平行四边形与直角三角形的综合
【例1】如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE.
(1)求证：四边形ABCD是菱形； (2)若AB＝5 ，BD＝2，求OE的长．
针对性训练
1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，O，D分别是边AC，AB的中点，过点C作CE∥AB交DO的延长线于点E，连接AE.
(1)求证：四边形AECD是菱形；
3
(2)若四边形AECD的面积为24，tan ∠BAC＝4 ，求BC的长．
特殊四边形与三角形全等的综合
【例2】如图，在菱形ABCD中，作BE⊥AD，CF⊥AB，分别交AD，AB的延长线于点E，F.
(1)求证：AE＝BF；
(2)若点E恰好是AD的中点，AB＝2，求BD的值． 针对性训练
2．(2020·青岛中考)如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别在BD和DB的延长线上，且DE＝BF，连接AE，CF.
(1)求证：△ADE≌△CBF；
(2)连接AF，CE.当BD平分∠ABC时，四边形AFCE是什么特殊四边形？请说明理由．
四边形与三角形相似、解直角三角形的综合
【例3】(2020·安徽中考)如图1，已知四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，AE＝AD.EC与BD相交于点G，与AD相交于点F，AF＝AB.
(1)求证：BD⊥EC； (2)若AB＝1，求AE的长；
(3)如图2，连接AG，求证：EG－DG＝2 AG.
针对性训练
3．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，点D在BC上，以AC为对角线的所有▱ADCE中，DE最小的值是（ ）
A.2 B．3 C．4 D．5
4．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC，∠BAD＝90°，AC交BD于点E，∠ABD＝30°，AD＝3 ，求线段AC和DE的长．
三角形与特殊四边形的综合
【例4】如图1，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶点C落到点E处，BE交AD于点F.
(1)求证：△BDF是等腰三角形；
(2)如图2，过点D作DG∥BE，交BC于点G，连接FG交BD于点O. ①判断四边形BFDG的形状，并说明理由； ②若AB＝6，AD＝8，求FG的长．
针对性训练
5．已知：如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点E，点G为AD的中点，连接CG，CG的延长线交
BA的延长线于点F，连接FD.
(1)求证：AB＝AF；
(2)若AG＝AB，∠BCD＝120°，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论．
6．如图，已知正方形ABCD，点E在BC上，点F在CD延长线上，BE＝DF.
(1)求证：AE＝AF；
(2)若BD与EF交于点M，连接AM，试判断AM与EF的数量与位置关系，并说明理由．
专题六
平行四边形与直角三角形的综合
【例1】如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE.
(1)求证：四边形ABCD是菱形； (2)若AB＝5 ，BD＝2，求OE的长．
【答案】(1)证明：∵AB∥CD，∴∠CAB＝∠ACD. ∵AC平分∠BAD，∴∠CAB＝∠CAD. ∴∠CAD＝∠ACD.∴AD＝CD. 又∵AD＝AB，∴AB＝CD. ∴四边形ABCD是平行四边形． 又∵AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形； (2)解：∵四边形ABCD是菱形，
11
∴AC⊥BD，OA＝OC＝2 AC，OB＝OD＝2 BD＝1. 在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，
∴OA＝AB2－OB2 ＝2. ∵CE⊥AB，∴∠AEC＝90°. 在Rt△AEC中，O为AC中点， 1
∴OE＝2 AC＝OA＝2. 针对性训练
1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，O，D分别是边AC，AB的中点，过点C作CE∥AB交DO的延长线于点E，连接AE.
(1)求证：四边形AECD是菱形；
3
(2)若四边形AECD的面积为24，tan ∠BAC＝4 ，求BC的长．
特殊四边形与三角形全等的综合
【例2】如图，在菱形ABCD中，作BE⊥AD，CF⊥AB，分别交AD，AB的延长线于点E，F.
(1)求证：AE＝BF；
(2)若点E恰好是AD的中点，AB＝2，求BD的值． 针对性训练
2．(2020·青岛中考)如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别在BD和DB的延长线上，且DE＝BF，连接AE，CF.
(1)求证：△ADE≌△CBF；
(2)连接AF，CE.当BD平分∠ABC时，四边形AFCE是什么特殊四边形？请
说明理由．
(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝CB，AD∥CB. ∴∠ADB＝∠CBD. ∴∠ADE＝∠CBF. 又DE＝BF，
∴△ADE≌△CBF(SAS)；(2)解：四边形AFCE是菱形． 理由：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD，AD∥BC. ∴∠ADB＝∠CBD，∴∠ABD＝∠ADB. ∴AB＝AD.∴四边形ABCD是菱形． ∴AC⊥BD，即AC⊥EF. ∵DE＝BF，∴OE＝OF.
又∵OA＝OC，∴四边形AFCE是平行四边形． ∵AC⊥EF，∴四边形AFCE是菱形．
四边形与三角形相似、解直角三角形的综合
【例3】(2020·安徽中考)如图1，已知四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，AE＝AD.EC与BD相交于点G，与AD相交于点F，AF＝AB.
(1)求证：BD⊥EC； (2)若AB＝1，求AE的长；
(3)如图2，连接AG，求证：EG－DG＝2 AG.
【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，∴∠EAF＝∠DAB＝90°.
又∵AE＝AD，AF＝AB，
∴△AEF≌△ADB(SAS).∴∠AEF＝∠ADB.
∴∠GEB＋∠GBE＝∠ADB＋∠ABD＝90°，即∠EGB＝90°.∴BD⊥EC； (2)解：由矩形的性质知，AE∥CD， ∴∠AEF＝∠DCF，∠EAF＝∠CDF. ∴△AEF∽△DCF.
