泰勒公式例题

泰勒公式及其应用 等价无穷小在求函数极限

中的应用及推广

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泰勒公式及其应用

１ 引言

泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容,它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数,这种化繁为简的功能,使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆.作者通过阅读大量的参考文献,从中搜集了大量的习题,通过认真演算,其中少数难度较大的题目之证明来自相应的参考文献,并对这些应用方法做了系统的归纳和总结.由于本文的主要内容是介绍应用,所以,本文会以大量的例题进行讲解说明. ２ 预备知识

定义2.1[1] 若函数f在x0存在n阶导数,则有

f'(x0)f''(x0)f(x)f(x0)(xx0)(xx0)21!2!f(n)(x0)(xx0)no((xx0)n)n!

（1）

这里o((xx0)n)为佩亚诺型余项,称(1)f在点x0的泰勒公式.

f'(0)f''(0)2f(n)(0)n当x0=0时（,1）式变成f(x)f(0)xxxo(xn),

1!2!n!称此式为(带有佩亚诺余项的)麦克劳林公式.

定义2.2[2] 若函数 f在x0某邻域内为存在直至 n1阶的连续导数,则

f''(x0)f(n)(x0)2f(x)f(x0)f(x0)(xx0)(xx0)...(xx0)nRn(x) ,

2!n!'f(n1)()(xx0)n1,其中在x与x0（2）这里Rn(x)为拉格朗日余项Rn(x)(n1)!之间,称（2）为f在x0的泰勒公式.

f''(0)2f(n)(0)nx...xRn(x) 当x0=0时（,2）式变成f(x)f(0)f(0)x2!n!'称此式为(带有拉格朗日余项的)麦克劳林公式.

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常见函数的展开式：

x2xnexe1xxn1.

2!n!(n1)!x2n1x3x5nxsinxx(1)o(x2n2). 3!5!(2n1)!x2x4x6cosx12!4!6!x2n(1)o(x2n).

(2n)!nn1x2x3nxln(1x)x(1)o(xn1). 23n111xx2xno(xn) 1x(1x)m1mxm(m1)2x. 2!定理2.1[3](介值定理) 设函数 f在闭区间 [a,b]上连续,且 f(a)f(b),若0为介于 f(a)与f(b)之间的任何实数,则至少存在一点x0(a,b),使得

f(x0)0.

3 泰勒公式的应用 3.1 利用泰勒公式求极限

为了简化极限运算,有时可用某项的泰勒展开式来代替该项,使得原来函数的极限转化为类似多项式有理式的极限,就能简捷地求出.

cosxex0x4x22例3.1 求极限lim.

2x0分析：此为型极限,若用罗比达法求解，则很麻烦,这时可将cosx和e2分

0别用泰勒展开式代替,则可简化此比式.

xx2x44解 由cosx1o(x),e22!4!2x22()x22o(x4)得 122--精品

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cosxex22(1112)x4o(x4)x4O(x4), 4!22!12于是

x22limxcosxex0x414xO(x4)1lim124. x0x12x-1-x-sinxe2例3.2极限lim .

x→0sinx-xcosx0分析：此为型极限,若用罗比达法求解，则很麻烦,这时可将cosx和sinx,

0别用泰勒展开式代替,则可简化此比式.

233ex分

xxx33解： 由e-1-x-sinx=1+x+x+x+o(x)-1-x-(x-x+o(x))

22626=x+x6334123+o(x)=23x36+o(x),

33sinx-xcosx=x-x+o(x)-x(1-x+o(x))

62=于是

x33+o(x)

3x3x+o(-1-x-sinxx)1e62lim=3=

x→0sinx-xcosxx+o(x3)23x3例3.3利用泰勒展开式再求极限 解：

，

。

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【注解】

现在，我们可以彻底地说清楚下述解法的错误之处 因为

，从而

当时，，应为

3.2 利用泰勒公式证明不等式

当所要证明的不等式是含有多项式和初等函数的混合物,不妨作一个辅助函数并用泰勒公式代替,往往使证明方便简捷.

1例3.2 当x0时,证明sinxxx3.

61证明 取f(x)sinxxx3,x00,则

6f(0)0,f'(0)0,f''(0)0,f'''(x)1cosx,f'''(0)0.

带入泰勒公式,其中n=3,得

f(x)0001cosx3x，其中01. 3!故

1当x0时,sinxxx3.

