2016年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标2)试卷+答案

2016年全国统一高考数学试卷（新课标Ⅱ）（文科）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出四个选项，只有一个选项符合

题目要求.

2

1．（5分）已知集合A={1，2，3}，B={x|x＜9}，则A∩B=（ ） A．{﹣2，﹣1，0，1，2，3} B．{﹣2，﹣1，0，1，2} C．{1，2，3} D．{1，2} 2．（5分）设复数z满足z+i=3﹣i，则=（ ） A．﹣1+2i B．1﹣2i C．3+2i D．3﹣2i 3．（5分）函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则（ ）

A．y=2sin（2x﹣

） B．y=2sin（2x﹣

） C．y=2sin（x+

） D．y=2sin（x+

）

4．（5分）体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为（ ） A．12π B．

π C．8π

2

D．4π

5．（5分）设F为抛物线C：y=4x的焦点，曲线y=（k＞0）与C交于点P，PF⊥x轴，则k=（ ） A．

B．1

2

2

C． D．2

6．（5分）圆x+y﹣2x﹣8y+13=0的圆心到直线ax+y﹣1=0的距离为1，则a=（ ） A．﹣ B．﹣ C．

D．2

7．（5分）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）

A．20π B．24π C．28π D．32π 8．（5分）某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为（ ）

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A．

9．（5分）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a为2，2，5，则输出的s=（ ）

B． C． D．

A．7 B．12 C．17 D．34

lgx

10．（5分）下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=10的定义域和值域相同的是（ ） A．y=x B．y=lgx

C．y=2

x

D．y=

11．（5分）函数f（x）=cos2x+6cos（﹣x）的最大值为（ ）

A．4 B．5 C．6 D．7

2

12．（5分）已知函数f（x）（x∈R）满足f（x）=f（2﹣x），若函数y=|x﹣2x﹣3|与 y=f（x） 图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（xm，ym），则A．0 B．m C．2m D．4m

二、填空题：本题共4小题，每小题5分.

13．（5分）已知向量=（m，4），=（3，﹣2），且∥，则m= ．

xi=（ ）

14．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的最小值为 ．

15．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA=，cosC=则b= ．

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，a=1，

16．（5分）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是 ．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（12分）等差数列{an}中，a3+a4=4，a5+a7=6． （Ⅰ）求{an}的通项公式；

（Ⅱ）设bn=[an]，求数列{bn}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0，[2.6]=2． 18．（12分）某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下： ≥5 1 2 3 4 上年度出险0 次数 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 保费 随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表： ≥5 1 2 3 4 出险次数 0 60 50 30 30 20 10 频数 （I）记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”．求P（A）的估计值； （Ⅱ）记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”．求P（B）的估计值；

（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费估计值． 19．（12分）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E、F分别在AD，CD上，AE=CF，EF交BD于点H，将△DEF沿EF折到△D′EF的位置． （Ⅰ）证明：AC⊥HD′；

（Ⅱ）若AB=5，AC=6，AE=，OD′=2

，求五棱锥D′﹣ABCFE体积．

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20．（12分）已知函数f（x）=（x+1）lnx﹣a（x﹣1）． （I）当a=4时，求曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程； （II）若当x∈（1，+∞）时，f（x）＞0，求a的取值范围．

21．（12分）已知A是椭圆E：

+

=1的左顶点，斜率为k（k＞0）的直线交E与A，

M两点，点N在E上，MA⊥NA． （I）当|AM|=|AN|时，求△AMN的面积

（II） 当2|AM|=|AN|时，证明：＜k＜2．

请考生在第22～24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲] 22．（10分）如图，在正方形ABCD中，E，G分别在边DA，DC上（不与端点重合），且DE=DG，过D点作DF⊥CE，垂足为F． （Ⅰ）证明：B，C，G，F四点共圆；

（Ⅱ）若AB=1，E为DA的中点，求四边形BCGF的面积．

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[选项4-4：坐标系与参数方程]

23．在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x+6）+y=25．

（Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程； （Ⅱ）直线l的参数方程是求l的斜率．

[选修4-5：不等式选讲]

