靖西市三中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

靖西市三中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 下列四个命题中的真命题是（ ）

A．经过定点P0x0,y0的直线都可以用方程yy0kxx0表示

B．经过任意两个不同点P1x1,y1、P2x2,y2的直线都可以用方程yy1x2x1xx1y2y1 表示

xy1表示 abD．经过定点A0,b的直线都可以用方程ykxb表示

C．不经过原点的直线都可以用方程2． 函数

的定义域是（ ）

A．[0，+∞） B．[1，+∞） C．（0，+∞） D．（1，+∞）

3． 已知复数z满足z•i=2﹣i，i为虚数单位，则z=（ ） A．﹣1﹣2i B．﹣1+2i 4． 设F1，F2是双曲线于（ ） A．

B．

C．24

D．48

展开式中x﹣的系数为（ ）

3

C．1﹣2i D．1+2i

的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|=4|PF2|，则△PF1F2的面积等

5． 487被7除的余数为a（0≤a＜7），则A．4320 B．﹣4320 殖成（ ） A．512个 7． 如图

C．20

B．256个

D．﹣20

6． 某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂为两个）．经过2个小时，这种细菌由1个可繁

D．64个

C．128个

，三行三列的方阵中有9个数aij（i=1，2，3；j=1，2，3），从中任取三个数，则至

少有两个数位于同行或同列的概率是（ ） A．

B．

C．

D．

8． 在△ABC中，若2cosCsinA=sinB，则△ABC的形状是（ ） A．直角三角形

B．等边三角形

D．等腰三角形

C．等腰直角三角形

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9． △ABC的外接圆圆心为O，半径为2，A．﹣3 B．﹣A．1

B．3

C．

D．3 D．9

++=，且||=||，在方向上的投影为（ ）

10．已知集合A={0，1，2}，则集合B={x﹣y|x∈A，y∈A}中元素的个数是（ ）

C．5

11．全称命题：∀x∈R，x2＞0的否定是（ ） A．∀x∈R，x2≤0

12．已知椭圆C：

B．∃x∈R，x2＞0 +

C．∃x∈R，x2＜0

D．∃x∈R，x2≤0

，过F2的直线l交C于A、B +

=1

=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为

，则C的方程为（ ） +y2=1

C．

+

=1

两点，若△AF1B的周长为4A．

+

=1

B．

D．

二、填空题

13．某城市近10年居民的年收入x与支出y之间的关系大致符合=0.9x+0.2（单位：亿元），预计今年该城市居民年收入为20亿元，则年支出估计是 亿元．

14．已知i是虚数单位，且满足i2=﹣1，a∈R，复数z=（a﹣2i）（1+i）在复平面内对应的点为M，则“a=1”是“点M在第四象限”的 条件（选填“充分而不必要”“必要而不充分”“充要”“既不充分又不必要”）

15．函数y=f（x）的图象在点M（1，f（1））处的切线方程是y=3x﹣2，则f（1）+f′（1）= ．

16．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，asinA=bsinB+（c﹣b）sinC，且bc=4，则△ABC的面积为 ．

17．等比数列{an}的前n项和Sn＝k1＋k2·2n（k1，k2为常数），且a2，a3，a4－2成等差数列，则an＝________． 18．已知（ax+1）5的展开式中x2的系数与

3

的展开式中x的系数相等，则a= ．

三、解答题

19．（本题满分14分）

在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c，已知cosC(cosA3sinA)cosB0． （1）求角B的大小；

（2）若ac2，求b的取值范围．

【命题意图】本题考查三角函数及其变换、正、余弦定理等基础知识，意在考查运算求解能力．

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20．已知（

+）n展开式中的所有二项式系数和为512，

（1）求展开式中的常数项； （2）求展开式中所有项的系数之和．

21．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．再以原点为极点，以x正半轴为

极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系xOy有相同的长度单位．在该极坐标系中圆C的方程为ρ=4sinθ．

（1）求圆C的直角坐标方程；

（2）设圆C与直线l交于点A、B，若点M的坐标为（﹣2，1），求|MA|+|MB|的值．

22．已知数列{an}满足a1=a，an+1=（1）求a2，a3，a4；

（2）猜测数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明．

（n∈N）．

*

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23．如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D、E分别是AC、AB上的点，且DE∥BC，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1D⊥CD，如图

