椭圆综合问题

椭圆综合问题

x2y2例1.已知椭圆221(ab0)的两个焦点为F1、F2，椭圆上一点

abM(263,)满足MF1MF20. (1）求椭圆的方程； 33（2）若直线ykx2与椭圆恒有两上不同的交点A、B,且OAOB1（O

是坐标原点)，求k的范围。

x2y2例2.已知椭圆E：221(ab0)的右焦点F，过原点和x轴不重合的

ab直线与椭圆E 相交于A，B两点，且AFBF22,AB最小值为2．

（Ⅰ)求椭圆E的方程;

22 （Ⅱ）若圆:xy2的切线l与椭圆E相交于P,Q两点，当P,Q两点横坐3标不相等时，问：OP与OQ是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由．

1

练习：

x2y231。已知椭圆221（a〉b>0）的离心率e=，连接椭圆的四个顶点得到2ab的菱形的面积为4。 （Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设直线l与椭圆相交于不同的两点A、B，已知点A的坐标为（—a，0)。

|=（i）若|AB42，求直线l的倾斜角； 5（0，y0）（ii）若点Q在线段AB的垂直平分线上,且QAQB=4。求y0的值.

2x2y2)在椭圆C2.已知椭圆C：221(ab0)的右焦点为F(1,0),且点(1,2ab上。（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）已知动直线l过点F，且与椭圆C交于A,B7两点。试问x轴上是否存在定点Q，使得QAQB恒成立?若存在，求出点

16Q的坐标;若不存在，请说明理由.

2

x2y2例3。 设F1，F2分别为椭圆C:221(ab0)的左、右焦点，过F2的直

ab线l与椭圆C 相交于A,B两点,直线l的倾斜角为60，F1到直线l的距离为

23.

（Ⅰ）求椭圆C的焦距；

（Ⅱ)如果AF22F2B，求椭圆C的方程.

例4.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(2,0),B(2,0),E为动点，且直线

1（Ⅱ）设过点EA与直线EB的斜率之积为。(Ⅰ)求动点E的轨迹C的方程；

2F(1,0)的直线l与曲线C相交于不同的两点M，N.若点P在y轴上,且

PMPN，求点P的纵坐标的取值范围.

3

练习：1.已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上,离心率为的点到焦点距离的最大值为3． （Ⅰ)求椭圆C的标准方程；

1，椭圆C上2（Ⅱ)若过点P(0,m)的直线l与椭圆C交于不同的两点A,B，且AP3PB，求

实数m的取值范围．

61x2y22,),离心率为2。已知椭圆221(ab0)经过点P(，动点

222abM(2，t)(t0)。

(Ⅰ）求椭圆的标准方程；

(Ⅱ）求以OM为直径且被直线3x4y50截得的弦长为2的圆的方程; （Ⅲ）设F是椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N,

证明线段ON的长为定值,并求出这个定值。

4

6x2y2例5。如图，已知椭圆M：221(ab0),离心率e，椭圆与x正半

3ab轴交于点A，直线l过椭圆中心O ，且与椭圆交于B、C两点，B (1，1）。 （Ⅰ) 求椭圆M的方程；（Ⅱ）如果椭圆上有两点P、Q,使PBQ的角平分线垂直于

AO，问是否存在实数(0)使得PQAC成立？

x2y231例6。已知椭圆C:221 (ab0)经过点M(1,),其离心率为.

ab22（Ⅰ）求椭圆C的方程；

1（Ⅱ)设直线l:ykxm(|k|)与椭圆C相交于A、B两点，以线段OA,OB为

2邻边作平行四边形OAPB，其中顶点P在椭圆C上,O为坐标原点。求OP的取

值范围.

5

3x2y2练习：1.已知椭圆C：221(ab0)的离心率为，以原点为圆心，椭圆

2ab的短半轴长为半径的圆与直线xy20相切． ⑴求椭圆C的方程；

⑵设P(4,0)，M、N是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连结PN交椭圆C于另一点E，求直线PN的斜率的取值范围； ⑶在⑵的条件下,证明直线ME与x轴相交于定点．

2。已知椭圆C的对称中心为原点O，焦点在x轴上，离心率为该椭圆上。

（I）求椭圆C的方程;

（II）过椭圆C的左焦点F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若AOB的面积为

62,求圆心在原点O且与直线l相切的圆的方程. 713，且点(1,)在22 6