上海市2021年中考数学试卷
一、单选题（共6题；共12分）
1.下列实数中，有理数是（ ）
A. √1 B. √1 C. √1 D. √1 2
3
4
5
2.下列单项式中， 𝑎2𝑏3 的同类项是（ ）
A. 𝑎3𝑏2 B. 2𝑎2𝑏3 C. 𝑎2𝑏 D. 𝑎𝑏3
3.将抛物线 𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐(𝑎≠0) 向下平移两个单位，以下说法错误的是（ ） A. 开口方向不变 B. 对称轴不变
C. y随x的变化情况不变 D. 与y轴的交点不变
4.商店准备一种包装袋来包装大米，经市场调查以后，做出如下统计图，请问选择什么样的包装最合适（ ）
A. 2kg /包 B. 3kg /包 C. 4kg /包 D. 5kg /包
⃗ = （ ） ⃗ ，E为 𝐴𝐵 中点，求 1𝑎⃗ =𝑎 +𝑏5.如图，已知平行四边形ABCD中， ⃗⃗⃗⃗𝐴𝐵 ,⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐷=𝑏2
⃗⃗⃗⃗⃗ B. 𝐶𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ C. 𝐸𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ D. 𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ A. 𝐸𝐶
6.如图，已知长方形 𝐴𝐵𝐶𝐷 中， 𝐴𝐵=4,𝐴𝐷=3 ，圆B的半径为1，圆A与圆B内切，则点 𝐶,𝐷 与圆A的位置关系是（ ）
A. 点C在圆A外，点D在圆A内 B. 点C在圆A外，点D在圆A外 C. 点C在圆A上，点D在圆A内 D. 点C在圆A内，点D在圆A外
二、填空题（共12题；共12分）
7.计算： 𝑥7÷𝑥2= ________．
8.已知 𝑓(𝑥)=𝑥 ，那么 𝑓(√3)= ________． 9.已知 √𝑥+4=3 ，则 𝑥= ________． 10.不等式 2𝑥−12<0 的解集是________． 11.70° 的余角是________．
12.若一元二次方程 2𝑥2−3𝑥+𝑐=0 无解，则c的取值范围为________．
13.有数据 1,2,3,5,8,13,21,34 ，从这些数据中取一个数据，得到偶数的概率为________． 14.已知函数 𝑦=𝑘𝑥 经过二、四象限，且函数不经过 (−1,1) ，请写出一个符合条件的函数解析式________．
15.某人购进一批苹果到集贸市场零售，已知卖出的苹果数量与售价之间的关系如图所示，成本为5元/千克，现以8元/千克卖出，赚________元．
6
16.如图，已知 𝑆
𝑆△𝐴𝐵𝐷
△𝐵𝐶𝐷
=2 ，则 𝑆△𝐵𝑂𝐶= ________．
△𝐵𝐶𝐷
1𝑆
17.六个带 30° 角的直角三角板拼成一个正六边形，直角三角板的最短边为1，求中间正六边形的面积________．
18.定义：在平面内，一个点到图形的距离是这个点到这个图上所有点的最短距离，在平面内有一个正方形，边长为2，中心为O，在正方形外有一点 𝑃,𝑂𝑃=2 ，当正方形绕着点O旋转时，则点P到正方形的最短距离d的取值范围为________．
三、解答题（共7题；共60分）
19.计算： 92+|1−√2|−2−1×√8 𝑥+𝑦=3
20.解方程组： {2
𝑥−4𝑦2=0
21.已知在 △𝐴𝐵𝐷 中， 𝐴𝐶⊥𝐵𝐷,𝐵𝐶=8,𝐶𝐷=4 ， cos∠𝐴𝐵𝐶=5 ， 𝐵𝐹 为 𝐴𝐷 边上的中线．
4
1
（1）求 𝐴𝐶 的长； （2）求 tan∠𝐹𝐵𝐷 的值．
22.现在5G手机非常流行，某公司第一季度总共生产80万部5G手机，三个月生产情况如下图．
（1）求三月份共生产了多少部手机?