2．

（Ⅰ）求证：平面A1BC⊥平面A1DC；

（Ⅱ）若CD=2，求BD与平面A1BC所成角的正弦值； （Ⅲ）当D点在何处时，A1B的长度最小，并求出最小值．

24．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 选修41：几何证明选讲 如图，A,B,C为点D，过B作

上的三个点，AD是BAC的平分线，交于 的切线交AD的延长线于点E．

（Ⅰ）证明：BD平分EBC； （Ⅱ）证明：AEDCABBE．

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靖西市三中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）

一、选择题

1． 【答案】B 【解析】

考

点：直线方程的形式.

【方法点晴】本题主要考查了直线方程的表示形式，对于直线的点斜式方程只能表示斜率存在的直线；直线的斜截式方程只能表示斜率存在的直线；直线的饿两点式方程不能表示和坐标轴平行的直线；直线的截距式方程不能表示与坐标轴平行和过原点的直线，此类问题的解答中熟记各种直线方程的局限性是解答的关键.111] 2． 【答案】A

xx0

【解析】解：由题意得：2﹣1≥0，即2≥1=2， 因为2＞1，所以指数函数y=2为增函数，则x≥0．

x

所以函数的定义域为[0，+∞） 故选A

【点评】本题为一道基础题，要求学生会根据二次根式的定义及指数函数的增减性求函数的定义域．

3． 【答案】A

【解析】解：由z•i=2﹣i得，故选A

4． 【答案】C

【解析】解：F1（﹣5，0），F2（5，0），|F1F2|=10， ∵3|PF1|=4|PF2|，∴设|PF2|=x，则由双曲线的性质知∴|PF1|=8，|PF2|=6， ∴∠F1PF2=90°，

，解得x=6．

，

，

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∴△PF1F2的面积=故选C．

．

【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用．

5． 【答案】B

解析：解：487=（49﹣1）7=∵487被7除的余数为a（0≤a＜7）， ∴a=6， ∴

展开式的通项为Tr+1=

，

﹣

+…+

﹣1，

令6﹣3r=﹣3，可得r=3， ∴

故选：B．. 6． 【答案】D

=6次，

【解析】解：经过2个小时，总共分裂了故选：D．

展开式中x﹣的系数为

3

=﹣4320，

6

则经过2小时，这种细菌能由1个繁殖到2=64个．

【点评】本题考查数列的应用，考查了等比数列的通项公式，是基础的计算题．

7． 【答案】

D

【解析】

古典概型及其概率计算公式． 【专题】计算题；概率与统计． 结论．

【分析】利用间接法，先求从9个数中任取3个数的取法，再求三个数分别位于三行或三列的情况，即可求得

3

【解答】解：从9个数中任取3个数共有C9=84种取法，三个数分别位于三行或三列的情况有6种；

∴所求的概率为故选D． 简单．

=

【点评】本题考查计数原理和组合数公式的应用，考查概率的计算公式，直接解法较复杂，采用间接解法比较

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8． 【答案】D

【解析】解：∵A+B+C=180°，

∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+sinCcosA=2cosCsinA， ∴sinCcosA﹣sinAcosC=0，即sin（C﹣A）=0， ∴A=C 即为等腰三角形． 故选：D．

【点评】本题考查三角形形状的判断，考查和角的三角函数，比较基础．

9． 【答案】C

【解析】解：由题意， ++=，得到，又||=||=||，△OAB是等边三角形，所以四边形OCAB是边长为2的菱形， 所以

在

方向上的投影为ACcos30°=2×

=

；

故选C．

【点评】本题考查了向量的投影；解得本题的关键是由题意，画出图形，明确四边形OBAC的形状，利用向量解答．

10．【答案】C

【解析】解：∵A={0，1，2}，B={x﹣y|x∈A，y∈A}， ∴当x=0，y分别取0，1，2时，x﹣y的值分别为0，﹣1，﹣2； 当x=1，y分别取0，1，2时，x﹣y的值分别为1，0，﹣1； 当x=2，y分别取0，1，2时，x﹣y的值分别为2，1，0； ∴B={﹣2，﹣1，0，1，2}，

