高考复习：平面向量的数量积含解析答案(教师版+学生版)

知识梳理：

1．平面向量的数量积

平面向量数量积的定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，把数量|a||b|cos θ叫做a和b的数量积(或内积)，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos θ，规定0·a＝0.

2．平面向量数量积的有关结论 已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2) 结论 模 夹角 a⊥b的充要条件 |a·b|与|a||b|的关系 [试一试] 1．已知两个单位向量e1，e2的夹角为120°，若向量a＝e1＋2e2，b＝4e1，则a·b＝________.

2π

2．(2013·镇江期末)在菱形ABCD中，AB＝23，B＝，BC＝3BE，

3

几何表示 |a|＝a·a |a·b|≤|a||b| 坐标表示 222|x1x2＋y1y2|≤x21＋y1x2＋y2 DA＝3DF，则EF·AC＝________.

考点一：平面向量的数量积的运算

例1（1）.(2014·南通、泰州、扬州一调)在平面直角坐标系xOy中，已知向量a＝(1,2)，1

a－b＝(3,1)，则a·b＝________. 2

（2）．已知平面向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若|a|＝2，|b|＝3，a·b＝－6.则值为________．

x1＋y1

的x2＋y2

（3）.(2012·江苏高考)如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若AB·AF＝2，则AE·BF的值是________．

考点二：平面向量数量积的性质

π

例2 (1)若平面向量a与平面向量b的夹角等于，|a|＝2，|b|＝3，求2a－b与a＋2b的夹

3角的余弦值

→→→→→→→→

(2)(2013·山东)已知向量AB与AC的夹角为120°，且|AB|＝3，|AC|＝2.若AP＝λAB＋AC，且AP→

⊥BC，求实数λ的值．

变式训练1：

(1)已知向量a，b的夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝10，求|b|的值. (2)在直角三角形ABC中，已知AB＝(2,3)，AC＝(1，k)，求k的值

3π

例3.(2014·泰州模拟)如图，半径为1，圆心角为的圆弧AB上有一点C.

2(1)若C为圆弧AB的中点，点D在线段OA上运动，求|OC＋OD|的最小值； (2)若D，E分别为线段OA，OB的中点，当C在圆弧AB上运动时，求

CE·DE的取值范围．

变式训练2

(2013·江苏高考)已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，0<β<α<π. (1)若|a－b|＝2，求证：a⊥b；

(2)设c＝(0,1)，若a＋b＝c，求α，β的值．

课堂练习：

1．(2011·江苏高考)已知e1，e2是夹角为若a·b＝0，则实数k的值为________．

2π

的两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2.3

CB＝2，则边AB的长等于________． 2．在△ABC中，若AB·AC＝AB·

3．已知向量a＝(－2,2)，b＝(5，k)．若|a＋b|不超过5，则实数k的取值范围是________．

4．若非零向量a，b满足|a|＝3|b|＝|a＋2b|，则a与b夹角的余弦值为________．

BC＝________. 5．在△ABC中，AB＝10，AC＝6，O为BC的垂直平分线上一点，则AO·

6.已知向量a＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b＝(1,2)． (1)若a∥b，求tan θ的值； (2)若|a|＝|b|,0<θ<π，求θ的值．

5.3平面向量的数量积与平面向量应用作业

1．(2013·盐城二模)若e1，e2是两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝5e1＋4e2，且a⊥b，则e1，e2的夹角为________．

2．(2014·南通一模)在△ABC中，若AB＝1，AC＝3，|AB＋AC|＝|BC|，则＝________.

3．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量OA＝(2,2)，OB＝(4,1)，在x轴上取一点P，使AP·BP有最小值，则P点的坐标是________．

π

CA＝4．在直角三角形ABC中，∠C＝，AC＝3，取点D使BD＝2DA，那么CD·

2________.