5𝐺 手机速度很快，比 4𝐺 下载速度每秒多 95MB ，下载一部 1000MB 的电影， 5𝐺 比 4𝐺 要快（2）
190秒，求 5𝐺 手机的下载速度．
23.已知：在圆O内，弦 𝐴𝐷 与弦 𝐵𝐶 交于点 𝐺,𝐴𝐷=𝐶𝐵,𝑀,𝑁 分别是 𝐶𝐵 和 𝐴𝐷 的中点，联结 𝑀𝑁,𝑂𝐺 ．
（1）求证： 𝑂𝐺⊥𝑀𝑁 ；
（2）联结 𝐴𝐶,𝐴𝑀,𝐶𝑁 ，当 𝐶𝑁//𝑂𝐺 时，求证：四边形 𝐴𝐶𝑁𝑀 为矩形． 24.已知抛物线 𝑦=𝑎𝑥2+𝑐(𝑎≠0) 过点 𝑃(3,0),𝑄(1,4) ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点A在直线 𝑃𝑄 上且在第一象限内，过A作 𝐴𝐵⊥𝑥 轴于B，以 𝐴𝐵 为斜边在其左侧作等腰直角 𝐴𝐵𝐶 ．
①若A与Q重合，求C到抛物线对称轴的距离； ②若C落在抛物线上，求C的坐标．
25.如图，在梯形 𝐴𝐵𝐶𝐷 中， 𝐴𝐷//𝐵𝐶,∠𝐴𝐵𝐶=90°,𝐴𝐷=𝐶𝐷,𝑂 是对角线 𝐴𝐶 的中点，联结 𝐵𝑂 并延长交边 𝐶𝐷 或边 𝐴𝐷 于E．
（1）当点E在边 𝐶𝐷 上时， ①求证： △𝐷𝐴𝐶∽△𝑂𝐵𝐶 ； ②若 𝐵𝐸⊥𝐶𝐷 ，求 𝐵𝐶 的值；
（2）若 𝐷𝐸=2,𝑂𝐸=3 ，求 𝐶𝐷 的长．
𝐴𝐷
答案解析部分
一、单选题 1.【答案】 C
【考点】有理数及其分类
121
【解析】【解答】解：A、 √=√ ∵ √2 是无理数，故 √ 是无理数
2
2
2
B、 √1=√3 ∵ √3 是无理数，故 √1 是无理数
3
3
3
C、 √1=1 为有理数
4
2
D、 √=√ ∵ √5 是无理数，故 √ 是无理数
555故答案为：C
【分析】先将各项二次根式化为最简二次根式，然后根据整数和分数统称有理数，有限小数和无限循环小数都可以化为分数；无限不循环小数叫做无理数，对于开方开不尽的数、圆周率π都是无理数；据此判断即可.
2.【答案】 B 【考点】同类项
【解析】【解答】∵a的指数是3，b的指数是2，与 𝑎2𝑏3 中a的指数是2，b的指数是3不一致， ∴ 𝑎3𝑏2 不是 𝑎2𝑏3 的同类项，不符合题意；
∵a的指数是2，b的指数是3，与 𝑎2𝑏3 中a的指数是2，b的指数是3一致， ∴ 2𝑎2𝑏3 是 𝑎2𝑏3 的同类项，符合题意；
∵a的指数是2，b的指数是1，与 𝑎2𝑏3 中a的指数是2，b的指数是3不一致， ∴ 𝑎2𝑏 不是 𝑎2𝑏3 的同类项，不符合题意；
∵a的指数是1，b的指数是3，与 𝑎2𝑏3 中a的指数是2，b的指数是3不一致， ∴ 𝑎𝑏3 不是 𝑎2𝑏3 的同类项，不符合题意； 故答案为：B
【分析】所含字母相同，且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，据此逐一判断即可. 3.【答案】 D
【考点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】将抛物线 𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐(𝑎≠0) 向下平移两个单位，开口方向不变、对称轴不变、故y随x的变化情况不变；与y轴的交点改变 故答案为：D．
【分析】由于抛物线上下平移后形状不变，开口方向不变、对称轴不变、从而可得增减性不变，但与y轴的交点改变，据此判断即可. 4.【答案】 A 【考点】条形统计图
151
【解析】【解答】由图可知，选择1.5kg/包-2.5kg/包的范围内的人数最多， ∴选择在1.5kg/包-2.5kg/包的范围内的包装最合适． 故答案为：A．
【分析】最合适的包装即是顾客购买最多的包装，据此判断即可. 5.【答案】 A 【考点】平面向量
【解析】【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，E为 𝐴𝐵 中点，
1
⃗ =1𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ +𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ =⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =𝐸𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ +𝐵𝐶 +𝑏𝐸𝐵∴ 2𝑎2
故答案为：A．
1
⃗ =1𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ +𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ =⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =𝐸𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ， 据此判断⃗⃗⃗ +𝐵𝐶 +𝑏𝐸𝐵 【分析】根据平行四边形的性质及线段的中点，可得2𝑎2
即可.