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3.3 利用泰勒公式判断级数的敛散性

当级数的通项表达式是由不同类型函数式构成的繁难形式时,往往利用泰勒公式将级数通项简化成统一形式,以便利用判敛准则. 3.3 利用泰勒公式判断广义积分的敛散性

+∞例3 判断广义积分 ∫的收敛性。5（x+1+x-1-2x)dxx1+ 解： x+1+x-1-2x=（11+1--2), xx11利用泰勒公式将1+,1-展开：

xx1111(-1)112211112(2-1)111+=1+++o(),1-=1-++o(), 2222x2x2!xxx2x2!xx1111(-1)1221112(2-1)11x+1+x-1-2x=x{1+++o()+1-++o()-2}2x2!x2x22x2!x2x2

=-14x32+o(1因此lim3),x2|x+1+x-1-2x|=1

x→+∞1|-3|4x2+∞由于∫514x32+∞收敛，所以∫的收敛 5（x+1+x-1-2x)dx例3.3 讨论级数(n11n1ln)的敛散性.

nn分析：直接根据通项去判断该级数是正向级数还是非正向级数比较困难,因

n111ln(1),若将其泰勒展开为的而也就无法恰当选择判敛方法,注意到lnnnn1幂的形式,开二次方后恰与相呼应,会使判敛容易进行.

n解 因为

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lnn111111ln(1)234nnn2n3n4n1, n所以

ln所以

11, n1nun故该级数是正向级数. 又因为

1n1ln0

nnlnn11111111111123o(3)23(3)3, nn2n3nnnn4nnn2n22n2所以

un1n11111ln(3)3.

nnnn2n22n2因为n112n32收敛,所以由正向级数比较判别法知原级数收敛.

3.4 利用泰勒公式证明根的唯一存在性

例3.4 设f(x)在[a,)上二阶可导,且f(a)0,f'(a)0,对

x(a,),f''0, 证明： f(x)0在(a,)内存在唯一实根. 分析：这里f(x)是抽象函数,直接讨论f(x)0的根有困难,由题设f(x)在[a,)上二阶可导且f(a)0,f'(a)0,可考虑将f(x)在a点展开一阶泰勒公式,然后设法应用戒指定理证明.

证明 因为f''(x)0,所以f'(x)单调减少,又f'(a)0,因此x>a时,f'(x)f'(a)0,故f(x)在(a,)上严格单调减少.在a点展开一阶泰勒公式有

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f'()f(x)f(a)f(a)(xa)(xa)2(ax)

2'由题设f'(a)0,f'()0,于是有lim,从而必存在ba,使得f(b)0,又因

x为f(a)0,在[a,b]上应用连续函数的介值定理,存在x0(a,b),使f(x0)0,由f(x)的严格单调性知x0唯一,因此方程f(x)0在(a,)内存在唯一实根. 3.5 利用泰勒公式判断函数的极值

例3.5[4] (极值的第二充分条件)设f在x0的某邻域U(x0;)内一阶可导,在xx0处二阶可导,且f'(x0)0,f''(x0)0.

(i)若f''(x0)0,则f在x0取得极大值. (ii) 若f''(x0)0,则f在x0取得极小值. 证明 由条件，可得f在x0处的二阶泰勒公式

f'(x0)f''(x0)f(x)f(x0)(xx0)(xx0)2o((xx0)2).

1!2!'由于f(x0)0,因此

f''(x0)f(x)f(x0)[o(1)](xx0)2.(*)

211又因f''(x0)0,故存在正数',当xU(x0;')时,f''(x0)与f''(x0)o(1)22同号.所以,当f''(x0)0时,(*)式取负值,从而对任意xU(x0;')有

f(x)f(x0)0,

即f在x0取得极大值.同样对f''(x0)0,可得f在x0取得极小值.

3.6 利用泰勒公式求初等函数的幂级数展开式

利用基本初等函数的幂级数展开式,通过加减乘等运算进而可以求得一些较复杂的初等函数的幂级数展开式.

1例3.6 求的幂级数展开式.

1xx2解 利用泰勒公式

11x231xx1x(1x)(1x3x6x9)1xx3x4x6x7x9x10)

2333334363739310(xxxxxxx22222223222(n1)n[sinx]33n0--精品

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3.7 利用泰勒公式进行近似计算

利用泰勒公式可以得到函数的近似计算式和一些数值的近似计算,利用f(x)麦克劳林展开得到函数的近似计算式为

f''(0)2f(x)f(0)f(0)xx2!其误差是余项Rn(x).