5．在边长为1的正方形ABCD中，M为BC的中点，点E在线段AB上运动，则EC―→·EM―→的取值范围是________．

6．已知向量a，b夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝10，则|b|＝________.

7．已知向量a＝(2，－1)，b＝(x，－2)，c＝(3，y)，若a∥b，(a＋b)⊥(b－c)，M(x，y)，N(y，x)，则向量MN的模为________．

8．(2013·山东高考)已知向量AB与AC的夹角为120°，且|AB|＝3，|AC|＝2.若AP＝λAB＋AC，且AP⊥BC，则实数λ的值为________．

BCBA·

|BC|

9．(2014·泰州期末)已知向量a＝(cos λθ，cos(10－λ)θ)，b＝(sin(10－λ)θ，sin λθ)，λ，θ∈R.(1)求|a|2＋|b|2的值；

(2)若a⊥b，求θ； π

(3)若θ＝，求证：a∥b.

20

10．已知△ABC为锐角三角形，向量m＝(3cos2A，sin A)，n＝(1，－sin A)，且m⊥n. (1)求A的大小；

(2)当AB＝pm，AC＝qn(p>0，q>0)，且满足p＋q＝6时，求△ABC面积的最大值．

11．已知△ABC的内角为A、B、C，其对边分别为a、b、c，B为锐角，向量m＝(2sinB，B

－3)，n＝(cos2B,2cos2－1)，且m∥n.(1)求角B的大小；

2(2)如果b＝2，求S△ABC的最大值．

11．已知向量p＝(2sinx，3cosx)，q＝(－sinx,2sinx)，函数f(x)＝p·q. (1)求f(x)的单调递增区间；

(2)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且f(C)＝1，c＝1，ab＝23，且a>b，求a，b的值．

第Ⅱ组：重点选做题

1．(2014·扬州期末)在边长为6的等边三角形ABC中，点M满足BM＝2MA，则

CM·CB＝________.

CB＝(CB＋BM)·CB＝CB＋ 解析：法一：由题知，CM·

22

CBBA―→·＝36＋×6×6×cos 120°＝24.

33

法二：以BC所在的直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，则B(－3,0)，C(3,0)，A(0,33)，从而

2CB＝(－4)×(－6)＋M(－1,23)，所以CM＝(－4,23)，CB＝(－6,0)．因此CM·

23×0＝24.

答案：24

2．(2013·盐城二模)若点G为△ABC的重心，且AG⊥BG，则sin C的最大值为________． 11

解析：记CA＝b，CB＝a，则AB＝a－b，从而AG＝(a－2b)，BG＝(b－2a)．因

332b2＋2a24

为AG⊥BG，所以(a－2b)(b－2a)＝0，即2b－5b·a＋2a＝0，所以cos C＝≥，故

5|b|·|a|5

2

2

43

当|b|＝|a|时，cos C有最小值，此时sin C有最大值. 55

3

答案： 5

1．已知向量a，b均为非零向量，(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，则a，b的夹角为________． 解析：(a－2b)·a＝|a|2－2a·b＝0，(b－2a)·b＝|b|2－2a·b＝0，所以|a|2＝|b|2，即|a|＝|b|，故|a|2－2a·b＝

|a|2－2|a|2

πb＝.

3

π答案： 3

2．(2013·南通三模)已知向量a与b的夹角为60°，且|a|＝1，|b|＝2，那么(a＋b)2的值为________．

解析：(a＋b)2＝1＋4＋2×1×2cos 60°＝7. 答案：7

平面向量的数量积与平面向量应用举例

知识梳理：

1．平面向量的数量积

平面向量数量积的定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，把数量|a||b|cos θ叫做a和b的数量积(或内积)，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos θ，规定0·a＝0.

2．平面向量数量积的有关结论 已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2) 结论 模 夹角 a⊥b的充要条件 |a·b|与|a||b|的关系 [试一试] 1．(2014·苏锡常镇一调)已知两个单位向量e1，e2的夹角为120°，若向量a＝e1＋2e2，b＝4e1，则a·b＝________.

