六安市第二中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题

一、选择题

1． （A．120 2． 函数

A．最小正周期为2π的奇函数 C．最小正周期为2π的偶函数

+

2n*

）（n∈N）展开式中只有第6项系数最大，则其常数项为（ ）

B．210 C．252 D．45 是（ ）

B．最小正周期为π的奇函数 D．最小正周期为π的偶函数

3． 某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是，则正视图中的x的值是（ ）

A．2 B． C． D．3

1x2,x1,31x的零点个数为（ ） 4． 若函数f(x)则函数yf(x)32lnx,x1,A．1 B．2 C．3 D．4 5． 已知全集为R，且集合A{x|log2(x1)2}，B{x|A．(1,1) B．(1,1] C．[1,2) D．[1,2]

【命题意图】本题考查集合的交集、补集运算，同时也考查了简单对数不等式、分式不等式的解法及数形结合的思想方法，属于容易题. 6． 已知命题p：存在x0＞0，使2A．对任意x＞0，都有2x≥1 C．存在x0＞0，使2

＜1，则￢p是（ ）

＜1

D．（﹣5，3，4）

B．对任意x≤0，都有2x＜1

x20}，则A(CRB)等于（ ） x1≥1 D．存在x0≤0，使2

7． 空间直角坐标系中，点A（﹣2，1，3）关于点B（1，﹣1，2）的对称点C的坐标为（ ） A．（4，1，1） B．（﹣1，0，5）

C．（4，﹣3，1）

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8． 在“唱响内江”选拔赛中，甲、乙两位歌手的5次得分情况如茎叶图所示，记甲、乙两人的平均得分分别

，则下列判断正确的是（ ）

、

A．＜，乙比甲成绩稳定 B．＜，甲比乙成绩稳定

C．D．＞，甲比乙成绩稳定 ＞，乙比甲成绩稳定

9． 两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为（ ） A．akm

B．

akm

C．2akm

10．“pq为真”是“p为假”的（ ）条件

A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要

mn2

11．n是正整数，设m，多项式（1﹣2x）+（1﹣5x）中含x一次项的系数为﹣16，则含x项的系数是（ ） A．﹣13 B．6 C．79 D．37

akm

D．

12．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A．1616321632 B．16 C．8 D．8 3333

【命题意图】本题考查三视图、圆柱与棱锥的体积计算，意在考查识图能力、转化能力、空间想象能力．

二、填空题

13．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成的角的余弦值是 ．

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14．若全集

，集合

2

2

，则 。 15．若实数x，y满足x+y﹣2x+4y=0，则x﹣2y的最大值为 ． 16．在ABC中，C90，BC2，M为BC的中点，sinBAM17．下列命题：

①集合a,b,c,d的子集个数有16个； ②定义在R上的奇函数f(x)必满足f(0)0；

③f(x)(2x1)2(2x1)既不是奇函数又不是偶函数； ④AR，BR，f:x⑤f(x)21，则AC的长为_________. 31，从集合A到集合B的对应关系f是映射； |x|1在定义域上是减函数． x其中真命题的序号是 ．

三、解答题

18．等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=10，a2为整数，且Sn≤S4。

（1）求{an}的通项公式；

（2）设bn=

，求数列{bn}的前n项和Tn。

19．（本小题满分12分）已知两点F1(1,0)及F2(1,0)，点P在以F1、F2为焦点的椭圆C上，且PF1、F1F2、 PF2构成等差数列．

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（I）求椭圆C的方程；

（II）设经过F2的直线m与曲线C交于P、Q两点，若PQ=F1P+FQ，求直线m的方程． 1

20．对于任意的n∈N*，记集合En={1，2，3，…，n}，Pn=

．若集合A满足下

222列条件：①A⊆Pn；②∀x1，x2∈A，且x1≠x2，不存在k∈N*，使x1+x2=k2，则称A具有性质Ω． 如当n=2时，E2={1，2}，P2=所以P2具有性质Ω．

（Ⅰ）写出集合P3，P5中的元素个数，并判断P3是否具有性质Ω． （Ⅱ）证明：不存在A，B具有性质Ω，且A∩B=∅，使E15=A∪B． （Ⅲ）若存在A，B具有性质Ω，且A∩B=∅，使Pn=A∪B，求n的最大值．

21．如图，已知五面体ABCDE，其中△ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，且DC⊥平面ABC． （Ⅰ）证明：AD⊥BC

（Ⅱ）若AB=4，BC=2，且二面角A﹣BD﹣C所成角θ的正切值是2，试求该几何体ABCDE的体积．

．∀x1，x2∈P2，且x1≠x2，不存在k∈N*，使x1+x2=k2，

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*22．数列{an}中，a18，a42，且满足an22an1an0(nN).