24．已知函数f（x）=|x﹣|+|x+|，M为不等式f（x）＜2的解集． （Ⅰ）求M；

（Ⅱ）证明：当a，b∈M时，|a+b|＜|1+ab|．

（t为参数），l与C交与A，B两点，|AB|=

，

2

2

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2016年全国统一高考数学试卷（新课标Ⅱ）（文科）

参与试题解析

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求. 1．【分析】先求出集合A和B，由此利用交集的定义能求出A∩B的值． 【解答】解：∵集合A={1，2，3}，B={x|x＜9}={x|﹣3＜x＜3}， ∴A∩B={1，2}．故选：D． 2．【分析】根据已知求出复数z，结合共轭复数的定义，可得答案． 【解答】解：∵复数z满足z+i=3﹣i， ∴z=3﹣2i，

∴=3+2i，故选：C 3．【分析】根据已知中的函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象，求出满足条件的A，ω，φ值，可得答案．

【解答】解：由图可得：函数的最大值为2，最小值为﹣2，故A=2， =

，故T=π，ω=2，

2

故y=2sin（2x+φ）， 将（

，2）代入可得：2sin（满足要求，

），故选：A．

+φ）=2，

则φ=﹣

故y=2sin（2x﹣

4．【分析】先通过正方体的体积，求出正方体的棱长，然后求出球的半径，即可求出球的表面积．

【解答】解：正方体体积为8，可知其边长为2， 正方体的体对角线为=2， 即为球的直径，所以半径为， 所以球的表面积为

=12π．故选：A．

5．【分析】根据已知，结合抛物线的性质，求出P点坐标，再由反比例函数的性质，可得k值．

2

【解答】解：抛物线C：y=4x的焦点F为（1，0）， 曲线y=（k＞0）与C交于点P在第一象限，

由PF⊥x轴得：P点横坐标为1， 代入C得：P点纵坐标为2， 故k=2，故选：D 6．【分析】求出圆心坐标，代入点到直线距离方程，解得答案．

22

【解答】解：圆x+y﹣2x﹣8y+13=0的圆心坐标为：（1，4）， 故圆心到直线ax+y﹣1=0的距离d=

=1，

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解得：a=，故选：A．

7．【分析】空间几何体是一个组合体，上面是一个圆锥，圆锥的底面直径是4，圆锥的高是2，在轴截面中圆锥的母线长使用勾股定理做出的，写出表面积，下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是4，圆柱的高是4，做出圆柱的表面积，注意不包括重合的平面． 【解答】解：由三视图知，空间几何体是一个组合体， 上面是一个圆锥，圆锥的底面直径是4，圆锥的高是2， ∴在轴截面中圆锥的母线长是=4， ∴圆锥的侧面积是π×2×4=8π，

下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是4，圆柱的高是4，

2

∴圆柱表现出来的表面积是π×2+2π×2×4=20π ∴空间组合体的表面积是28π，故选：C． 8．【分析】求出一名行人前25秒来到该路口遇到红灯，即可求出至少需要等待15秒才出现绿灯的概率．

【解答】解：∵红灯持续时间为40秒，至少需要等待15秒才出现绿灯， ∴一名行人前25秒来到该路口遇到红灯， ∴至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为

=．故选：B．

9．【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案． 【解答】解：∵输入的x=2，n=2，

当输入的a为2时，S=2，k=1，不满足退出循环的条件； 当再次输入的a为2时，S=6，k=2，不满足退出循环的条件； 当输入的a为5时，S=17，k=3，满足退出循环的条件； 故输出的S值为17，故选：C 10．【分析】分别求出各个函数的定义域和值域，比较后可得答案．

lgx

【解答】解：函数y=10的定义域和值域均为（0，+∞）， 函数y=x的定义域和值域均为R，不满足要求； 函数y=lgx的定义域为（0，+∞），值域为R，不满足要求；