6.【答案】 C
【考点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】
∵圆A与圆B内切， 𝐴𝐵=4 ，圆B的半径为1 ∴圆A的半径为5 ∵ 𝐴𝐷=3 <5 ∴点D在圆A内
在Rt△ABC中， 𝐴𝐶=√𝐴𝐵2+𝐵𝐶2=√42+32=5 ∴点C在圆A上 故答案为：C
【分析】根据两圆内切，可得圆A的半径为5，由点与圆的位置关系可得点D在圆A内，在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AC=5，利用点与圆的位置关系可得点C在圆A上，据此判断即可. 二、填空题 7.【答案】 𝑥5
【考点】同底数幂的除法 【解析】【解答】∵ 𝑥7÷𝑥2= 𝑥5 , 故答案为: 𝑥5 ．
【分析】同底数幂相除，底数不变，指数相减，据此计算即可. 8.【答案】 2√3 【考点】代数式求值
【解析】【解答】解：∵ 𝑓(𝑥)=𝑥 ，
6
∴ 𝑓(√3)=
6√3=2√3 ，
故答案为： 2√3 ．
【分析】将x=√3代入，求出函数值即可. 9.【答案】 5 【考点】无理方程
【解析】【解答】解： √𝑥+4=3 ， 两边同平方，得 𝑥+4=9 ， 解得：x=5，
经检验，x=5是方程的解， ∴x=5， 故答案是：5．
【分析】将方程两边同平方，化为一元一次方程，求解并检验即可. 10.【答案】 𝑥<6
【考点】解一元一次不等式 【解析】【解答】 2𝑥−12<0
2𝑥<12 𝑥<6
故答案为： 𝑥<6 ．
【分析】利用移项、系数化为1即可求出解集. 11.【答案】 20°
【考点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】 70° 的余角是90°- 70° = 20° 故答案为： 20° ．
【分析】互余的两个角的和等于90°，据此解答即可. 12.【答案】 𝑐>8
【考点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：关于x的一元二次方程 2𝑥2−3𝑥+𝑐=0 无解， ∵ 𝑎=2 ， 𝑏=−3 ， 𝑐=𝑐 ， ∴ △=𝑏2−4𝑎𝑐=(−3)2−4×2𝑐<0 ， 解得 𝑐>8 ，
∴ 𝑐 的取值范围是 𝑐>8 ． 故答案为： 𝑐>8 ．
【分析】由关于x的一元二次方程 2𝑥2−3𝑥+𝑐=0 无解，可得△＜0，据此解答即可. 13.【答案】 8 【考点】概率公式
3
9
9
9
9
【解析】【解答】根据概率公式，得偶数的概率为 8 ， 故答案为： 8 ．
【分析】直接利用概率公式计算即可.