解析：a·b＝(e1＋2e2)·4e1＝4e2e2 1＋8e1·

几何表示 |a|＝a·a |a·b|≤|a||b| 坐标表示 222|x1x2＋y1y2|≤x21＋y1x2＋y2 a，b＝0，可得

1

a，b＝，又因为0≤a，b≤π，所以a，

2

1

－＝0. ＝4＋8×1×1×2答案：0

2π

2．(2013·镇江期末)在菱形ABCD中，AB＝23，B＝，BC＝3BE，DA＝3DF，

3则EF·AC＝________.

解析：如图，依题意向量BC，BA所成角为

2π

，|BC|＝|BA|＝23，3

11(BCAC＝BC－BA，EF―→＝BC＋BA，EF·AC＝3BC＋BA·312

－BA)＝|BC|2＋BC·－|BA|2＝－12. BA33

答案：－12

考点一：平面向量的数量积的运算

1

1.(2014·南通、泰州、扬州一调)在平面直角坐标系xOy中，已知向量a＝(1,2)，a－b

2＝(3,1)，则a·b＝________.

a－1b＝5，得a2－1a·解析：法一：由a·b＝5， 22

1

即5－a·b＝5，所以a·b＝0.

2

1

法二：由a＝(1,2)，a－b＝(3,1)，得b＝(－4,2)，

2所以a·b＝0 答案：0

x1＋y12．已知平面向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若|a|＝2，|b|＝3，a·b＝－6.则的值为x2＋y2

________．

解析：由已知得，向量a＝(x1，y1)与b＝(x2，y2)反向，3a＋2b＝0，即3(x1，y1)＋2(x2，x1＋y1222

y2)＝(0,0)，得x1＝－x2，y1＝－y2，故＝－. 333x2＋y2

2

答案：－

3

3.(2012·江苏高考)如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若AB·AF＝2，则AE·BF的值是________．

解析：以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角

坐标系，则AB＝(2，0)，AE＝(2，1)，AD＝(0,2)．设AF＝(x,2)，x＞0，则AB·AF＝2x＝2，解得x＝1.所以F(1,2)，BF＝(1－2，2)，于是AE·BF＝2.

答案：2

4．在△ABC中，若∠A＝120°，AB·AC＝－1，则|BC―→|的最小值是________． 解析：∵AB·AC＝－1，∴|AB|·|AC|cos 120°＝－1，即

|AB|·|AC|＝2，∴|BC|2＝|AC－AB|2＝AC2－2AB·AC＋AB2≥2|AB|·|AC|－2AB·AC＝6，

∴|BC|min＝6. 答案：6

考点二：平面向量数量积的性质题型二 求向量的模与夹角

π

例2 (1)若平面向量a与平面向量b的夹角等于，|a|＝2，|b|＝3，则2a－b与a＋2b的夹

3角的余弦值为．

(2)已知向量a，b的夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝10，则|b|＝.

→→→→→→→→(3)(2013·山东)已知向量AB与AC的夹角为120°，且|AB|＝3，|AC|＝2.若AP＝λAB＋AC，且AP→

⊥BC，则实数λ的值为． 17

答案 (1)－ (2)32 (3)