'fn(0)nx,

n!例3.7 计算Ln1.2的值,使误差不超过0.0001

解 先写出f(x)=Ln(1+x)带拉格朗日型余项的麦克劳林展开式：

nx2x3n1xLn(1x)x(1)Rn(x), 23n(1)nxn1其中Rn(x)（在0与x之间）.

(n1)(1)n1令x0.2,要使

(0.2)n1|Rn(x)|(0.2)n10.0001(00.2) n1(n1)(1)则取n5即可.

因此

ln1.20.20.020.002670.000400.000060.1823其误差|R5|0.0001 当要求的算式不能得出它的准确值时,即只能求出其近似值,这时泰勒公式是解决这种问题的最好方法.

例3.8 求exdx的近似值,精确到105.

012解 因为exdx中的被积函数是不可积的（即不能用初级函数表达）,现用

012泰勒公式的方法求x10exdx的近似值.

2x22在e的展开式中以x代替 x得e逐项积分,得

x41x2!2x2n(1)n!n

2n1xx4n0edx01dx0xdx02!dx(1)0n！dx111111(1)n

32!5n！2n111111111310422161329936075600上式右端为一个收敛的交错级数,由其余项Rn(x)的估计式知 1x21121|R7|所以10.00001575600

111111x2edx10.746836031042216132993601

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3.8 利用泰勒公式求高阶导数在某些点的数值

如果f(x)泰勒公式已知,其通项中的加项(xx0)n的系数正是可反过来求高阶导数数值,而不必再依次求导.

例3.9 求函数f(x)xex在x=1处的高阶导数f解 设x=u+1,则

eu在u=0的泰勒公式为

u98u99u100e1uo(u100),

98!99!100!u21(n)f(x0),从而n!(100)(1)(2).

f(x)g(u)(u1)2e(u1)(u1)2eue,f(n)(1)g(n)(0),

从而

u98u99u100g(u)e(u2u1)(1uo(u100)),

98!99!100!g100(0)100100u,从g(u)的展开式知u100的项而g(u)中的泰勒展开式中含u的项应为

100!121100为e()u,因此

98!99!100!g100(0)121e(),g100(0)e10101, 100!98!99!100!f100(1)g100(0)10101e.

3.9 利用泰勒公式求行列式的值

若一个行列式可看做x的函数（一般是x的n次多项式）,记作f(x),按泰勒公式在某处x0展开,用这一方法可求得一些行列式的值.

2例 3.10 求n阶行列式

xz D=zyxyyyyzxy zzzx（1）

解 记fn(x)D,按泰勒公式在z处展开：

fn(z)fn''(z)fn(n)(xz)2fn(x)f(z)(xz)(xz)(xz)n, （2）

1!2!n!'易知

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zy00D00zy0000zy00yyyyzyk阶

00zy00z(zy)k1

（3）

由（3）得,fk(z)z(zy)k1,k1,2,,n时都成立.

根据行列式求导的规则,有

fn'(x)nfn1(x),fn'1(x)(n1)fn2(x),,f2'(x)2f1(x),f1'(x)1(因为f1(x)x). 于是fn(x)在xz处的各阶导数为

fn'(z)fn'(z)|xznfn1(z)nz(zy)n2,

fn''(z)fn''(z)|xznfn'1(z)n(n1)z(zy)n3,

… … … …

fnn1(z)fnn1|xzn(n1)2f1(z)n(n1)2z

fn(n)(z)n(n1)21

把以上各导数代入（2）式中,有

nn(n1)fn(x)z(zy)n1z(zy)n2(xz)z(zy)n3(xz)21!2!

n(n12)n(n1)21z(xz)n1(xz)n(n1)!n!若zy,有fn(x)(xy)n1[x(n1)y],

z(xy)ny(xz)n若zy,有fn(x).

zy4 总结

本文主要介绍了泰勒公式以及它的九个应用,使我们对泰勒公式有了更深一层的理解,怎样应用泰勒公式解题有了更深一层的认识.,只要在解题训练中注意分析,研究题设条件及其形式特点,并把握上述处理规则,就能比较好地掌握利用泰勒公式解题的技巧.