14.【答案】 𝑦=−2𝑥 （ 𝑘<0 且 𝑘≠−1 即可） 【考点】正比例函数的图象和性质
【解析】【解答】解：∵正比例函数 𝑦=𝑘𝑥 经过二、四象限， ∴k<0，
当 𝑦=𝑘𝑥 经过 (−1,1) 时，k=-1， 由题意函数不经过 (−1,1) ，说明k≠-1，
故可以写的函数解析式为： 𝑦=−2𝑥 (本题答案不唯一，只要 𝑘<0 且 𝑘≠−1 即可)．
【分析】正比例函数经过二、四象限，可得k<0， 又不经过 (−1,1) ，可得k≠-1，，据此求解即可（答案不唯一）. 15.【答案】
33𝑘53
3
【考点】一次函数的实际应用
【解析】【解答】设卖出的苹果数量与售价之间的关系式为 𝑦=𝑚𝑥+𝑛(5≤𝑥≤10) ，将（5，4k），（10，k）代入关系式：
5𝑚+𝑛=4𝑘𝑚=−5𝑘 { ，解得 { 10𝑚+𝑛=𝑘𝑛=7𝑘 ∴ 𝑦=−5𝑘𝑥+7𝑘(5≤𝑥≤10) 令 𝑥=8 ，则 𝑦= ∴利润= (8−5)×
115
3
3
𝑘
335
115
𝑘=𝑘
【分析】利用待定系数法求出卖出的苹果数量与售价之间的关系式，再求出当售价为8元/千克时卖出的苹果数量，最后利用利润=（售价-进价）×销售量，计算即得. 16.【答案】 3
【考点】相似三角形的判定与性质 【解析】【解答】解：作AE⊥BC，CF⊥BD
2
∵ 𝑆
𝑆△𝐴𝐵𝐷
△𝐵𝐶𝐷
=2
1
∴△ABD和△BCD等高，高均为AE
∴
𝑆△𝐴𝐵𝐷𝑆△𝐵𝐶𝐷
=
1
𝐴𝐷·𝐴𝐸21𝐵𝐶·𝐴𝐸2
=𝐵𝐶=2
𝐴𝐷1
∵AD∥BC ∴△AOD∽△COB ∴ 𝑂𝐵=𝐵𝐶=2
∵△BOC和△DOC等高，高均为CF ∴
𝑆△𝐵𝑂𝐶𝑆△𝐷𝑂𝐶𝑆△𝐵𝑂𝐶
△𝐵𝐶𝐷
1
𝑂𝐵·𝐶𝐹21𝑂𝐷·𝐶𝐹2
𝑂𝐷𝐴𝐷1
=
=𝑂𝐷=1 𝑂𝐵2
∴ 𝑆= 3
2
2
故答案为： 3
【分析】作AE⊥BC，CF⊥BD，可得可得 𝑂𝐵=𝐵𝐶=2 ， 从而求出𝑆17.【答案】
3√3 2
𝑂𝐷
𝐴𝐷
1
𝑆△𝐵𝑂𝐶
△𝐷𝑂𝐶
𝑆△𝐴𝐵𝐷𝑆△𝐵𝐶𝐷
=
1
𝐴𝐷·𝐴𝐸21𝐵𝐶·𝐴𝐸2=𝐵𝐶=2 ， 利用平行线可证△AOD∽△COB
2
𝐴𝐷1
=
1
𝑂𝐵·𝐶𝐹21𝑂𝐷·𝐶𝐹2
=𝑂𝐷=1 ， 继而得出结论.
𝑂𝐵
．
【考点】正多边形的性质
【解析】【解答】解：如图所示，连接AC、AE、CE，作BG⊥AC、DI⊥CE、FH⊥AE，AI⊥CE，
在正六边形ABCDEF中， ∵直角三角板的最短边为1， ∴正六边形ABCDEF为1，
∴△ABC、△CDE、△AEF为以1为边长的等腰三角形，△ACE为等边三角形， ∵∠ABC=∠CDE =∠EFA =120°，AB=BC= CD=DE= EF=FA=1， ∴∠BAG=∠BCG =∠DCE=∠DEC=∠FAE =∠FEA=30°， ∴BG=DI= FH= 2 ，
∴由勾股定理得：AG =CG = CI = EI = EH = AH = √3 ，
2
1
∴AC =AE = CE = √3 ， ∴由勾股定理得：AI= 2 ，
3
∴S= 3×1×√3×1+1×√3×3=3√3 ，
2
2
2
2
2
故答案为：
3√3 2
．
【分析】如图所示，连接AC、AE、CE，作BG⊥AC、DI⊥CE、FH⊥AE，AI⊥CE，利用正六边形的性质可得△ABC、△CDE、△AEF为以1为边长的等腰三角形，△ACE为等边三角形，从而求出∠BAG=∠BCG =∠DCE=∠DEC=∠FAE =∠FEA=30︒，继而得出BG=DI= FH= 2 ， AC =AE = CE = √3 ，AI= 2 ，由中间正六边形的面积=3△ABC的面积+△ACE的面积，利用三角形的面积公式计算即可. 18.【答案】 2−√2≤𝑑≤1