2612

解析 (1)记向量2a－b与a＋2b的夹角为θ， π

又(2a－b)2＝4×22＋32－4×2×3×cos＝13，

3π

(a＋2b)2＝22＋4×32＋4×2×3×cos＝52，

3(2a－b)·(a＋2b)＝2a2－2b2＋3a·b ＝8－18＋9＝－1，

2a－b·a＋2b1故cosθ＝＝－，

26|2a－b|·|a＋2b|1

即2a－b与a＋2b的夹角的余弦值是－. 26(2)∵a，b的夹角为45°，|a|＝1，

∴a·b＝|a|·|b|cos45°＝|2a－b|2＝4－4×2|b|， 2

2

|b|＋|b|2＝10，∴|b|＝32. 2

→→→→(3)由AP⊥BC知AP·BC＝0， →→→→→→即AP·BC＝(λAB＋AC)·(AC－AB) →→→→＝(λ－1)AB·AC－λAB2＋AC2

17

－－λ×9＋4＝0，解得λ＝. ＝(λ－1)×3×2×212

(2)在直角三角形ABC中，已知AB＝(2,3)，AC＝(1，k)，则k的值为________． 解析：①当A＝90°时， ∵AB⊥AC，∴AB·AC＝0. 2

∴2×1＋3k＝0，解得k＝－. 3②当B＝90°时，∵AB⊥BC，

又BC＝AC－AB＝(1，k)－(2,3)＝(－1，k－3)，

BC＝2×(－1)＋3×(k－3)＝0， ∴AB·

11解得k＝. 3③当C＝90°时，

∵AC⊥BC，∴1×(－1)＋k(k－3)＝0， 3±13即k2－3k－1＝0.∴k＝.

22113±13

答案：－或或. 332考点三：向量数量积的综合

3π

3.(2014·泰州模拟)如图，半径为1，圆心角为的圆弧AB上有一点C.

2(1)若C为圆弧AB的中点，点D在线段OA上运动，求|OC＋OD|的最小值；

(2)若D，E分别为线段OA，OB的中点，当C在圆弧AB上运动时，求CE·DE的取

值范围．

OA为x轴正方向，解：以O为原点，建立如图所示的直角坐标系．

(1)设D(t,0)(0≤t≤1)， 又C－



22， ，22所以OC＋OD＝－



22， ＋t，

2211

所以|OC＋OD|2＝－2t＋t2＋＝t2－2t＋1(0≤t≤1)，

22当t＝

21

时，其最小值为， 22

2

. 2

即|OC＋OD|的最小值为

3π

0≤α≤， (2)设OC＝(cos α，sin α)21

0，－－(cos α，sin α) 则CE＝OE－OC＝21

－cos α，－－sin α. ＝2

1111，0，E0，－，所以DE＝－，－， 又D22221π112

cos α＋＋sin α＝sinα＋＋. 故CE·DE＝22244ππ7π

因为≤α＋≤，

444

1212所以CE·DE∈4－2，4＋2.



[典例] (2013·江苏高考)已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，0<β<α<π. (1)若|a－b|＝2，求证：a⊥b；

(2)设c＝(0,1)，若a＋b＝c，求α，β的值． [解] (1)证明：由题意得|a－b|2＝2， 即(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝2. 又因为a2＝b2＝|a|2＝|b|2＝1， 所以2－2a·b＝2，即a·b＝0，故a⊥b.

(2)因为a＋b＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0,1)，

cos α＋cos β＝0，所以

sin α＋sin β＝1.

由此得，cos α＝cos (π－β)，由0<β<π，得0<π－β<π. 又0<α<π，故α＝π－β.代入sin α＋sin β＝1， 15ππ得sin α＝sin β＝，而α>β，所以α＝，β＝.

266 [针对训练]

已知向量a＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b＝(1,2)． (1)若a∥b，求tan θ的值； (2)若|a|＝|b|,0<θ<π，求θ的值．

解：(1)因为a∥b，所以2sin θ＝cos θ－2sin θ， 1

于是4sin θ＝cos θ，故tan θ＝.

4

(2)由|a|＝|b|，知sin2θ＋(cos θ－2sin θ)2＝5， 所以1－2sin 2θ＋4sin2θ＝5.

从而－2sin 2θ＋2(1－cos 2θ)＝4，即sin 2θ＋cos 2θ＝－1， π22θ＋＝－. 于是sin42ππ9π

又由0<θ<π，知<2θ＋<，

444π5ππ7π

所以2θ＋＝或2θ＋＝.

4444π3π

因此θ＝或θ＝.