无穷小 极限的简单计算

【教学目的】

1、理解无穷小与无穷大的概念；

2、掌握无穷小的性质与比较 会用等价无穷小求极限； 3、不同类型的未定式的不同解法。 【教学内容】

1、无穷小与无穷大； 2、无穷小的比较；

3、几个常用的等价无穷小 等价无穷小替换；

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4、求极限的方法。 【重点难点】

重点是掌握无穷小的性质与比较 用等价无穷小求极限。 难点是未定式的极限的求法。

【教学设计】首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质（30分钟），在理解无穷小与无穷大的概念和性质的基础上,让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法（20分钟）。最后归纳总结求极限的常用方法和技巧（25分钟），课堂练习（15分钟）。

【授课内容】

一、无穷小与无穷大

1.定义

前面我们研究了n数列xn的极限、x（x、x）函数fx的极限、xx0（xx0、xx0）函数f(x)的极限这七种趋近方式。下面

我们用

x＊表示上述七种的某一种趋近方式，即

＊nxxxxx0xx0xx0

定义：当在给定的x＊下，f(x)以零为极限，则称f(x)是x＊下的无穷小，即limfx0。

x＊例如, limsinx0, 函数sinx是当x0时的无穷小.

x0110, 函数是当x时的无穷小. xxx(1)n(1)nlim0, 数列{}是当n时的无穷小. nnn【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何非零常量都不是无穷小。

定义： 当在给定的x＊下，fx无限增大，则称fx是x＊下的无

lim都是无穷大量， 穷大，即limfx。显然，n时，n、n2、n3、x＊【注意】不能把无穷大与很大的数混淆；无穷大是极限不存在的情形之一。无穷

小与无穷大是相对的，在不同的极限形式下，同一个函数可能是无穷小也可能是无穷大，如

limex0， limex ，

xx所以ex当x时为无穷小，当x 时为无穷大。

2．无穷小与无穷大的关系：在自变量的同一变化过程中，如果fx为无穷大，

11则为无穷小；反之，如果fx为无穷小，且fx0，则为无穷大。 fxfx小结：无穷大量、无穷小量的概念是反映变量的变化趋势，因此任何常量都不是无穷大量，任何非零常量都不是无穷小，谈及无穷大量、无穷小量之时，首先应

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给出自变量的变化趋势。

3.无穷小与函数极限的关系: 定理1 limf(x)xxx0Af(x)A(x),其中(x)是自变量在同一变化过

程xx0（或x）中的无穷小.

证：（必要性）设limf(x)xx0A,令(x)f(x)A,则有lim(x)xx00,

f(x)A(x).

（充分性）设f(x)xA(x),其中(x)是当xxx0x0时的无穷小，则

limf(x)x0xlim(A(x)) Alim(x) A.

x0【意义】

（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);

（2）给出了函数f(x)在x0附近的近似表达式f(x)A,误差为(x).

3.无穷小的运算性质

定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小. 【注意】无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.

11 但n个之和为1不是无穷小. 例如,n时,是无穷小，nn定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.

111如：lim(1)n0，limxsin0，limsinx0

nx0xxnx推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小. 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.

二、无穷小的比较 例如，当x0时,x,x2,sinx,x2sin1观察各极限： 都是无穷小，xx2lim0,x2比3x要快得多; x03xsinxlim1,sinx与x大致相同; x0x1x2sinxlimsin1不存在.不可比. limx0x0xx2极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同.

1．定义: 设,是自变量在同一变化过程中的两个无穷小，且(1)如果lim0,就说是比高阶的无穷小,记作o();

(2)如果limC(C0),就说与是同阶的无穷小;

0.

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特殊地如果lim1,则称与是等价的无穷小，记作~; (3)如果limkC(C0,k0),就说是的k阶的无穷小.

例1 证明:当x0时,4xtan3x为x的四阶无穷小.

4xtan3xtanx3证：lim4lim()4,故当x0时,4xtan3x为x的四阶无穷小. 4x0x0xx例2 当x0时,求tanxsinx关于x的阶数.

tanxsinxtanx1cosx1解limlim(),tanxsinx为x的三阶无穷小.

x0x0x3xx222．常用等价无穷小:当x0时,

（1）sinx～x； （2）arcsinx～x； （3）tanx～x； （4）arctanx～x； （5）ln(1x)～x； （6）ex1～x

x2（7）1cosx～ （8）(1x)1～x （9）ax1～lnax

2用等价无穷小可给出函数的近似表达式:

lim1,lim0,即o(),于是有o().

例如sinxxo(x),cosx13．等价无穷小替换

12xo(x2). 2存在,则limlim. 证：limlim()limlimlimlim.