（1）求数列{an}的通项公式； （2）设Sn|a1||a2|

23．已知函数f（x）=x2﹣（2a+1）x+alnx，a∈R （1）当a=1，求f（x）的单调区间；（4分）

（2）a＞1时，求f（x）在区间[1，e]上的最小值；（5分） （3）g（x）=（1﹣a）x，若

使得f（x0）≥g（x0）成立，求a的范围.

|an|，求Sn.

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六安市第二中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题（参）

一、选择题

1． 【答案】 B

【解析】

【专题】二项式定理．

【分析】由已知得到展开式的通项，得到第6项系数，根据二项展开式的系数性质得到n，可求常数项． 【解答】解：由已知（

+

2n*

）（n∈N）展开式中只有第6项系数为

最大，

所以展开式有11项，所以2n=10，即n=5， 又展开式的通项为令5﹣

=0解得k=6，

=210；

）=﹣sin2x．

=π．

=

，

所以展开式的常数项为故选：B 2． 【答案】B 【解析】解：因为==cos（2x+

【点评】本题考查了二项展开式的系数以及求特征项；解得本题的关键是求出n，利用通项求特征项．

所以函数的周期为：故选B．

因为f（﹣x）=﹣sin（﹣2x）=sin2x=﹣f（x），所以函数是奇函数．

【点评】本题考查二倍角公式的应用，诱导公式的应用，三角函数的基本性质，考查计算能力．

3． 【答案】C

长为x的侧棱垂直于底面． 则体积为

=，解得x=．

解析：由三视图可知：原几何体是一个四棱锥，其中底面是一个上、下、高分别为1、2、2的直角梯形，一条

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故选：C． 4． 【答案】D 【

解

析

】

考点：函数的零点．

【易错点睛】函数零点个数的判断方法：（1）直接求零点：令f(x)0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．（2）零点存在性定理法：要求函数在[a,b]上是连续的曲线，且f(a)f(b)0.还必须结合函数的图象和性质（如单调性）才能确定函数有多少个零点．（3）图象法：先把所求函数分解为两个简单函数，再画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.

5． 【答案】C

6． 【答案】A

【解析】解：∵命题p：存在x0＞0，使2故选：A

7． 【答案】C

【解析】解：设C（x，y，z），

∵点A（﹣2，1，3）关于点B（1，﹣1，2）的对称点C，

＜1为特称命题，

x

∴￢p为全称命题，即对任意x＞0，都有2≥1．

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∴，解得x=4，y=﹣3，z=1，

∴C（4，﹣3，1）． 故选：C．

8． 【答案】A

【解析】解：由茎叶图可知

=（75+86+88+88+93）=故选：A

【点评】本题主要考查茎叶图的应用，根据平均数和数据的稳定性是解决本题的关键．

9． 【答案】D 【解析】解：根据题意，

△ABC中，∠ACB=180°﹣20°﹣40°=120°， ∵AC=BC=akm，

，

akm，

=（77+76+88+90+94）==86，则

＜

，

，

乙的成绩主要集中在88附近，乙比甲成绩稳定，

∴由余弦定理，得cos120°=解之得AB=故选：D．

akm，

即灯塔A与灯塔B的距离为

【点评】本题给出实际应用问题，求海洋上灯塔A与灯塔B的距离．着重考查了三角形内角和定理和运用余弦定理解三角形等知识，属于基础题．

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10．【答案】B 【解析】

试题分析：因为p假真时，pq真，此时p为真，所以，“pq 真”不能得“p为假”，而“p为假”时p为真，必有“pq 真”，故选B. 考点：1、充分条件与必要条件；2、真值表的应用. 11．【答案】 D

【解析】

（﹣2）+

（﹣5）=﹣16，

二项式系数的性质． 【专题】二项式定理．

【分析】由含x一次项的系数为﹣16利用二项展开式的通项公式求得2m+5n=16 ①．，再根据m、n为正整

2

数，可得m=3、n=2，从而求得含x项的系数．

mn

【解答】解：由于多项式（1﹣2x）+（1﹣5x）中含x一次项的系数为

可得2m+5n=16 ①．

再根据m、n为正整数，可得m=3、n=2， 故含x项的系数是

2

2

（﹣2）+

2

（﹣5）=37，

故选：D． 12．【答案】D

【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题． 【解析】由三视图知几何体为一个底面半径为2高为4的半圆柱中挖去一个以轴截面为底面高为2的四棱锥，因此该几何体的体积为V11322244428，故选D． 233二、填空题