24课堂练习：

1．(2011·江苏高考)已知e1，e2是夹角为若a·b＝0，则实数k的值为________．

解析：由题得|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝|e1|·|e2|cos

2π1

＝－，所以a·b＝(e1－2e2)·(ke1＋e2)＝k|e1|2322π

的两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2.3

2k－15

＋(1－2k)·e1e2－2|e2|＝k＋－2＝0，解得k＝.

24

2

5

答案： 4

CB＝2，则边AB的长等于________． 2．在△ABC中，若AB·AC＝AB·

CB＝AB·解析：由题意得AB·AC＋AB·(AC＋CB)＝|AB|2＝4，所以AB＝2.

答案：2

3．已知向量a＝(－2,2)，b＝(5，k)．若|a＋b|不超过5，则实数k的取值范围是________． 解析：因为a＝(－2,2)，b＝(5，k)，所以a＋b＝(3，k＋2)，所以|a＋b|＝13＋4k＋k2≤5，解得－6≤k≤2 答案：[－6,2]

4．(2013·淮安二模)在△ABC中，已知AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，BD⊥AC，D为垂足，则BD·BC―→的值为________．

32＋k＋22＝

BC＝BD·解析：BD·(BA＋AC)＝BD·BA＋BD·AC

＝BD·|BA|·cos∠ABD＝|BD|2. BA＝|BD|·

11

在△ABC中，由余弦定理得AC＝7，又S△ABC＝AB·BC·sin∠ABC＝×2×3×sin 60°＝

2233133321，所以AC·BD＝，所以BD＝， 2227

27

BC＝|BD|2＝7. 所以BD·27

答案： 7

5．若非零向量a，b满足|a|＝3|b|＝|a＋2b|，则a与b夹角的余弦值为________． 解析：由|a|＝|a＋2b|，两边平方，得|a|2＝(a＋2b)2 ＝|a|2＋4|b|2＋4a·b，所以a·b＝－|b|2. 又|a|＝3|b|，所以1答案：－

3

a，b

2

a·b－|b|1＝＝2＝－. |a||b|3|b|3

BC＝________. 6．在△ABC中，AB＝10，AC＝6，O为BC的垂直平分线上一点，则AO·

BC＝(AD＋DO)·BC＝AD·BC＋解析：取BC边的中点D，连接AD，则AO·

DO·BC＝AD·BC＝2(AB＋AC)·(AC－AB)＝(AC2－AB2)＝(62－102)＝－

22

32.

答案：－32 作业

1．(2013·盐城二模)若e1，e2是两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝5e1＋4e2，且a⊥b，则

1

1

1

e1，e2的夹角为________．

12π

解析：因为a⊥b，所以a·b＝0，从而5－6e1·e2－8＝0，所以e1·e2＝－，故〈e1·e2〉＝.

232π

答案： 3

2．(2014·南通一模)在△ABC中，若AB＝1，AC＝3，|AB＋AC|＝|BC|，则＝________.

解析：由条件得|AB＋AC|＝|AC－AB|，故AC·AB＝0，即AC⊥AB，故|BC|＝2，1×2×cos 60°1∠ABC＝60°，从而原式＝＝.

22

1

答案： 2

3．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量OA＝(2,2)，OB＝(4,1)，在x轴上取一点P，使AP·BP有最小值，则P点的坐标是________．

解析：设P点坐标为(x,0)，

则AP＝(x－2，－2)，BP＝(x－4，－1)．

BCBA·

|BC|

AP·BP＝(x－2)(x－4)＋(－2)×(－1)

＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1. 当x＝3时，AP·BP有最小值1. ∴此时点P坐标为(3,0)． 答案：(3,0)

π

CA＝4．在直角三角形ABC中，∠C＝，AC＝3，取点D使BD＝2DA，那么CD·

2________.