定理：设~,~且limtan22xex1.； （2）lim例3 （1）求lim

x0cosx1x01cosx1解: （1）当x0时,1cosx~x2,tan2x~2x. 故原极限

2x21（2）原极限=lim= 2x02x2tanxsinx. 例4 求lim3x0sin2x2(2x)2lim= 8 x012x2错解: 当x0时,tanx~x,sinx~x.原式limxx=0

x0(2x)3正解: 当x0时,sin2x~2x,tanxsinxtanx(1cosx)~13x, 2故原极限

13x1lim23. x0(2x)16--精品

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【注意】和、差形式一般不能进行等价无穷小替换，只有因子乘积形式才可以进行等价无穷小替换。

tan5xcosx1例5 求lim.

x0sin3x1解: tanx5xo(x),sin3x3xo(x),1cosxx2o(x2).

2o(x)1o(x2)1225x5xo(x)xo(x)x2x5. 2原式limlimx0x0o(x)3xo(x)33x三、极限的简单计算

1. 代入法：直接将xx0的x0代入所求极限的函数中去，若fx0存在，即

2x53x42x12；若fx0不存在，我们也能知道属于为其极限，例如limx193x32x4x29哪种未定式，便于我们选择不同的方法。例如，lim就代不进去了，但我

x3x30们看出了这是一个型未定式，我们可以用以下的方法来求解。

02. 分解因式，消去零因子法

x29limx36。 例如，limx3x3x33. 分子（分母）有理化法 例如，limx2532x15x2limx2x2532x12x15

52x15x53x2532x24 lim

x22x4x2x2

limx22x2 2

10 又如，limx21xlim2xxx1x4. 化无穷大为无穷小法

173223xx73xx例如，lim2，实际上就是分子分母同时除以x2limx2xx4x21422xx这个无穷大量。由此不难得出

--精品

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a0，nmba0xma1xm1am0lim0，nm xbxnbxn1b01n，nm

又如，lim1xx21limxx1x（分子分母同除x）。 1，21x212n5n5再如，limn（分子分母同除5n）。 lim1，nnn35n315n5. 利用无穷小量性质、等价无穷小量替换求极限

xarctanx1例如，lim（无穷小量乘以有界量）。 0，x3x2x14x1又如，求lim2.

x1x2x3解：lim(x22x3)0,商的法则不能用

x1x22x300. 又lim(4x1)30,limx1x14x134x1由无穷小与无穷大的关系,得lim2.

x1x2x3再如，等价无穷小量替换求极限的例子见本节例3—例5。

6. 利用两个重要极限求极限（例题参见§1.4例3—例5） 7. 分段函数、复合函数求极限

1x,x0例如，设f(x)2,求limf(x).

x0x1,x0解: x0是函数的分段点,两个单侧极限为

x0limf(x)lim(1x)1,limf(x)lim(x21)1,

x0x0x0左右极限存在且相等, 故limf(x)1.

x0【启发与讨论】 思考题1：当x0时,y11sin是无界变量吗？是无穷大吗？ xx--精品

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解：(1)取x012k

2(k0,1,2,3,)

21(2)取x0(k0,1,2,3,)

2k当k充分大时,xk, 但y(xk)2ksin2k 0M.不是无穷大．

y(x0)2k, 当k充分大时,y(x0)M.无界，

结论：无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.

思考题2：若f(x)0，且limf(x)A，问：能否保证有A0的结论？试举例

x说明.

解：不能保证. 例f(x)lim1 x0, xf(x)10 limf(x)

xx1A0. xx思考题3：任何两个无穷小量都可以比较吗？

1sinx解：不能．例如当x时f(x),g(x)都是无穷小量

xxg(x)limsinx不存在且不为无穷大，但lim故当x时f(x)和g(x)不能比

xf(x)x较.

【课堂练习】求下列函数的极限

excosx（1）lim；

x0xexcosxex11cosxlimlim1 解：原极限=limx0x0x0xxx13sinxx2cosx （2）求limx0(1cosx)ln(1x)0【分析】 “”型，拆项。

0--精品

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11223sinxxcosxcos3sinx3xx=lim= 解：原极限=limx0x02x2x22x5x54x43x2（3）lim ； 5x2x4x1【分析】“抓大头法”，用于型

54335x555xx解：原极限=lim=，或原极限lim5

x412x22x2x4x5（4）lim(x2xx)；

x【分析】分子有理化 解：原极限=limxx2xxx=limx1=

11x121x21) （5）lim(2x2x4x2【分析】型，是不定型，四则运算法则无法应用，需先通分，后计算。 x2x2x21x13)=lim解：lim(2== lim2x2x4x2x2x2x4x24x2（6）lim

2x0x930【分析】“”型，是不定型，四则运算法则失效，使用分母有理化消零因

0子。

x293解：原极限=lim=6 2x0x12n（7）求lim(222).

nnnn解: n时,是无穷小之和．先变形再求极限.