13．【答案】0 【解析】

【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面

直线A1E与GF所成的角的余弦值．

【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系， ∵AA1=AB=2，AD=1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点， ∴A1（1，0，2），E（0，0，1），G（0，2，1），F（1，1，0），

=（﹣1，0，﹣1），

=﹣1+0+1=0，

∴A1E⊥GF，

∴异面直线A1E与GF所成的角的余弦值为0．

=（1，﹣1，﹣1），

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故答案为：0．

14．【答案】{|0＜＜1｝ 【解析】∵15．【答案】10

【解析】

【分析】先配方为圆的标准方程再画出图形，设z=x﹣2y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=x﹣2y过图形上的点A的坐标，即可求解．

2222

【解答】解：方程x+y﹣2x+4y=0可化为（x﹣1）+（y+2）=5， 即圆心为（1，﹣2），半径为的圆，（如图）

，∴

{|0＜＜1｝。

设z=x﹣2y，将z看做斜率为的直线z=x﹣2y在y轴上的截距， 经平移直线知：当直线z=x﹣2y经过点A（2，﹣4）时，z最大， 最大值为：10． 故答案为：10．

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16．【答案】2 【解析】

考点：1、正弦定理及勾股定理；2诱导公式及直角三角形的性质.

【方法点睛】本题主要考查正弦定理及勾股定理、诱导公式及直角三角形的性质，属于难题，高考三角函数的考查主要以三角恒等变形，三角函数的图象和性质，利用正弦定理、余弦定理解三角形为主，难度中等，因此只要掌握基本的解题方法与技巧即可， 对于三角函数与解三角形相结合的题目，要注意通过正余弦定理以及面积公式实现边角互化，求出相关的边和角的大小，有时也要考虑特殊三角形的特殊性质（如正三角形，直角三角形等）. 17．【答案】①② 【解析】

试题分析：子集的个数是2，故①正确.根据奇函数的定义知②正确.对于③fx4x1为偶函数，故错误.

n2对于④x0没有对应，故不是映射.对于⑤减区间要分成两段，故错误. 考点：子集，函数的奇偶性与单调性．

【思路点晴】集合子集的个数由集合的元素个数来决定，一个个元素的集合，它的子集的个数是2个；对于

n奇函数来说，如果在x0处有定义，那么一定有f00，偶函数没有这个性质；函数的奇偶性判断主要

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根据定义fxfx,fxfx，注意判断定义域是否关于原点对称.映射必须集合A中任意一个元素在集合B中都有唯一确定的数和它对应；函数的定义域和单调区间要区分清楚，不要随意写并集.1

三、解答题

18．【答案】

【解析】（1）由a1=10，a2为整数，且Sn≤S4得 a4≥0，a5≤0，即10+3d≥0，10+4d≤0，解得﹣∴d=﹣3，

∴{an}的通项公式为an=13﹣3n。 （2）∵bn==

，

≤d≤﹣，

∴Tn=b1+b2+…+bn=（﹣+﹣+…+﹣）=（﹣）

=

19．【答案】

。

【解析】【命题意图】本题考查椭圆标准方程和定义、等差数列、直线和椭圆的位置关系等基础知识，意在考查转化与化归的数学思想的运用和综合分析问题、解决问题的能力．

（II）①若m为直线x1，代入

xy3331得y，即P(1 , )，Q(1 , ) 43222第 13 页，共 18 页

22

2522，PQ?F1P2②若直线m的斜率为k，直线m的方程为y=k(x-1)

直接计算知PQ=9，|F1P|2|F1Q|22，x1不符合题意 ； FQ12x2y21(34k2)x28k2x(4k212)0由4得 3yk(x1)8k24k212设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，则x1x2，x1x2

34k234k2222由PQ=F1P+FQ得，F0 11P?FQ1即(x11)(x21)y1y20，(x11)(x21)k(x11)k(x21)0

4k2128k221)(1k)0，即7k290 代入得(1k)(2234k34k3737(x1) 解得k，直线m的方程为y772(1k2)x1x2(1k2)(x1x2)(1k2)0

20．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）∵对于任意的n∈N*，记集合En={1，2，3，…，n}，Pn=∴集合P3，P5中的元素个数分别为9，23，

∵集合A满足下列条件：①A⊆Pn；②∀x1，x2∈A，且x1≠x2，不存在k∈N*，使x1+x2=k2，则称A具有性质Ω，

∴P3不具有性质Ω．…..

