋糕平均分给２个人，每人分得半 “２份”以及“每份”适当变化，拓展出几分之 １ 可以．ｒ－Ｆ］去来表示，而把２瓶矿泉水和４个 一和几分之几。第四，从分一个物体发展为分 个，厶 一些物体组成的整体，再次通过变化将“（平 苹果平均分给２个人，每人分得的都只能用整 均）分配”这一实际活动转向部分与整体的关 数１和２表示。 系，对于分数的本质有更为深人的认识。第 同意小新的说法吗？相信通过这节课进 五，通过上述这些例子的变化，概括出单位 一步认识分数，我们会对小新这篇日记有新 “１”，认识单位“１”的内涵与外延，理解“平均 的看法。 分”，归纳出分数的意义。 概念的引入是概念教学的第一步，也是 极为重要的一步。教学中要尽可能使抽象的 教法探究 数学概念用学生接触过的、恰当的实际生活 １．概念的引入。 情境引入，也可以联系旧知用学生喜欢的形 （１）情境引入。 式引入。不管用那种方式引入，都要注意使学 “认识一个物体的丢”（无锡市新区实验 生感受概念的实际背景，理解概念与已有知 识的联系，初步感知概念的一些属性。 小学三年级备课组设计，孙晓华执教）。 ２．概念的形成。 几千年前，我们的老祖先以打猎为主。这 （１）讲授得法。 ５８ 教育研究与评论．，】、学教育教学 “认识一个整体的÷”（无锡师范附属小 年级备课组设计，王瑾执教）。学三年级备课组设计，陆黛娜执教）。 一①认识了蛋糕的 ，老师这里有一张长 天，猴妈妈带着４只小猴出去玩，瞧，它 方形纸，能找到它的÷吗？ 要求：（出示）拿出一张长方形纸，先折一 折，再用斜线把它的 １涂上颜色并写上 。 们正准备分桃吃。这一盘桃，要平均分给４只 小猴，每只小猴分得这盘桃的几分之几呢？ ①这里的一盘桃有几个？（贴桃，画圈，看 作一盘桃。） ②要平均分给４只小猴，得平均分成几 份？老师分一分，问：是平均分成４份了吗？ ②全班交流：谁来说说你是怎么折的？ （把一张长方形纸平均折成２份，涂上其中的 一③每只小猴得到了几个？ 这里的１个也就是４份中的１份。（板书： 圈份）这１份是这盘桃的几分之几呢？（板 １ 份，就是它的 。）另一份是这张长方形纸 的多少？ 点评：他是竖着对折的，涂色部分是它的 书：÷） ‘士 吗？与他一样的举起来看一看。 你是怎么折的？（横着对折，涂色部分是 第二只小猴分得的桃你会上来指一指 吗？（学生指）问：这个桃也是１份，是这盘桃 的几分之几呢？ 这个长方形的÷） 提问：还有不一样的折法吗？如果斜着对 指第三个桃，问：这一份是这盘桃的几分 之几？指第四个桃，问：这一份呢？ １ 折，涂色部分是不是这个长方形的去？ ③讨论：同样的长方形纸，折法不同，为 每份都是这盘桃的÷。 小结：刚才，我们把这一盘桃平均分成４ 什么涂色部分都是这张纸的 ？ 小结：不管怎么折，只要是把这张纸平均 分成２份，每一份都是它的 １。 份，每只小猴得到一份，每一份就是这盘桃 １ 的÷。 １ 任选一份，说说为什么是这盘桃的÷？ ￡士 在认识概念的本质属性这一环节，教学 的重点是引导学生进行比较、分析，通过具体 屏幕出示：把一盘桃平均分成（ 每份是这盘桃的（ ）。 ）份， 对象、具体方法的比较，正例和反例的比较， 使学生发现概念中蕴含的所有共同本质属 性，帮助学生真正建立起概念，为揭示概念定 义打下基础。 （３）归纳细致。 教师要通过合理的问题，准确、清晰、富 有启发性的讲授，恰当的板演、示范和小结， 引导学生积极思考，帮助学生真正理解所学 知识的重点和关键，积累学习经验。只有在学 生理解具体概念对象意义的基础上，才能较 为全面地掌握概念的本质属性。 “概括分数的意义”（无锡市扬名中心小 学五年级备课组设计，蔡小刚执教）。 （２）比较到位。 １ 结合例题讲解：把一块饼看作单位“１”， “比较长方形的 １”（无锡市东林小学三 ÷还可以说成把单位“１”平均分成４份，表示 教育研究与评论・小学教育教学 ５９ 这样的３份。那么百５又可以怎么说？＿詈＿、 １呢？ （让学生分别说一说，板书）现在你能任意说 一每份也能用几分之一来表示。 第二篇日记启下： 课上到这里你有什么收获吗？愉快的春 游结束后，小新也很有收获，回到家又写了一 个分数，并说出它的意义吗？ 概括：老师这儿还有昌、 这两个分数， 篇数学日记：３月１８日 星期四 天气：晴 能先说说 表示的意义吗？ Ｕ 今天天气真好，我和小伙伴们来到公园 小结：我们就说把单位“ｌ”平均分成若干 份，表示这样的３份。 春游。我们分享了好多好吃的。原来，不管是 一个物体还是一些物体，我们都可以把它看 追问：那么， 又表示什么意义呢？ Ｕ 成一个整体，把它平均分成几份，每份就是这 个整体的几分之一。回到家，爸爸给我出了一 道分数趣题，我一下子就想到了答案，爸爸夸 结合学生的回答，初步描述分数的意义。 说明：分数线下面的口表示单位“ｌ”平 均分成了若干份，分数线上面的口表示这样 的若干份。为了不重复，我们把第二个若干份 改成一份或几份的数。 归纳：根据这些例子，你能说说什么叫做 分数吗？ 出示分数的定义。 我真棒！这真是有意义的一天啊！ 你们想做这道题吗？出示题目：有３个饼， 要平均分给４小朋友，每人得到这些饼的几分 之一呢？ 数学概念之间往往存在着密切的联系， 共同构成一个概念系统。在概念的系统中学 习概念，即要在概念的应用阶段引导学生将 获得的每一新概念及时纳入相应的概念系 统。在形成用概念作判断的“操作步骤”的同 时，建立新旧概念的联系，将新旧概念融会贯 通，完成一次新的概括过程。 ３．概念的转化。 从具体的例子中初步感悟概念后，需要 对这些例子中的相同本质属性进行提炼，完 成对本质属性的概括，即要给概念下定义。在 小学数学概念的定义上，一般可以采用两种 方式：描述式或定义式。分数的意义属于定义 式，定义式概念的揭示尤其要体现归纳思想， 力求精致、到位。 （４）重视结构。 “承上启下的教学日记”（五爱小学三年 （１）开放练习。 “纸牌魔术”（无锡师范附属小学三年级 备课组设计，陆黛娜执教）。 今年春晚刘谦的魔术精彩纷呈，其中纸 牌魔术让老师印象特别深刻。刘谦叔叔把一 副杂乱的５２张牌在１０秒内排出４种花色，并 级备课组设计，余慧执教）。 通过这节课对几分之一的进一步认识， 你对当初小新秋游后写下的数学日记有什么 新的看法吗？（引导学生用分数表示分得的矿 泉水和苹果的结果） 小结：除了把一个物体平均分成几份，每 从小到大排，真令人眼花缭乱。在这里陆老师 还发现很多与今天学的分数有关的知识，一 起看看。你能从这些牌中找到几分之一吗？ 概念习得的理想终点是学习者能够利用 所学的概念去解决问题。教学中，应该设计好 帮助学生巩固新学概念本质属性的变式练 份可以用几分之一来表示，还能把一些物体 看成一个整体（电脑圈一圈），平均分成几份， ６０ 教育研究与评论．，Ｊ、学教育教学 习，帮助学生分清容易混淆的概念的对比练 习，也要设计好帮助学生创造性地运用概念， 有助于形成知识结构的开放练习。 （２）拓展练习。 地帮助学生理解分数的意义、分数与整数之 间的关系、分数与分数之间的关系，帮助学生 建立数感，进一步完善对数系统的认识。 概念教学几点共识 １．要把握好整体与阶段的关系。 “在直线上画出表示下面各分数的 点”（无锡市张泾实验小学五年级备课组设 计，虞丽敏执教）。 演示：（出示数轴）以０为起点，这一段表 示“１” ０ ｌ 数学知识的教学，要注重知识的“生长 点”与“延伸点”，把每堂课教学的知识置于整 体知识的体系中，注重知识的结构和体系，处 理好局部知识与整体知识的关系，引导学生 感受数学的整体性，体会对于某些数学知识 可以从不同的角度加以分析、从不同的层次 进行理解。苏教版教材据此比较合理地编排 ｌ ２ 提问：“２”在哪儿呢？“２”后面是几？再后 面呢？（学生猜测并说明理由） 演示： ０ 了各册的教学内容，按照学生的认知水平呈 现教学内容。在三年级学生初步认识分数时， 一提问：这个点是几呢？（指丢处） 再问：那÷在哪儿呢？（学生说理由） ‘士 定要贴近学生的认知水平，借助现实的情 境和直观的图形，通过具体操作，使学生逐步 获得对分数的感性认识，建立分数的表象。 ２．要把握好形式与实质的关系。 师：那书本上的这些分数对应的点在哪 教材在注重数学本质的同时，对一些概 里呢？（学生独立练习） （１）自我检查。 （２）指名交流，其他学生一起判断。 念的定义适当淡化了形式。这是为了讲求实 效，使学生更好地理解概念，体会数学的本 质。从这个意义上说，适当的淡化是为了真正 的“强化”。由于分数的概念关涉学生对于整 体与部分之间关系的认识，反映的是一种“关 系认识”的思维方式，所以学生用“关系认识” 的思维方式思考问题，在表述上往往会说“其 １ （３）小结：在这条直线上，每个分数都有 对应的点。