解析：如图，CD＝CB＋BD. 又∵BD＝2DA，

22

∴CD＝CB＋BA＝CB＋(CA－CB)，

3321

即CD＝CA＋CB，

33π

CB＝0， ∵∠C＝，∴CA·

2

21

CA＋ CB·CA＝∴CD·33CA 21

CA＝6. ＝CA2＋CB·

33答案：6

5．在边长为1的正方形ABCD中，M为BC的中点，点E在线段AB上运动，则EC―→·EM―→的取值范围是________．

解析：将正方形放入如图所示的平面直角坐标系中，设E(x,0)，11

1，，C(1,1)，所以EM＝1－x，，EC＝(1－x,1)，0≤x≤1.又M221112

1－x，·EC＝所以EM·(1－x,1)＝(1－x)＋.因为0≤x≤1，所以2221313

EC≤(1－x)2＋≤，即EM·的取值范围是2，2. 22

13

答案：2，2

6．已知向量a，b夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝10，则|b|＝________. 解析：∵a，b的夹角为45°，|a|＝1， ∴a·b＝|a|·|b|·cos 45°＝∴|2a－b|2＝4－4×答案：32 7．已知向量a＝(2，－1)，b＝(x，－2)，c＝(3，y)，若a∥b，(a＋b)⊥(b－c)，M(x，y)，N(y，x)，则向量MN的模为________．

解析：∵a∥b，∴x＝4.∴b＝(4，－2)，∴a＋b＝(6，－3)， b－c＝(1，－2－y)．

∵(a＋b)⊥(b－c)，∴(a＋b)·(b－c)＝0， 即6－3(－2－y)＝0，解得y＝－4. ∴向量MN＝(－8,8)，∴|MN|＝82. 答案：82 8．(2013·山东高考)已知向量AB与AC的夹角为120°，且|AB|＝3，|AC|＝2.若AP＝λAB＋AC，且AP⊥BC，则实数λ的值为________．

2

|b|， 2

2

|b|＋|b|2＝10.∴|b|＝32. 2

BC＝0， 解析：BC＝AC－AB，由于AP⊥BC，所以AP·

即(λAB＋AC)·(AC－AB)＝－λAB＋AC＋(λ－1) AB·AC＝－9λ＋4＋(λ－17

－＝0，解得λ＝. 1)×3×2×212

7

答案： 12

9．(2014·泰州期末)已知向量a＝(cos λθ，cos(10－λ)θ)，b＝(sin(10－λ)θ，sin λθ)，λ，θ∈R.

(1)求|a|2＋|b|2的值； (2)若a⊥b，求θ； π

(3)若θ＝，求证：a∥b.

20解：(1)因为|a|＝|b|＝

cos2λθ＋cos2[10－λθ]，

22sin2[10－λθ]＋sin2λθ，

所以|a|2＋|b|2＝2. (2)因为a⊥b，

所以cos λθ·sin(10－λ)θ＋cos(10－λ)θ·sin λθ＝0. 所以sin[(10－λ)θ＋λθ]＝0，所以sin 10θ＝0， kπ

所以10θ＝kπ，k∈Z，所以θ＝，k∈Z.

10π

(3)证明：因为θ＝，

20

所以cos λθ·sin λθ－cos(10－ λ)θ·sin(10－ λ)θ πλππλπλπλπ＝cos·sin－cossin2－20 2－20·2020λπλπλπλπ＝cos·sin－sin·cos＝0，

20202020所以a∥b.

10．已知△ABC为锐角三角形，向量m＝(3cos2A，sin A)，n＝(1，－sin A)，且m⊥n. (1)求A的大小；

(2)当AB＝pm，AC＝qn(p>0，q>0)，且满足p＋q＝6时，求△ABC面积的最大值． 解：(1)∵m⊥n，∴3cos2A－sin2A＝0.