证明：（Ⅱ）假设存在A，B具有性质Ω，且A∩B=∅，使E15=A∪B．其中E15={1，2，3，…，15}． 因为1∈E15，所以1∈A∪B，

不妨设1∈A．因为1+3=22，所以3∉A，3∈B．

同理6∈A，10∈B，15∈A．因为1+15=42，这与A具有性质Ω矛盾． 所以假设不成立，即不存在A，B具有性质Ω，且A∩B=∅，使E15=A∪B．…..

解：（Ⅲ）因为当n≥15时，E15⊆Pn，由（Ⅱ）知，不存在A，B具有性质Ω，且A∩B=∅，使Pn=A∪B． 若n=14，当b=1时，

，

．

取A1={1，2，4，6，9，11，13}，B1={3，5，7，8，10，12，14}， 则A1，B1具有性质Ω，且A1∩B1=∅，使E14=A1∪B1． 当b=4时，集合

中除整数外，其余的数组成集合为，

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令，，

．

则A2，B2具有性质Ω，且A2∩B2=∅，使当b=9时，集

中除整数外，其余的数组成集合

，

令

则A3，B3具有性质Ω，且A3∩B3=∅，使

．

集合

它与P14中的任何其他数之和都不是整数，

因此，令A=A1∪A2∪A3∪C，B=B1∪B2∪B3，则A∩B=∅，且P14=A∪B． 综上，所求n的最大值为14．…..

中的数均为无理数，

，

．

【点评】本题考查集合性质的应用，考查实数值最大值的求法，综合性强，难度大，对数学思维要求高，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．

21．【答案】

【解析】（Ⅰ）证明：∵AB是圆O的直径， ∴AC⊥BC， 又∵DC⊥平面ABC ∴DC⊥BC， 又AC∩CD=C， ∴BC⊥平面ACD， 又AD⊂平面ACD， ∴AD⊥BC．

（Ⅱ）解：设CD=a，以CB，CA，CD所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示． 则C（0，0，0），B（2，0，0），由（Ⅰ）可得，AC⊥平面BCD， ∴平面BCD的一个法向量是由条件得，

=

=

，

，

=（﹣2，0，a）．

设=（x，y，z）为平面ABD的一个法向量，

，D（0，0，a）．

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∴即，

，z=， ．

不妨令x=1，则y=∴=

又二面角A﹣BD﹣C所成角θ的正切值是2， ∴∴

．

=cosθ=

，

∴==，解得a=2．

∴VABCDE=VE﹣ADC+VE﹣ABC ====8．

∴该几何体ABCDE的体积是8．

+

+

【点评】本题考查了向量相互垂直与数量积的关系证明线面垂直、利用法向量的夹角求出二面角的方法、三棱锥的体积计算公式，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

29nn(n5)22．【答案】（1）an102n；（2）Sn2．

n9n40(n5)【解析】

试题分析：（1）由an22an1an0，所以{an}是等差数列且a18，a42，即可求解数列{an}的通

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项公式；（2）由（1）令an0，得n5，当n5时，an0；当n5时，an0；当n5时，an0，即可分类讨论求解数列Sn．

当n5时，Sn|a1||a2|29nn(n5)∴Sn2.1

n9n40(n5)|an|a1a2an9nn

2

考点：等差数列的通项公式；数列的求和．

23．【答案】解：（1）当a=1，f（x）=x2﹣3x+lnx，定义域（0，+∞）， ∴

…（2分）

，解得x=1或x=，x∈

（，1），

函数是减函数．…（4分） （2）∴当1＜a＜e时，

，∴

，

，（1，+∞），f′（x）＞0，f（x）是增函数，x∈

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∴f（x）min=f（a）=a（lna﹣a﹣1）

当a≥e时，f（x）在[1，a）减函数，（a，+∞）函数是增函数， ∴综上

（3）由题意不等式f（x）≥g（x）在区间即x2﹣2x+a（lnx﹣x）≥0在∵当

时，lnx≤0＜x，

上有解，

…（9分） 上有解

当x∈（1，e]时，lnx≤1＜x，∴lnx﹣x＜0， ∴令∵

，∴x+2＞2≥2lnx∴在区间

上有解．

…（10分）

时，h′（x）＜0，h（x）是减函数，

x∈（1，e]，h（x）是增函数， ∴∴

时，

…（14分）

， ，∴

∴a的取值范围为

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