这些点都在０～１之间，说明这些 分数都比几小？ 猜想：有没有比１大的分数呢？ 数学练习也需要拓展设计，以帮助学生 拓宽对概念的认识。在“分数的意义”教学中 中的每一份是它的去”，或“其中的一份或几 厶 出现的直线模型，它是圆模型和其他平面模 型的“再抽象”，可以充当分数的“份数模型” 份的数叫做分数”，觉得有了“其中”更能凸显 对关系的认识，这种表述也是可以的。那么， 教材中为什么不这样来表述呢？这就是教材 向“除法的商”定义过渡的几何载体。所以，设 计时首先要引导学生经历一个逐渐形成数轴 雏形的过程，然后通过操作让学生更为直观 地看到分数其实是填在自然数之间的“新” 概括性的要求所至，它的描述必须涵盖所有 情况。认识了假分数，就会知道分数不局限于 部分与整体关系的范畴，还经常用来表示两 个同类数量之间的关系。所以，教学时应淡化 数，位置在两个相邻的自然数之间，更为形象 教育研究与评论．，Ｊ、学教育教学 表述的形式，突出概念的本质。 一份与几份之间的关系，也就是整体与部分 ３．要把握好形象与抽象的关系。 的关系。接着通过比较，可以比较总数不同， 概念形成，是指对同类事物中若干不同 平均分的份数相同，每份都用同一个几分之 的例子进行反复感知、分析、比较和抽象，以 一来表示的情况，也可以比较总数相同，平均 归纳的方式概括出这类事物的本质属性，从 分的份数不同，每份用不同的几分之一来表 而达到掌握这一概念的过程。通过概念形成 示的情况，还可以比较没有把一个整体平均 方式获得概念，要经过知觉辨别、假设、检验 分的情况。在多次比较与变式中，理解个数和 假设和概括四个阶段。在这四个阶段中，要通 总数，每份和平均分的份数之间的联系与区 过大量形象直观例子的具体感知，从形象过 别，进而理解一个整体的几分之一。 渡到抽象，逐步概括出概念定义。例如，教学 ５．要把握好引导与归纳的关系。 “分数”这个概念时，首先感知的是把单个物 在小学数学概念教学中，学生对概念的 质实体看作一个具象整体，把这个具象整体 理解是否到位一定程度上取决于教师的引 平均分成几份，每份是这个具象整体的几分 导。教师的引导一般体现在以下五个基本环 之一。因此，单个物质实体就是一个具象意义 节：引入要恰当，感知要深刻，抽象要适时，概 上的整体概念。其次认识的是把多个物质实 括要到位，巩固要及时。引导学生发现数学概 体看作一个抽象整体，把这个抽象整体平均 念的共同属性后，教师还要特别重视归纳和 分成几份，每份是这个抽象整体的几分之一， 小结，归纳一般按以下四个环节进行：自己概 多个物质实体就是一个抽象意义上的整体概 括，相互交流，揭示概念（教师归纳），及时反 念。在认识一个整体的几分之一时，由原来的 思。归纳出概念后，还可以让学生自己举一些 单个具象整体的几分之一，扩展到几个物质 例子，对数学概念进行恰当的演绎。例如，教 实体组成的整体的几分之一，这是认识分数 学五年级（下册）“分数的意义”时，教师就要 的一次飞跃。最后认识分数，是学生在直观认 抓住概念中的关键词语“单位１”“平均分成若 知的基础上，逐步概括出分数的意义。学生首 干份”“表示这样的一份或几份”引导学生进 先必须形成对单位“１”的理解，进而逐步认识 行归纳和概括，体会分数表示的是部分与整 分数的意义。 体的关系，概念得出后还应让学生自己举例， ４．要把握好基本与变式的关系。 联系实例具体说说分数的意义，并通过对分 对于分数这个基本概念的教学，必须安 数意义的辨析，进一步加深对分数意义的 排概念的精致过程，即要对概念内涵进行“深 理解。 加工”，对概念要素作具体界定，在对概念正 综上所述，对分数的认识，是由一个物 例与反例的比较中，基本与变式的练习中，更 体、一个图形、一个计量单位到一个整体，到 准确地把握概念的细节。例如，教学三年级 单位“１”，再到部分与整体，与除法，与比的关 （下册）“认识几分之一”时，首先应认识一份 系，是一个概念逐渐深入、抽象与拓展的过 是１个物体时，这一份就是这个整体的几分之 程。教学中，要充分考虑知识逻辑的“序”和学 一，再认识一份是几个物体时，这一份也是这 生认知的“序”，遵循概念教学的一般规律，一 个整体的几分之一，初步感受分数表示的是 步一个台阶地拾级而上。 ６２ 教育研究与评论・小学教育教学