1n(n1)12n12n1112lim(222)limlim(1). lim22nnnnnnnn2n2nx2【内容小结】

一、无穷小（大）的概念

无穷小与无穷大是相对于过程而言的. 1、主要内容: 两个定义;四个定理;三个推论. 2、几点注意:

(1) 无穷小（ 大）是变量,不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；

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（2） 无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小. （3） 无界变量未必是无穷大. 二、无穷小的比较:

1.反映了同一过程中, 两无穷小趋于零的速度快慢, 但并不是所有的无穷小都可进行比较。高(低)阶无穷小; 等价无穷小; 无穷小的阶。

2.等价无穷小的替换:

求极限的又一种方法, 注意适用条件.

三、极限求法（不同类型的未定式的不同解法）;

a.多项式与分式函数代入法求极限; b.消去零因子法求极限; c.无穷小因子分出法求极限; d.利用无穷小运算性质求极限; e.利用左右极限求分段函数极限.

等价无穷小在求函数极限中的应用及推广 前言 设f在某

xx0x0内有定义，若

limf(x)0 则称f为当xx0时的无穷小量

设当xx0时，f于g均为无穷小量

f(x)1 则称f于g是当xx0时的等价无穷小量。记作 若limxx0g(x)f(x)~g(x)(xx0)

一 、等价无穷小在求函数极限中的应用

1求函数的极限技巧很强，可利用无穷小等价的关系，简化了求某些0 1型的极限的计算

引理 设函数f（x），f（x）满足下列条件： 在a的某个去心邻域内均有非零导数 （1） Limf（x）=0，

limf(x)0xa；

f(x)lim1xaf(x)（2） 则

f(x)ln(1f(x))1lim1xaf(x)xaln(1f(x))，

lnf(x)（3）当f（x），f(x)>0时, lim=1

xalnf(x)lim证明 由洛比塔法则;

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f(x)limlimxaf(x)xalimf(x)1; f(x)1f(x)f(x)ln(1f(x))lim.1 xaln(1f(x))xa1f(x)f(x)lnf(x)f(x)f(x)lim=lim.1,证毕 xalnf(x)xaf(x)f(x)定理1 设函数f(x),g(x)及f(x),g(x)满足下列条件: （1）在a的某去心邻域内均有导数 （2）在xa时,均为无穷小量,

f(x)lim1,limg(x)1,于是; xaf(x)xag(x)1g(x)(1) 若limxa1f(x)l,lim1g(x)xag(x)1f(x)l

(2) 若f(x), f(x)>0，且limf(x)xat,则limf(x)g(x)t

xa证明 由引理 (1)

limxaln1g(x)f(x)ln1g(x)f(x)ln1g(x)ln1g(x) lim**limxaf(x)f(x)ln1g(x)xaf(x)1f(x)故lim1g(x)xalim1g(x)xa1f(x)l

g(x)lnf(x)*g(x)lnf(x) (2) limg(x)lnf(x)limg(x)lnf(x)*limxaxaxag(x)lnf(x)故limf(x)g(x)limf(x)xaxag(x)t

如果我们能熟记一些符合定理条件的一些无穷小量,则在求某些01型

的极限时将很方便. 如x0时, x,sinx,tanx,ex1,ln(1x)等,均为无穷小量,且

sinxlimlimcosx1x0xx0tanxlimlimx0

x11x0cos2x--精品

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x0x

ln(1x)lim11limx0x01xx例1 求下列函数的极限 x0elimx1limex1(1) lim(1x)x0cotx,(2)lim1tanx,(3)lim1sinx

x0x01sinx3x2x(4)lim(xe),(5)lim1ln1xx0x04xx

1x解 (1)原式=lim1xx03x1tanxlim1xe

x0(2)原式=x0lim(1x)e32x

2(3)原式=lim1xx01lim1xxe2 x0lim2x1xex xe11（4）原式=limx0x0x4x1（5）原式=lim1xe

x01x例2 求下列函数的极限

(1)limcosx2,(2)limxsinx,(3)limtanxxxsinxx0x021tanx(4)limcotxx01,(5)limx0xtanx

,(6)limtanxx2x2解 （1） 原式=（2）原式=x02limsinx2x2xlimsinylimyy1yoy0y（其中，y2 x）

sinxxlimxlimx1x0

（3）原式=x0（4）原式=x0limxx1

1lnxlimtanxlimxx01lnxlimex01lnxlnxe1

（5）原式=x0tanxxlimxlimx1x02y

2y2ylimy1x0（6）原式=x0yx2（其中）

limcotylimtanyx0

所谓等价无穷小，是指在同种变化趋势下，和 都是无穷小，且0，

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如果lim1，那么和是等价无穷小，记~。这意味着在这一极限过程sinxtanx1，lim1，所