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∴集合B={x﹣y|x∈A，y∈A}中元素的个数是5个． 故选C．

11．【答案】D

2

∃x∈R，x≤0．

2

【解析】解：命题：∀x∈R，x＞0的否定是：

故选D．

【点评】这类问题的常见错误是没有把全称量词改为存在量词，或者对于“＞”的否定用“＜”了．这里就有注意量词的否定形式．如“都是”的否定是“不都是”，而不是“都不是”．特称命题的否定是全称命题，“存在”对应“任 意”．

12．【答案】A

【解析】解：∵△AF1B的周长为4∴4a=4∴a=

， ，

，

， + =1．

，

∵△AF1B的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a，

∵离心率为∴∴b=

，c=1，

=

∴椭圆C的方程为故选：A．

【点评】本题考查椭圆的定义与方程，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．

二、填空题

13．【答案】 18.2

【解析】解：∵某城市近10年居民的年收入x和支出y之间的关系大致是=0.9x+0.2， ∵x=20， 故答案为：18.2．

∴y=0.9×20+0.2=18.2（亿元）．

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【点评】本题考查线性回归方程的应用，考查学生的计算能力，考查利用数学知识解决实际问题的能力，属于 基础题．

14．【答案】 充分不必要

【解析】解：∵复数z=（a﹣2i）（1+i）=a+2+（a﹣2）i， ∴在复平面内对应的点M的坐标是（a+2，a﹣2）， 若点在第四象限则a+2＞0，a﹣2＜0， ∴﹣2＜a＜2，

∴“a=1”是“点M在第四象限”的充分不必要条件， 故答案为：充分不必要．

【点评】本题考查条件问题，考查复数的代数表示法及其几何意义，考查各个象限的点的坐标特点，本题是一个基础题．

15．【答案】 4 ．

【解析】解：由题意得f′（1）=3，且f（1）=3×1﹣2=1 所以f（1）+f′（1）=3+1=4． 故答案为4．

【点评】本题主要考查导数的几何意义，要注意分清f（a）与f′（a）．

16．【答案】 ．

【解析】解：∵asinA=bsinB+（c﹣b）sinC，

222222

∴由正弦定理得a=b+c﹣bc，即：b+c﹣a=bc， 222

∴由余弦定理可得b=a+c﹣2accosB，

∴cosA=∵bc=4， ∴S△ABC=bcsinA=故答案为：

==，A=60°．可得：sinA=，

=．

【点评】本题主要考查了解三角形问题．考查了对正弦定理和余弦定理的灵活运用，考查了三角形面积公式的应用，属于中档题．

17．【答案】

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【解析】当n＝1时，a＝S＝k＋2k，当n≥2时，a＝S－S－＝（k＋k·2n）－（k＋k·2n－1）＝k·2n－1， 1112nnn112122∴k1＋2k2＝k2·20，即k1＋k2＝0，① 又a2，a3，a4－2成等差数列． ∴2a3＝a2＋a4－2， 即8k2＝2k2＋8k2－2.② 由①②联立得k1＝－1，k2＝1， ∴an＝2n－1. 答案：2n－1 18．【答案】 ．

【解析】解：（ax+1）5

的展开式中x2

的项为

=10a2x2，x2的系数为10a2，

与

的展开式中x3

的项为

=5x3，x3的系数为5，

∴10a2

=5，

即a2

=，解得a=

． 故答案为：

．

【点评】本题主要考查二项式定理的应用，利用展开式的通项公式确定项的系数是解决本题的关键．

三、解答题

19．【答案】（1）B3；（2）[1,2).

