二十、 三角形中的三角函数问题

知识梳理

教学重点：理解并掌握正弦定理、余弦定理、面 积公式．

教学难点：能正确运用正弦定理、余弦定理及关 系式ABC，解决三角形中的计 算和证明问题．

教学目标：要掌握正弦定理、余弦定理及其变形， 结合三角公式，能解有关三角形中的问题．要熟练掌握实际问题向解斜三角形类型的转化，能在应用题中抽象或构造出三角形，标出已知量、未知量，确定解三角形的方法；提高运用所学知识解决实际问题的能力

利用正弦定理，可以解决以下两类问题： （1）已知两角和任一边，求其他两边和一角； （2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的 对角；有三种情况：

bsinAab时有两解；bsinAa或ab时有一解；absinA时无解．

利用余弦定理，可以解决以下两类问题：

（1）已知三边，求三角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角． 知识点： 1．正弦定理

abc2R（R为ABC外接圆的sinAsinBsinC半径）

正弦定理的三种变形：

①a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC

abc②sinA，sinB，sinC

2R2R2R③a:b:csinA:sinB:sinC 2．余弦定理

a2b2c22bccosA，b2a2c22accosB，

222bcac2a2b22abcosC或cosA，

2bcacbbaccosB，cosC

2ac2ab222222推论：在△ABC中，若a2b2c2，则A为锐角，反之亦然；若abc，则△ABC为钝角

222三角形；若a2b2c2，则△ABC为直角三角形． 3．三角形中的常见结论 （1）ABC

（2）在三角形中大边对大角，反之亦然 （3）三角形中任意两边之和大于第三边，任意

两边之差小于第三边 （4）三角形内的诱导公式

sin(AB)sinC；cos(AB)cosC；

ABCtan(AB)tanC；sincos；

22ABCABCcossin；tancot

2222（5）在△ABC中，tanAtanBtanCtanAtanBtanC （6）△ABC中，A、B、C成等差数列的充要条 件是B3．

（7）△ABC为正三角形的充要条件是A、B、C

成等差数列且a、b、c成等比数列． （8）△ABC的面积公式有

1111①Saha;②SabsinCbcsinAacsinB

22221abc;③Sr(abc)；④Sprp(pa)(pb)(pc) 24Rabc(其中p，r为内切圆半径)

24．解斜三角形的四种类型 （1）已知一边和两角（如a,B,C） （2）两边和夹角（如a,b,C） （3）三边

（4）两边和其中一边的对角

题型讲解

一、利用三角形内角和定理及三角形公式解题 例1、

sinA(sinBcosB)sinC0，（1）已知在△ABC中，

sinBcos2C0，求角A,B,C的大小.

（2）已知向量m(sinB,1cosB)，且与向量n(2,0)所成的角为，其中A,B,C是ABC三内

3角；①求角B的大小；②求sinAsinC的取值范围.

练习：（1）在ABC中，已知2sinAcosBsinC，那么ABC一定是

A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．正三角形

AB（2）在ABC中，已知tansinC，给出

2以下四个论断：

①tanAcotB1 ②0sinAsinB2 ③sinAcosB1 ④cosAcosBsinC 其中正确的是

A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ （3）如果ABC三内角A,B,C成等差数列，那么cos2Acos2C的最小值为

13322A． B． C． D．

224222222二、利用正、余弦定理解题

1．在ABC中，下列等式总能成立的是 A．acosCccosA B．bsinCcsinA

C．absinCbcsinB D．asinCcsinA 2．已知a,b,c是ABC三边的长，若满足等式 (abc)(abc)ab，则角C的大小为 A．60 B．90 C．120 D．150 3．在ABC中，B30，AB23，AC2， 则ABC的面积为 ．

4．在ABC中，已知b6，c10，B30，则 解此三角形的结果有

A．无解 B．一解 C．两解 D．一解或两解 5．在ABC中，若(abc)(abc)3ab且 sinC2sinAcosB，则ABC是 ． 例2、

（1）如图，在ABC中，AC2，BC1，

3cosC．①求AB的值；②求sin(2AC)的值.

4A

BCb2，B45，（2）在ABC中，已知a3，

求A,C及边c．

（3）已知O的半径为R，，在它的内接三角形

ABC中，有2R(sin2Asin2C)(2ab)sinB， 成立，求ABC面积S的最大值．

1．边角互化是解三角形问题常用的手段．一般有两种思路：一是边化角；二是角化边． 2．三角形中的三角变换，应灵活运用正、余弦定理．在求值时，要利用三角函数的有关性质．

absinB（4）在ABC中，，且 asinBsinAcos(AB)cosC1cos2C，试确定ABC的形状．

（5）在ABC中，内角A,B,C的对边长分别为a、

b、c，已知ac2b，且sinAcosC3cosAsinC, 求b.

在ABC中，内角A,B,C的对边长分别为a、b、c.已知a2c22b，且sinB4cosAsinC，求b.

22（6）设ABC的内角A,B,C的对边长分别为a、

32b、c，cos(AC)cosB,bac，求B.

2

练习：（1）在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若a1，b7，c3，则B ． （2）在ABC中，若sinA:sinB:sinC5:7:8，则C的大小是___.

（3）在ABC中，A60，b1，ABC面积

abc为3，则的值为

sinAsinBsinC28326339 C．A． B． D．27 3813（4）在ABC中，三边a,b,c与面积S的关系是

1222S(abc)，则角C应为

4A．30 B．45 C．60 D．90

abc（5）在ABC中，若，则 cosAcosBcosCABC是

A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 （6）在ABC中，若A120，AB5，BC7，则ABC的面积S_____.

三、正、余弦定理在实际问题中的应用 例3、

（1）已知圆内接四边形ABCD的边长分别是 AB2,BC6,CDDA4，求四边形ABCD的面积． A

BD

C（2）如图，D是直角ABC的斜边BC上一点，

ABAD，记CAD，ABC； （1）证明：sincos20； （2）若AC3DC，求的值. A

CD（3）如图，货轮在海上以35海里/小时的速度沿

B

方位角(从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为152的方向航行．为了确定船位，在B点处观测到灯塔A的方位角为122．半小时后，货轮到达C点处，观测到灯塔A的方位角为32．求此时货轮与灯塔之间的距离． 北

122B152

（4）如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援（角度精确到1）？

20 BA

10  30C

__

练习：（1）如图，海中有一小岛，周围3.8海里内有暗礁．一军舰从A地出发由西向东航行，望见小岛B在北偏东75°，航行8海里到达C处，望见小岛B在北偏东60°．若此舰不改变航行的方向继续前进，问此舰有没有触礁的危险？

（2）半圆O的直径为2，A为直径延长线上一点，OA2，B为半圆上任意一点，以AB为边向半圆外作正三角形ABC，问B在什么位置，四边形OACB的面积最大？并求出最大面积．

（3）如图，已知ABC是边长为1的正三角形，

M、N分别是边AB、AC上的点,线段MN经过

2). ABC的中心G.设MGA(33① 试将AGM、AGN的面积(分别记为S1与S2)表示为的函数;

11② 求y22的最大值与最小值.

S1S2