x

函数y=2的定义域为R，值域为R（0，+∞），不满足要求； 函数y=

的定义域和值域均为（0，+∞），满足要求；故选：D

2

11．【分析】运用二倍角的余弦公式和诱导公式，可得y=1﹣2sinx+6sinx，令t=sinx（﹣1≤t≤1），

2

可得函数y=﹣2t+6t+1，配方，结合二次函数的最值的求法，以及正弦函数的值域即可得到所求最大值．

【解答】解：函数f（x）=cos2x+6cos（=1﹣2sinx+6sinx， 令t=sinx（﹣1≤t≤1），

2

可得函数y=﹣2t+6t+1 =﹣2（t﹣）+

2

2

﹣x）

，

由∉[﹣1，1]，可得函数在[﹣1，1]递增，

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即有t=1即x=2kπ+，k∈Z时，函数取得最大值5．故选：B．

12．【分析】根据已知中函数函数f（x）（x∈R）满足f（x）=f（2﹣x），分析函数的对称性，

2

可得函数y=|x﹣2x﹣3|与 y=f（x） 图象的交点关于直线x=1对称，进而得到答案． 【解答】解：∵函数f（x）（x∈R）满足f（x）=f（2﹣x）， 故函数f（x）的图象关于直线x=1对称，

函数y=|x﹣2x﹣3|的图象也关于直线x=1对称，

2

故函数y=|x﹣2x﹣3|与 y=f（x） 图象的交点也关于直线x=1对称， 故

xi=×2=m，故选：B

2

二、填空题：本题共4小题，每小题5分. 13．【分析】直接利用向量共线的充要条件列出方程求解即可． 【解答】解：向量=（m，4），=（3，﹣2），且∥，

可得12=﹣2m，解得m=﹣6．故答案为：﹣6． 14．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得答案．

【解答】解：由约束条件作出可行域如图，

联立，解得A（3，4）．

化目标函数z=x﹣2y为y=x﹣z，

由图可知，当直线y=x﹣z过A（3，4）时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为：3﹣2×4=﹣5．

故答案为：﹣5．

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15．【分析】运用同角的平方关系可得sinA，sinC，再由诱导公式和两角和的正弦公式，可得sinB，运用正弦定理可得b=【解答】解：由cosA=，cosC=sinA=sinC=

==

=， =

，

+×

=

，

，代入计算即可得到所求值． ，可得

sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=×由正弦定理可得b=

==．

故答案为：．

16．【分析】可先根据丙的说法推出丙的卡片上写着1和2，或1和3，分别讨论这两种情况，根据甲和乙的说法可分别推出甲和乙卡片上的数字，这样便可判断出甲卡片上的数字是多少．

【解答】解：根据丙的说法知，丙的卡片上写着1和2，或1和3；

（1）若丙的卡片上写着1和2，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3； ∴根据甲的说法知，甲的卡片上写着1和3；

（2）若丙的卡片上写着1和3，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3； 又甲说，“我与乙的卡片上相同的数字不是2”；

∴甲的卡片上写的数字不是1和2，这与已知矛盾； ∴甲的卡片上的数字是1和3．故答案为：1和3．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．【分析】（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，根据已知构造关于首项和公差方程组，解得答案；

（Ⅱ）根据bn=[an]，列出数列{bn}的前10项，相加可得答案． 【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d， ∵a3+a4=4，a5+a7=6． ∴

，

解得：，

∴an=

；

第9页（共14页）

（Ⅱ）∵bn=[an]， ∴b1=b2=b3=1， b4=b5=2， b6=b7=b8=3， b9=b10=4．

故数列{bn}的前10项和S10=3×1+2×2+3×3+2×4=24． 18．【分析】（I）求出A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”的人数．总事件人数，即可求P（A）的估计值；

（Ⅱ）求出B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”的人数．然后求P（B）的估计值；

（Ⅲ）利用人数与保费乘积的和除以总续保人数，可得本年度的平均保费估计值． 【解答】解：（I）记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”．事件A的人数为：60+50=110，该险种的200名续保， P（A）的估计值为：

=

；

（Ⅱ）记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”．事件B的人数为：30+30=60，P（B）的估计值为：（Ⅲ）续保人本年度的平均保费估计值为=．