AEAF
∴DC ＝DF ，即AE·DF＝AF·DC. 设AE＝AD＝a(a＞0)，则有a·(a－1)＝1. 化简得a2－a－1＝0.
1＋51－51＋5
解得a＝2 或2 (舍去).∴AE的长为2 ；
(3)证明：图2中，在线段EG上取点P，使得EP＝DG.连接AP. ∵AE＝AD，∠AEP＝∠ADG，EP＝DG， ∴△AEP≌△ADG(SAS). ∴AP＝AG，∠EAP＝∠DAG.
∴∠PAG＝∠PAD＋∠DAG＝∠PAD＋∠EAP＝∠DAE＝90°，△PAG为等腰直角三角形．
∴EG－DG＝EG－EP＝PG＝2 AG. 针对性训练
3．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，点D在BC上，以AC为对角线的所有▱ADCE中，DE最小的值是B
A.2 B．3 C．4 D．5
4．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC，∠BAD＝90°，BD于点E，∠ABD＝30°，AD＝3 ，求线段AC和DE的长．
解：在Rt△ABD中，∵∠BAD＝90°，∠ABD＝30°，AD＝3 ，∴tan ∠ABD＝AD3 ＝3AB ，即3AB .
∴AB＝3.∵AD∥BC，∴∠BAD＋∠ABC＝180°. ∴∠ABC＝90°.
在Rt△ABC中，∵AB＝BC＝3， ∴AC＝AB2＋BC2 ＝32 . ∵AD∥BC，∴△ADE∽△CBE. ∴DE ＝AD＝3BECB 3 . 设DE＝3 x，则BE＝3x.
∴BD＝DE＋BE＝(3 ＋3)x.∴DE3
BD ＝3＋3 .
∵在Rt△ABD中，∠ABD＝30°， ∴BD＝2AD＝23 .∴DE3
23 ＝3＋3
.
AC交 ∴DE＝3－3 .
三角形与特殊四边形的综合
【例4】如图1，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶点C落到点E处，BE交AD于点F.
(1)求证：△BDF是等腰三角形；
(2)如图2，过点D作DG∥BE，交BC于点G，连接FG交BD于点O. ①判断四边形BFDG的形状，并说明理由； ②若AB＝6，AD＝8，求FG的长．
【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC.∴∠ADB＝∠CBD. 由折叠的性质可知，∠EBD＝∠CBD. ∴∠ADB＝∠EBD.∴BF＝FD. ∴△BDF是等腰三角形； (2)解：①四边形BFDG是菱形． 理由：∵FD∥BG，DG∥BE， ∴四边形BFDG是平行四边形． 又∵BF＝DF，∴四边形BFDG是菱形； ②设AF＝x，则FD＝8－x，∴BF＝FD＝8－x. 在Rt△ABF中，
∵AB2＋AF2＝BF2，即62＋x2＝(8－x)2. 7725
解得x＝4 .∴FD＝8－4 ＝4 .
在Rt△ABD中，∵AB＝6，AD＝8，∴BD＝10.
∵四边形BFDG是菱形，
11
∴OD＝2 BD＝5，FO＝2 FG，FG⊥BD. 在Rt△ODF中，∵FO＋DO＝FD，即FO＋515
FG＝2FO＝2 .
针对性训练
5．已知：如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点E，点G为AD的中点，连接CG，CG的延长线交
BA的延长线于点F，连接FD.
2
2
2
2
2
25＝4
2
15
，∴FO＝4 .∴
(1)求证：AB＝AF；
(2)若AG＝AB，∠BCD＝120°，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论．
(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD.∴∠AFG＝∠DCG. ∵点G为AD的中点，∴GA＝GD. ∵∠AGF＝∠CGD，
∴△AGF≌△DGC(AAS).∴AF＝CD. ∴AB＝AF；
(2)解：四边形ACDF是矩形． 证明：∵AF＝CD，AF∥CD， ∴四边形ACDF是平行四边形． ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD＝∠BCD＝120°.∴∠FAG＝60°. ∵AB＝AG＝AF，∴△AFG是等边三角形． ∴AG＝GF.
∵四边形ACDF是平行四边形， ∴FG＝CG，AG＝DG.∴AD＝CF. ∴四边形ACDF是矩形．
6．如图，已知正方形ABCD，点E在BC上，点F在CD延长线上，BE＝DF.
(1)求证：AE＝AF；
(2)若BD与EF交于点M，连接AM，试判断AM与EF的数量与位置关系，并说明理由．
(1)证明：∵四边形ABCD为正方形， ∴∠ABE＝∠ADC＝∠ADF＝90°，AB＝AD. 又BE＝DF，∴△ABE≌△ADF(SAS). ∴AE＝AF；
1
(2)解：AM⊥EF，AM＝2 EF. 理由：由(1)得，△ABE≌△ADF. ∴∠EAB＝∠FAD，AE＝AF.
∴∠FAE＝∠FAD＋∠EAD＝∠EAB＋∠EAD＝90°. ∴△FAE是等腰直角三角形． 过点E作EN∥CD，交BD于点N. ∴∠MEN＝∠MFD，∠MNE＝∠MDF. ∵四边形ABCD为正方形，
∴∠NBE＝45°.∴△NBE是等腰直角三角形． ∴EN＝BE＝DF.
∴△MNE≌△MDF(ASA).∴EM＝FM. ∵△FAE是等腰直角三角形， 1
∴AM⊥EF，AM＝2 EF.
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