【

解

析

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】

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20．【答案】

+）n，所有二项式系数和为2n=512，

=C9r2r

﹣r=0，得r=3，

，

【解析】解：（1）对（解得n=9；

设Tr+1为常数项，则： Tr+1=C9r由

33

∴常数项为：C92=672； 99

（2）令x=1，得（1+2）=3．

【点评】本题考查了二项式展开式定理的应用问题，也考查了赋值法求展开式各项系数和的应用问题，是基础 题．

21．【答案】

2

【解析】解：（1）方程ρ=4sinθ的两边同时乘以ρ，得ρ=4ρsinθ， 将极坐标与直角坐标互化公式

代入上式，

22

整理得圆C的直角坐标方程为x+y﹣4y=0．

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（2）由消去t，得直线l的普通方程为y=x+3，

因为点M（﹣2，1）在直线l上，可设l的标准参数方程为代入圆C的方程中，得于是|MA|+|MB|=|t1|+|t2|=即|MA|+|MB|=

．

， ．

，

设A，B对应的参数分别为t1，t2，由韦达定理，得

＞0，t1t2=1＞0，

【点评】1．极坐标方程化直角坐标方程，一般通过两边同时平方，两边同时乘以ρ等方式，构造或凑配ρ，

2

ρcosθ，ρsinθ，再利用互化公式转化．常见互化公式有ρ2=x2+y2，ρcosθ=x，ρsinθ=y，（x≠0）等．

2.参数方程化普通方程，关键是消参，常见消参方式有：代入法，两式相加、减，两式相乘、除，方程两边同时平方等．

3.运用参数方程解题时，应熟练参数方程中各量的含义，即过定点M0（x0，y0），且倾斜角为α的直线的参数方程为直线向上时，t=

22．【答案】

，参数t表示以M0为起点，直线上任意一点M为终点的向量；当

沿直线向下时，t=﹣

．

的数量，即当

沿

【解析】解：（1）由an+1=a3=

=

=

，可得a2=

，

=，

a4=

（2）猜测an=

==．

*

（n∈N）．

下面用数学归纳法证明： ①当n=1时，左边=a1=a，

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右边=

*

②假设当n=k（k∈N）时猜测成立，

=a，猜测成立．

即ak=

则当n=k+1时，ak+1==

．

故当n=k+1时，猜测也成立．

*

由①，②可知，对任意n∈N都有an=

．

=

=

成立．

23．【答案】 【解析】

【分析】（Ⅰ）在图1中，△ABC中，由已知可得：AC⊥DE．在图2中，DE⊥A1D，DE⊥DC，即可证明DE⊥平面A1DC，再利用面面垂直的判定定理即可证明． （Ⅱ）如图建立空间直角坐标系，设平面A1BC的法向量为

，利用

，BE与平

面所成角的正弦值为．

=

（Ⅲ）设CD=x（0＜x＜6），则A1D=6﹣x，利用

（0＜x＜6），即可得出．

【解答】（Ⅰ）证明：在图1中，△ABC中，DE∥BC，AC⊥BC，则AC⊥DE， ∴在图2中，DE⊥A1D，DE⊥DC， 又∵A1D∩DC=D，∴DE⊥平面A1DC， ∵DE∥BC，∴BC⊥平面A1DC，

∵BC⊂平面A1BC，∴平面A1BC⊥平面A1DC．

（Ⅱ）解：如图建立空间直角坐标系：A1（0，0，4）B（3，2，0），C（0，2，0），D（0，0，0）， E（2，0，0）． 则，， 设平面A1BC的法向量为

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则，解得，即

则BE与平面所成角的正弦值为

（Ⅲ）解：设CD=x（0＜x＜6），则A1D=6﹣x，在（2）的坐标系下有：A1（0，0，6﹣x），B（3，x，0）， ∴==（0＜x＜6）， 即当x=3时，A1B长度达到最小值，最小值为

．

24．【答案】

【解析】【解析】（Ⅰ）因为BE是⊙O的切线，所以EBDBAD…………2分 又因为CBDCAD,BADCAD………………4分 所以EBDCBD,即BD平分EBC．………………5分 （Ⅱ）由⑴可知EBDBAD，且BEDBED，

BEBD,……………………7分 AEAB又因为BCDBAEDBEDBC,

BDE∽ABE,所以

所以BCDDBC，BDCD．……………………8分

BEBDCD，……………………9分 AEABAB所以AEDCABBE．……………………10分

所以

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