【考点】旋转的性质，四边形-动点问题
【解析】【解答】解：如图1，设 𝐴𝐷 的中点为E，连接OA，OE，则AE=OE=1，∠AEO=90°， 𝑂𝐴=√2 ． ∴点O与正方形 𝐴𝐵𝐶𝐷 边上的所有点的连线中， 𝑂𝐸 最小，等于1， 𝑂𝐴 最大，等于 √2 ．
1
3
∵ 𝑂𝑃=2 ，
∴点P与正方形 𝐴𝐵𝐶𝐷 边上的所有点的连线中，
如图2所示，当点E落在 𝑂𝑃 上时，最大值PE=PO-EO=2-1=1；
如图3所示，当点A落在 𝑂𝑃 上时，最小值 𝑃𝐴=𝑃𝑂−𝐴𝑂=2−√2 ．
∴当正方形ABCD绕中心O旋转时，点P到正方形的距离d的取值范围是 2−√2≤𝑑≤1 ． 故答案为： 2−√2≤𝑑≤1
【分析】由旋转及正方形的性质可得，当点E落在 𝑂𝑃 上时，最大值为PE的长，当点A落在 𝑂𝑃 上时，最小值为PA的长，据此分别求出最大值与最小值，即得结论. 三、解答题
19.【答案】 解： 92+|1−√2|−2−1×√8 ， = √9−(1−√2)−2×2√2 ， = 3+√2−1−√2 ， =2．
【考点】实数的运算
【解析】【分析】利用算术平方根、负整数指数幂、绝对值的性质分别化简，再合并即可. 20.【答案】 解：由题意： {
𝑥+𝑦=3⋯(1)
，
𝑥2−4𝑦2=0⋯(2)
1
1
由方程(1)得到： 𝑥=3−𝑦 ，再代入方程(2)中：
得到： (3−𝑦)2−4𝑦2=0 ，
进一步整理为： 3−𝑦=2𝑦 或 3−𝑦=−2𝑦 ， 解得 𝑦1=1 ， 𝑦2=−3 ，
再回代方程(1)中，解得对应的 𝑥1=2 ， 𝑥2=6 ， 𝑥=2𝑥=6
和 { ． 故方程组的解为： {
𝑦=1𝑦=−3【考点】解二元一次方程组
【解析】【分析】利用代入消元法解方程组即可. 21.【答案】 （1）∵ 𝐴𝐶⊥𝐵𝐷 ， cos∠𝐴𝐵𝐶=5 ∴ cos∠𝐴𝐵𝐶=𝐴𝐵=5 ∴AB=10
∴ 𝐴𝐶 = √𝐴𝐵2−𝐵𝐶2=6 ；
（2）过点F作FG⊥BD，
𝐵𝐶
4
4
∵ 𝐵𝐹 为 𝐴𝐷 边上的中线． ∴F是AD中点 ∵FG⊥BD， 𝐴𝐶⊥𝐵𝐷 ∴ 𝐹𝐺//𝐴𝐶
∴FG是△ACD的中位线 ∴FG= 2𝐴𝐶= 3 CG= 2𝐶𝐷=2
∴在Rt△BFG中， tan∠𝐹𝐵𝐷 = 𝐵𝐺=8+2=10 ． 【考点】勾股定理，锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1） 利用 cos∠𝐴𝐵𝐶=𝐴𝐵=5可求出AB的长，再利用勾股定理求出AC的长即可； （2）过点F作FG⊥BD，由AC⊥BD可得FG∥AC，可得FG是△ACD的中位线，从而可得FG= 2𝐴𝐶= 3， CG= 2𝐶𝐷=2 ，在Rt△BFG中，由tan∠𝐹𝐵𝐷 = 𝐵𝐺即可得出结论.
11𝐹𝐺𝐵𝐶
4
𝐹𝐺
3
3
11
22.【答案】 （1）3月份的百分比= 1−30%−25%=45% 三月份共生产的手机数= 80×45%=36 （万部） 答：三月份共生产了36万部手机．
（2）设 5𝐺 手机的下载速度为x MB /秒，则 4𝐺 下载速度为 (𝑥−95) MB /秒， 由题意可知： 𝑥−95−解得： 𝑥=100
检验：当 𝑥=100 时， 𝑥⋅(𝑥−95)≠0 ∴ 𝑥=100 是原分式方程的解．
答： 5𝐺 手机的下载速度为100 MB /秒． 【考点】分式方程的实际应用，扇形统计图
【解析】【分析】（1）由扇形统计图求出三月份所占百分比，再乘以总数即得结论；
（2） 设5𝐺手机的下载速度为x MB /秒，则4𝐺下载速度为 (𝑥−95) MB /秒，根据“ 下载一部 1000MB的电影， 5𝐺 比 4𝐺 要快190秒”列出方程，求解并检验即可.