=1.1925a．

=

；

19．【分析】（1）根据直线平行的性质以及线面垂直的判定定理先证明EF⊥平面DD′H即可． （2）根据条件求出底面五边形的面积，结合平行线段的性质证明OD′是五棱锥D′﹣ABCFE的高，即可得到结论． 【解答】（Ⅰ）证明：∵菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E、F分别在AD，CD上，AE=CF，

∴EF∥AC，且EF⊥BD， 又D′H⊥EF， D′H∩DH=H，

∴EF⊥平面DD′H， ∵HD′⊂平面D′HD， ∴EF⊥HD′， ∵EF∥AC， ∴AC⊥HD′；

（Ⅱ）若AB=5，AC=6，则AO=3，B0=OD=4， ∵AE=，AD=AB=5， ∴DE=5﹣=∵EF∥AC， ∴

=

=

=

=，

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，

∴EH=，EF=2EH=，DH=3，OH=4﹣3=1， ∵HD′=DH=3，OD′=2，

222

∴满足HD′=OD′+OH，

则△OHD′为直角三角形，且OD′⊥OH， 即OD′⊥底面ABCD，

即OD′是五棱锥D′﹣ABCFE的高． 底面五边形的面积S=

+

×2

==

+．

=12+

=

，

则五棱锥D′﹣ABCFE体积V=S•OD′=×

20．【分析】（I）当a=4时，求出曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线的斜率，即可求出切线方程；

（II）先求出f′（x）＞f′（1）=2﹣a，再结合条件，分类讨论，即可求a的取值范围． 【解答】解：（I）当a=4时，f（x）=（x+1）lnx﹣4（x﹣1）． f（1）=0，即点为（1，0）， 函数的导数f′（x）=lnx+（x+1）•﹣4，

则f′（1）=ln1+2﹣4=2﹣4=﹣2， 即函数的切线斜率k=f′（1）=﹣2，

则曲线y=f（x）在（1，0）处的切线方程为y=﹣2（x﹣1）=﹣2x+2； （II）∵f（x）=（x+1）lnx﹣a（x﹣1）， ∴f′（x）=1++lnx﹣a，

∴f″（x）=，

∵x＞1，∴f″（x）＞0，

∴f′（x）在（1，+∞）上单调递增， ∴f′（x）＞f′（1）=2﹣a． ①a≤2，f′（x）＞f′（1）≥0，

∴f（x）在（1，+∞）上单调递增， ∴f（x）＞f（1）=0，满足题意；

②a＞2，存在x0∈（1，+∞），f′（x0）=0，函数f（x）在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，

由f（1）=0，可得存在x0∈（1，+∞），f（x0）＜0，不合题意．综上所述，a≤2． 21．【分析】（I）依题意知椭圆E的左顶点A（﹣2，0），由|AM|=|AN|，且MA⊥NA，可知

22

△AMN为等腰直角三角形，设M（a﹣2，a），利用点M在E上，可得3（a﹣2）+4a=12，解得：a=

，从而可求△AMN的面积；

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（II）设直线lAM的方程为：y=k（x+2），直线lAN的方程为：y=﹣（x+2），联立消去y，得（3+4k）x+16kx+16k﹣12=0，利用韦达定理及弦长公式可分别求得