x0x0xx以当x0时，x,sinx,tanx都是等价无穷小，即sinx~x,tanx~x。

x0常见的等价形式有：时，

中，和趋近于零的速度基本相同。例如因为limx2x~sinx~tanx,x~arcsinx~arccosx,x~ln(1x),x~e1,(1x)~1ax,1cosx~2xa211x1(1)n1~1x1~x

xn,202 对不定式极限,型的计算

0

定理2 若在同一极限过程中，a，b是无穷小且

aalimlimbb

0型未定式可以施行等价无穷小替换来计算极限。但是这种替换

该定理表明，对0只限于整个分子（分母）及其乘积因子，当分子或分母为代数和时，对其中的项却不能随意作等价无穷小替换。例如：

tanxsinxlim3求极限x0sinx时，sinx~x，tanx~x对原式作无穷小替换将导致错误的结

xx103果：原式=x0x（正确结果为2） 例3 因为当

lntan7x x0时sinx~x~tanxlimx0lntan2xtan7x7lnln7x0ln7x7x解 原式=lim=limlim7x1

x0x00ln2xx02tan2xlnln2x2x2x例4

limlimsinxx01lntan2xa~a,b~b则

解

1lntan2x

sinxlnxxlimx0tan2xlnln2x2xlnlimsinxx0elnsinxx0lntan2xlime

使用等价无穷小，当

x0时sinx~x,tanx~x 上式=elnxx0ln2xlime1e

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ln(tan((12x)6))例5 求lim

x0lnsin((1cosx)3)解 它是型，按以前的求极限方法，它是不能用等价无穷小来代替，用洛必达

法则计算

1[tan((12x1)6)]1sec2((12x1)6)6(12x1)512x...1 原式= limx0[sin((1cosx)3)]1cos((1cosx)3)3(1cosx)2sinx很显然，这个题目直接用洛比达法则求解太繁，我们考虑函数中使用等价无穷小进行化简。注意到：当x0时，有

1tan(12x1)6~(12x1)6~((2x))6x62 2x1sin((1cosx)3)~(1cosx)3~()3x628(tan((12x1)6))6lnlnx6lnx6x原极限= limlim1 36x0x0(sin((1cosx)))1lnxln8lnln(x6)168x8可见，对一些无法直接使用等价无穷小的极限式直接使用洛比达法则，会造成计算量大而且通过对函数式的构造变换，再使用等价无穷小，就很容易求得答案了。 3 数列极限的若干计算法 （1）极限的四则运算法则

若{an}与{bn}为收敛数列，则{anbn}，{anbn}，{an•bn}也都是收敛数列，其有

lim(anbn)limanbnnnnlim(an•bn)limanlimbnnnn

例6 求limn(n1n) 解

n(n1n)11(n) nnn1n1 111n由1得

11

nn2111n（2） 利用重要极限求数列的极限

sinx1两个重极限分别为(1)lim1,(2)lim(1)ne

x0nxnlimn(n1n)lim--精品

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2例7 求lim(1)n

nnn22n2解 lim(1)lim1e2

nnnn（3）单调有界数列法

这一方法是利用极限理论基本定理：单调有界数列必有极限，其方法为:(1)判定数列是单调有界的，从而可设其极限为A。（2）建立数列相邻两项之间的关系式。（3）在关系式两端取极限，得以关于A的方程，若能解出A，问题得解。

2例8求数列a,aa,aaa其中（a>0）极限

aaa

解: 设x0a，x1aaax0…xn1axn(n1,1,2...) 则{xn}是单调有界数列，它必有极限，设其极限为A在

xn1axn两边取极限得AaA即A2Aa0

114a114a，因为A>0所以A 22114a即limxn n2（4）利用定积分计算

计算项数无限增多的无穷小量之和，有时可设法把问题化为某一函数在某一区间上的积分和的极限问题，从而利用定积分求解。有时问题呈现乘积的形式，也可试用本方法，只式要先取对数将问题转化为和的形式。