23.【答案】 （1）证明：连结 𝑂𝑀,𝑂𝑁 ，
1000
1000𝑥
=190
∵M、N分别是 𝐶𝐵 和 𝐴𝐷 的中点， ∴OM，ON为弦心距， ∴OM⊥BC，ON⊥AD， ∴∠𝐺𝑀𝑂=∠𝐺𝑁𝑂=90° ， 在 ⊙𝑂 中， 𝐴𝐵=𝐶𝐷 ， ∴𝑂𝑀=𝑂𝑁 ，
在Rt△OMG和Rt△ONG中， 𝑂𝑀=𝑂𝑁
， {
𝑂𝐺=𝑂𝐺
∴𝑅𝑡𝛥𝐺𝑂𝑀≌𝑅𝑡𝛥𝐺𝑂𝑁(𝐻𝐿) ， ∴ 𝑀𝐺=𝑁𝐺，∠𝑀𝐺𝑂=∠𝑁𝐺𝑂 ， ∴𝑂𝐺⊥𝑀𝑁 ;
（2）设OG交MN于E， ∵𝑅𝑡𝛥𝐺𝑂𝑀≌𝑅𝑡𝛥𝐺𝑂𝑁(𝐻𝐿) ， ∴ 𝑀𝐺=𝑁𝐺 ，
∴ ∠𝐺𝑀𝑁=∠𝐺𝑁𝑀 ，即 ∠𝐶𝑀𝑁=∠𝐴𝑁𝑀 ， ∵𝐶𝑀=1
𝐶𝐵=1
2
2
𝐴𝐷=𝐴𝑁 ，
在△CMN和△ANM中 𝐶𝑀=𝐴𝑁
{∠𝐶𝑀𝑁=∠𝐴𝑁𝑀 ，
𝑀𝑁=𝑁𝑀∴△𝐶𝑀𝑁≌△𝐴𝑁𝑀 ，
∴𝐴𝑀=𝐶𝑁,∠𝐴𝑀𝑁=∠𝐶𝑁𝑀 ， ∵CN∥OG，
∴∠𝐶𝑁𝑀=∠𝐺𝐸𝑀=90° ， ∴∠𝐴𝑀𝑁=∠𝐶𝑁𝑀=90° ，
∴∠𝐴𝑀𝑁+∠𝐶𝑁𝑀=90°+90°=180° ， ∴AM∥CN，
∴𝐴𝐶𝑁𝑀 是平行四边形， ∵∠𝐴𝑀𝑁=90° ， ∴四边形ACNM是矩形．
【考点】矩形的判定，圆的综合题
【解析】【分析】（1）连结𝑂𝑀,𝑂𝑁 ， 证明𝑅𝑡𝛥𝐺𝑂𝑀≌𝑅𝑡𝛥𝐺𝑂𝑁(𝐻𝐿) ，可得MG=NG， 𝑀𝐺=𝑁𝐺，∠𝑀𝐺𝑂=∠𝑁𝐺𝑂 ，
24.【答案】 （1）将 𝑃(3,0)、𝑄(1,4) 两点分别代入 𝑦=𝑎𝑥2+𝑐 ，得 {9𝑎+𝑐=0,𝑎+𝑐=4, 解得 𝑎=−1
9
2,𝑐=2 ．
所以抛物线的解析式是 𝑦=−1
9
2𝑥2+2 ．
（2）①如图2，抛物线的对称轴是y轴，当点A与点 𝑄(1,4) 重合时， 𝐴𝐵=4 ， 作 𝐶𝐻⊥𝐴𝐵 于H．
∵ △𝐴𝐵𝐶 是等腰直角三角形，
∴ △𝐶𝐵𝐻 和 △𝐶𝐴𝐻 也是等腰直角三角形， ∴ 𝐶𝐻=𝐴𝐻=𝐵𝐻=2 ，
∴点C到抛物线的对称轴的距离等于1．
∠MGO=∠NGO，
3𝑘+𝑏=0,
②如图3，设直线PQ的解析式为y=kx+b，由 𝑃(3,0)、𝑄(1,4) ，得 {
𝑘+𝑏=4,𝑘=−2,
解得 {
𝑏=6,
∴直线 𝑃𝑄 的解析式为 𝑦=−2𝑥+6 ， 设 𝐴(𝑚,−2𝑚+6) ， ∴ 𝐴𝐵=−2𝑚+6 ，
所以 𝐶𝐻=𝐵𝐻=𝐴𝐻=−𝑚+3 ．
