有理函数的积分

有理函数是指由两个多项式函数的商所表示的函数，一般形式为

其中

都是常数，

为非负整数。

的积分，先来考虑两种特殊类型：

我们只需考虑真分式

（Ⅰ） 积出来的，

这种类型是容易

（Ⅱ） 换元（令

可化为

）,

作适当

上式右端第一个不定积分可用凑微分法积出来为：

对第二个不定积分，记

用分部积分法可导出递推公式：

整理得

重复使用递推公式，最终归结为计算 而

可积出来为

这样就可完成对不定积分（Ⅱ）的计算。

对任一个有理函数而言，均可写成一个多项式与一个有理真分式的和，而多项式的积分

问题已经解决，下面主要考虑有理真分式 题。

为叙述简便，不妨设（Ⅰ）、（Ⅱ））

．其方法是将

化成许多简单分式（即类型(不妨设

)的积分问

的代数和然后逐项积分。由于类型（Ⅰ）、（Ⅱ）总是可“积出来”的，从面有理函数总是可以

“积出来”。下面简述分解有理真分式（ 第一步 按代数学的结论，将分母

）的步骤：

分解成实系数的一次因式与二

次因式的乘幂之积。

其中

均为自然数。

的部分分式的待定形式：

第二步 根据因式分解结构，写出 对于每个形如

的因式，所对应的部分分式为

对于每个形如

的因式，所对应的部分分式为

把各个因式所对应的部分分式加起来，就完成了对

的部分分式分解。

第三步确定待定系数：通分后比较分子上的多次式的系数，得待定系数的线性方程组，由此

解得待定系数的值。

例8.13 求

2.三角函数有理式和积分 由

及常数经过有限次四则运算所得的函数称为关于

的有理式（或

三角函数有理式）。用

我们总可通

表示对于这种函数的不定积分

过代换 ，化为以 为变量的有理函数的积分。理由是

，，

，

又 ，故从而

上面的讨论说明：三角函数有理式也总是可以“积出来”的，但对具体问题而言，用上述方

法往往计算量太大，因此，有时要考虑用其它简便方法。 （1） 如果

是

则设

即可。

的奇函数时，即

例如 求（1）

（2） 如果

是

则设

即可。

；（2）

的奇函数时，即

．

例如 求

（3） 如果

是关于

．

与

的偶函数时，即

则设即可。

例如 求（1）（4） 请研究被积函数为同为偶数与

；（2）（

．

为自然数）时的情况。可以考

虑

至少有一个为奇函数时这两种情况。

3.某些无理根式的不定积分

，就可以化成有

理函数的不定积分。

型不定积分（），对此只需令

至此，我们看到有理函数或三角函数有理式总是可以“积出来”，亦即

其不定积分(或原函

数)总是可以用初等函数表示出来。但要注意的是，并非每个初等函数的原函数还是初等函数。

如下面的一些看似简单的不定积分

虽然存在，但却无法用初等函数表示，这已被刘维尔(Liouville)于1835年证明。