所以A例9 计算lim解 an1n（2n）! nnn!1n(2n）！n(2n)!n12n(1)(1)...（1+）、 nnn!n!nnnnn1nii1先考虑lnanln(1)ln(1)，从而有

ni1nnni1limlnanln(1x)dx(1x)ln(1x)102ln21

n0114

ne（5）变上限积分的极限

常用的变上限积分的等价无穷小有：

因此limane2ln21x0tdt~x0x2tantdt~arcsintdt~arctantdt~ln(1t)dt~(e1)dt~

00002xxxxt--精品

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x30(1cost)dt~6xx0x1x1dt~x2 其中a0,a1 2(at1)dt~12xlna02上述等式可以用洛比塔法则直接证明，证明中我们可以看到被积函数之间是等价无穷小，由此可得将被积函数用等价无穷小代换后的变上限积分仍是等价无穷小，即是:

定理3 若当x0,f(x)0,f(x)存在，F(x)0,G(x)0,F(x)~G(x)，则

f(x)0F(t)dt~0x0f(x)0G(x)dt。

limlim证明：f(x)f(x)F(x)dtG(t)dtf(x)o0f(x)0f(x)0Ff(x)f(x)Ff(x)limlim1 f(x)0Gf(x)f(x)f(x)0Gf(x)G(x)dtF(x)dt

由此定理还可以得出如下结论，例如： tanxtanx1223sintdt~tdttanx(x0)003

f(x)f(x)21t1dt~tdtf(t)0(x0,f(x)0)02例10 求limx0x20(et1)2dtsinxo

tdt23解 原式=lim4x6limlim40

x0x01x03x34tdt(sinx)04x6arctant0t(1t)dt例 11 求lim1cosx x02(11t)dt0sinx0x2tdt16x310(1t)dtln(1x6)x6limlim48 解 原式=lim2x0x011x01cosxt1136•(1cosx)•xdt022368（6）幂指数数激增和Taylor公式使用 定理4 设~,~，且

x61lim(1)x0A1x01x0

lim(1)lim(1)A证明

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ln(1)lim(1)lim••ln(1)A x0x0ln(1)12例12 求lim(cos)x

x x11解 因为cos12sin()2，当x时，有

x2x11sin()2~()2，所以

2x2x1)1x212x2(12e2 原式=lim(122)lim(12)xx4x2x

11cosxex4例13 求 x0解 ：

limxxcosx~1,e2!4cosxex2224x22x22

x21x4~12!42!

11)x44!4•2!11•2!111 因此，原式=lim4!4x0x444•2!12综上所述，我们看到等价无穷小的应用非常广泛，但还是要具体情况具体分析，同时结合洛比达法则，选择合理恰当的方法进行求解

二、 等价无穷小在求函数极限过程中的推广

定理5 若在同一极限过程中，有等价无穷小~,~,~,~则

~(当

limp1,limq1时，

limlim（存在或为无穷大）

当

limp1,limq1时，

lim（存在或为无穷大） 证明 仅证（1），同理可证（2）

lim--精品

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11p1因limlimlim1

p1 得~。

11q1limlimlim1q1又因

得~ 再由定理，可知

例14

22limlim（存在或为无穷大）

e3xe5xlimx0sin2x2sin7x2 22解 因x0时，e3x1~3x2,e5x1~5x2,sin2x2~2x2,sin7x2~7x2

3x232x2lim21,lim1x05xx07x57且 故由定理有 (e3x1)(e5x1)lim22原式=x0sin2xsin7x

223x25x22x22lim2lim2x02x7x2x05x5 =

例15

23sintanxxlimx4arcsinx

24422332解 因x时，arcsin~,sin~,tan~;limx1

xxxxxxx033x故由定理有 原式=

23xx5limx044x

定理6 若在同一极限过程中，有等价无穷小~,~，

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则limlimA（存在或为无穷大）

证明 limlime1ee若在同一极限过程中，有等价无穷小~,~则

1lim(1)lim(1)

=A

1lnlim(ln)lim(lnln)limA定理3

lim(1)e证明

ln(1)ln(1)**limln(1)eln(1)limlimln(1)A

1lim1arcsinxx0例16

121cosx

12x 2解 因x0时，arcsinx2~x2,1cosx~2x2e2lim1x故由定理有 原式=x0

2附：常用积分公式

1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9、 10、 11、

--精品

12、 13、 14、

dx

+c

+c

15、 16、 17、 18、 19、 20、 21、 22、 23、

精品---

24、 25、 26、 27、 28、

29、 30、

cos2x+c

dx=

等价无穷小替换

sinx～x tanx～x arcsinx～x arctanx～x

ln(1+x)～x

1－cosx～sinx－x～

x－sinx～－1～xlna

求极限的常用方法

--精品