所以 𝑦𝐶=−𝑚+3,𝑥𝐶=−(−𝑚+3−𝑚)=2𝑚−3 ． 将点 𝐶(2𝑚−3,−𝑚+3) 代入 𝑦=−2𝑥2+2 ， 得 −𝑚+3=−2(2𝑚−3)2+2 ． 整理，得 2𝑚2−7𝑚+3=0 ． 因式分解，得 (2𝑚−1)(𝑚−3)=0 ．
解得 𝑚=2 ，或 𝑚=3 （与点B重合，舍去）．
当 𝑚=2 时， 2𝑚−3=1−3=−2,−𝑚+3=−2+3=2 ． 所以点C的坐标是 (−2,2) ．
【考点】待定系数法求二次函数解析式，二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）将P、Q两点坐标代入抛物线解析式中，求出a、c的值即可；
（2）① 作 𝐶𝐻⊥𝐴𝐵 于H．抛物线的对称轴是y轴，当点A与点 𝑄(1,4) 重合时， 𝐴𝐵=4 ， 可得出 △𝐶𝐵𝐻和 △𝐶𝐴𝐻 也是等腰直角三角形，从而得出𝐶𝐻=𝐴𝐻=𝐵𝐻=2 ， 继而得出点C到抛物线的对称轴的距离等于1；
②先求出直线 𝑃𝑄 的解析式为 𝑦=−2𝑥+6 ， 设𝐴(𝑚,−2𝑚+6) ，可求出点 𝐶(2𝑚−3,−𝑚+3) ，将点C坐标代入𝑦=−2𝑥2+2中，可求出m值，即得点C坐标.
25.【答案】 （1）①由 𝐴𝐷=𝐶𝐷 ，得 ∠1=∠2 ． 由 𝐴𝐷//𝐵𝐶 ，得 ∠1=∠3 ．
因为 𝐵𝑂 是 Rt△𝐴𝐵𝐶 斜边上的中线，所以 𝑂𝐵=𝑂𝐶 ．所以 ∠3=∠4 ． 所以 ∠1=∠2=∠3=∠4 ． 所以 △𝐷𝐴𝐶∽△𝑂𝐵𝐶 ．
1
95
1
1
5
1
1
9
1
9
②若 𝐵𝐸⊥𝐶𝐷 ，那么在 Rt△𝐵𝐶𝐸 中，由 ∠2=∠3=∠4 ．可得 ∠2=∠3=∠4=30° ． 作 𝐷𝐻⊥𝐵𝐶 于H．设 𝐴𝐷=𝐶𝐷=2𝑚 ，那么 𝐵𝐻=𝐴𝐷=2𝑚 ． 在 Rt△𝐷𝐶𝐻 中， ∠𝐷𝐶𝐻=60°,𝐷𝐶=2𝑚 ，所以 𝐶𝐻=𝑚 ． 所以 𝐵𝐶=𝐵𝐻+𝐶𝐻=3𝑚 ． 所以 𝐵𝐶=3𝑚=3 ．
（2）①如图5，当点E在 𝐴𝐷 上时，由 𝐴𝐷//𝐵𝐶,𝑂 是 𝐴𝐶 的中点，可得 𝑂𝐵=𝑂𝐸 ， 所以四边形 𝐴𝐵𝐶𝐸 是平行四边形．
又因为 ∠𝐴𝐵𝐶=90° ，所以四边形 𝐴𝐵𝐶𝐸 是矩形， 设 𝐴𝐷=𝐶𝐷=𝑥 ，已知 𝐷𝐸=2 ，所以 𝐴𝐸=𝑥−2 ． 已知 𝑂𝐸=3 ，所以 𝐴𝐶=6 ．