2

2

2

2

|AM|=

|xM﹣（﹣2）|=

，|AN|==，

结合2|AM|=|AN|，可得=，整理后，构造函数f（k）=4k﹣6k+3k﹣8，利用

32

导数法可判断其单调性，再结合零点存在定理即可证得结论成立． 【解答】解：（I）由椭圆E的方程：

+

=1知，其左顶点A（﹣2，0），

∵|AM|=|AN|，且MA⊥NA，∴△AMN为等腰直角三角形，

∴MN⊥x轴，设M的纵坐标为a，则M（a﹣2，a），

∵点M在E上，∴3（a﹣2）+4a=12，整理得：7a﹣12a=0，∴a=∴S△AMN=a×2a=a=

2

2

2

2

或a=0（舍），

；

（II）设直线lAM的方程为：y=k（x+2），直线lAN的方程为：y=﹣（x+2），由

消去y得：（3+4k）x+16kx+16k﹣12=0，∴xM﹣2=﹣

2222

，∴xM=2﹣

=，

∴|AM|=∵k＞0，

|xM﹣（﹣2）|=

•=

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∴|AN|==，

又∵2|AM|=|AN|，∴

3

2

=，

整理得：4k﹣6k+3k﹣8=0，

32

设f（k）=4k﹣6k+3k﹣8，

22

则f′（k）=12k﹣12k+3=3（2k﹣1）≥0，

32

∴f（k）=4k﹣6k+3k﹣8为（0，+∞）的增函数， 又f（）=4×3﹣6×3+3﹣8=15﹣26=﹣＜0，f（2）=4×8﹣6×4+3×2﹣8=6＞0，

∴＜k＜2．

请考生在第22～24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲] 22．【分析】（Ⅰ）证明B，C，G，F四点共圆可证明四边形BCGF对角互补，由已知条件可知∠BCD=90°，因此问题可转化为证明∠GFB=90°；

（Ⅱ）在Rt△DFC中，GF=CD=GC，因此可得△GFB≌△GCB，则S四边形BCGF=2S△BCG，据此解答． 【解答】（Ⅰ）证明：∵DF⊥CE， ∴Rt△DFC∽Rt△EDC， ∴

=

，

∵DE=DG，CD=BC， ∴

=

，

又∵∠GDF=∠DEF=∠BCF， ∴△GDF∽△BCF， ∴∠CFB=∠DFG，

∴∠GFB=∠GFC+∠CFB=∠GFC+∠DFG=∠DFC=90°， ∴∠GFB+∠GCB=180°， ∴B，C，G，F四点共圆．

（Ⅱ）∵E为AD中点，AB=1，∴DG=CG=DE=，

∴在Rt△DFC中，GF=CD=GC，连接GB，Rt△BCG≌Rt△BFG， ∴S四边形BCGF=2S△BCG=2××1×=． [选项4-4：坐标系与参数方程]

23．【分析】（Ⅰ）把圆C的标准方程化为一般方程，由此利用ρ=x+y，x=ρcosα，y=ρsinα，能求出圆C的极坐标方程．

第13页（共14页）

2

2

2

（Ⅱ）由直线l的参数方程求出直线l的一般方程，再求出圆心到直线距离，由此能求出直线l的斜率．

22

【解答】解：（Ⅰ）∵圆C的方程为（x+6）+y=25， 22

∴x+y+12x+11=0， 222

∵ρ=x+y，x=ρcosα，y=ρsinα，

2

∴C的极坐标方程为ρ+12ρcosα+11=0． （Ⅱ）∵直线l的参数方程是∴直线l的一般方程y=tanα•x， ∵l与C交与A，B两点，|AB|=∴圆心C（﹣6，0）到直线距离d=

2

（t为参数），

，圆C的圆心C（﹣6，0），半径r=5，

=

，

解得tanα=，∴tanα=±∴l的斜率k=±

．

=±．

[选修4-5：不等式选讲] 24．【分析】（I）分当x＜

时，当

≤x≤时，当x＞时三种情况，分别求解不等式，

综合可得答案；

222222

（Ⅱ）当a，b∈M时，（a﹣1）（b﹣1）＞0，即ab+1＞a+b，配方后，可证得结论． 【解答】解：（I）当x＜解得：x＞﹣1， ∴﹣1＜x＜当

，

时，不等式f（x）＜2可化为：﹣x﹣x﹣＜2，

≤x≤时，不等式f（x）＜2可化为：﹣x+x+=1＜2，

此时不等式恒成立， ∴

≤x≤，

当x＞时，不等式f（x）＜2可化为：﹣+x+x+＜2， 解得：x＜1， ∴＜x＜1，

综上可得：M=（﹣1，1）； 证明：（Ⅱ）当a，b∈M时， 22（a﹣1）（b﹣1）＞0，

2222即ab+1＞a+b，

2222

即ab+1+2ab＞a+b+2ab，

22

即（ab+1）＞（a+b）， 即|a+b|＜|1+ab|．

第14页（共14页）