在 Rt△𝐴𝐶𝐸 和 Rt△𝐷𝐶𝐸 中，根据 𝐶𝐸2=𝐶𝐸2 ，列方程 62−(𝑥−2)2=𝑥2−22 ． 解得 𝑥=1+√19 ，或 𝑥=1−√19 （ 舍去负值）．
②如图6，当点E在 𝐶𝐷 上时，设 𝐴𝐷=𝐶𝐷=𝑥 ，已知 𝐷𝐸=2 ，所以 𝐶𝐸=𝑥−2 ． 设 𝑂𝐵=𝑂𝐶=𝑚 ，已知 𝑂𝐸=3 ，那么 𝐸𝐵=𝑚+3 ． 一方面，由 △𝐷𝐴𝐶∽△𝑂𝐵𝐶 ，得 𝑂𝐶=𝐵𝐶 ，所以 𝑚=
𝐷𝐶
𝐴𝐶
𝑥
2𝑂𝐶
𝐴𝐷
2𝑚
2
，所以 𝐵𝐶=2𝑚 ， 𝐵𝐶
𝑂𝐶𝑥
另一方面，由 ∠2=∠4，∠𝐵𝐸𝐶 是公共角，得 △𝐸𝑂𝐶∽△𝐸𝐶𝐵 ． 所以 𝐸𝐶=𝐸𝐵=𝐶𝐵 ，所以 𝑥−2=𝑚+3=𝐶𝐵 ．
等量代换，得 𝑥−2=𝑚+3=2𝑚 ．由 𝑥−2=2𝑚 ，得 𝑚=将 𝑚=
𝑥2−2𝑥6
3
𝑥−2
3
𝑥−2
𝑥
3
𝑥
𝑥2−2𝑥6
𝐸𝑂
𝐸𝐶
𝑂𝐶
3
𝑥−2
𝑂𝐶
．
代入 𝑥−2=𝑚+3 ，整理，得 𝑥2−6𝑥−10=0 ．
解得 𝑥=3+√19 ，或 𝑥=3−√19 （舍去负值）．
【考点】相似三角形的判定与性质，四边形的综合，四边形-动点问题
【解析】【分析】（1）①由等腰三角形的性质得出∠1=∠2，由平行线的性质得出∠1=∠3，利用直角三角形的性质得出∠3=∠4，即得∠1=∠2=∠3=∠4，根据两角分别相等可证△DAC∽△OBC；
② 在 Rt△𝐵𝐶𝐸 中，得出∠2=∠3=∠4=30° ， 作𝐷𝐻⊥𝐵𝐶于H．设𝐴𝐷=𝐶𝐷=2𝑚 ， 那么 𝐵𝐻=𝐴𝐷=2𝑚 ， 从而求出CH=m，继而得出BC=BH+CH=3m，据此即可求出结论；
（2）分两种情况：① 当点E在 𝐴𝐷 上时，证明四边形 𝐴𝐵𝐶𝐸 是矩形，设 𝐴𝐷=𝐶𝐷=𝑥 ， 在 Rt△𝐴𝐶𝐸 和 Rt△𝐷𝐶𝐸 中，根据 𝐶𝐸2=𝐶𝐸2 建立方程，求出x值即可；② 当点E在 𝐶𝐷 上时，设 𝐴𝐷=𝐶𝐷=𝑥 ， 设 𝑂𝐵=𝑂𝐶=𝑚 ， 由△𝐷𝐴𝐶∽△𝑂𝐵𝐶 ， 得 𝑂𝐶=𝐵𝐶 ， 据此可得 𝑚=
𝐸𝑂
𝐸𝐶
𝑂𝐶
3
𝑥−2
𝑂𝐶
𝐷𝐶𝐴𝐶
𝑥
2𝑂𝐶𝐵𝐶
， 证明△
𝐸𝑂𝐶∽△𝐸𝐶𝐵 ， 可得𝐸𝐶=𝐸𝐵=𝐶𝐵 ， 据此可得 𝑥−2=𝑚+3=𝐶𝐵 ， 从而得出方程，求出x值即可.
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