∴3cos2A－1＋cos2A＝0， 1

∴cos2A＝. 4

又∵△ABC为锐角三角形， 1

∴cos A＝，

2π∴A＝. 3

33

(2)由(1)可得m＝，，

42n＝1，－



3. 2217p，|AC|＝q. 42

∴|AB|＝

121

∴S△ABC＝|AB|·|AC|·sin A＝pq.

232又∵p＋q＝6，且p>0，q>0， p＋q

∴p·q≤，

2∴p·q≤3.∴p·q≤9.

21189∴△ABC面积的最大值为×9＝. 3232

5．已知向量p＝(2sinx，3cosx)，q＝(－sinx,2sinx)，函数f(x)＝p·q. (1)求f(x)的单调递增区间；

(2)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且f(C)＝1，c＝1，ab＝23，且a>b，求a，b的值．

解 (1)f(x)＝－2sin2x＋23sinxcosx ＝－1＋cos2x＋23sinxcosx

π

＝3sin2x＋cos2x－1＝2sin(2x＋)－1.

6πππ

由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，

262ππ

得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，

36

ππ

kπ－，kπ＋(k∈Z)． ∴f(x)的单调递增区间是36

π

(2)∵f(C)＝2sin(2C＋)－1＝1，

6π

∴sin(2C＋)＝1，

6

πππ

∵C是三角形的内角，∴2C＋＝，即C＝.

626a2＋b2－c23

∴cosC＝＝，即a2＋b2＝7.

2ab2

12

将ab＝23代入可得a2＋2＝7，解得a2＝3或4.

a∴a＝3或2，∴b＝2或3. ∵a>b，∴a＝2，b＝3.

10．已知△ABC的内角为A、B、C，其对边分别为a、b、c，B为锐角，向量m＝(2sinB，B

－3)，n＝(cos2B,2cos2－1)，且m∥n.

2(1)求角B的大小；

(2)如果b＝2，求S△ABC的最大值．

B

解 (1)m∥n⇒2sinB·(2cos2－1)＋3cos2B＝0

2π

⇒sin2B＋3cos2B＝0⇒2sin(2B＋)＝0(B为锐角)

32ππ

⇒2B＝⇒B＝. 33

a2＋c2－b2

(2)cosB＝⇒ac＝a2＋c2－4≥2ac－4

2ac⇒ac≤4.

113

S△ABC＝a·c·sinB≤×4×＝3.

222故S△ABC的最大值为3.

第Ⅱ组：重点选做题

1．(2014·扬州期末)在边长为6的等边三角形ABC中，点M满足BM＝2MA，则

CM·CB＝________.

CB＝(CB＋BM)·CB＝CB＋ 解析：法一：由题知，CM·

22

CBBA―→·＝36＋×6×6×cos 120°＝24.

33

法二：以BC所在的直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，则B(－3,0)，C(3,0)，A(0,33)，从而

2CB＝(－4)×(－6)＋M(－1,23)，所以CM＝(－4,23)，CB＝(－6,0)．因此CM·

23×0＝24.

答案：24

2．(2013·盐城二模)若点G为△ABC的重心，且AG⊥BG，则sin C的最大值为________． 11

解析：记CA＝b，CB＝a，则AB＝a－b，从而AG＝(a－2b)，BG＝(b－2a)．因

33

22

2b＋2a4

为AG⊥BG，所以(a－2b)(b－2a)＝0，即2b2－5b·a＋2a2＝0，所以cos C＝≥，故

5|b|·|a|5

43

当|b|＝|a|时，cos C有最小值，此时sin C有最大值. 55

3

答案： 5

1．已知向量a，b均为非零向量，(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，则a，b的夹角为________． 解析：(a－2b)·a＝|a|2－2a·b＝0，(b－2a)·b＝|b|2－2a·b＝0，所以|a|2＝|b|2，即|a|＝|b|，故|a|2－2a·b＝

|a|2－2|a|2

πb＝.

3

a，b＝0，可得

1

a，b＝，又因为0≤a，b≤π，所以a，

2

π答案： 3

2．(2013·南通三模)已知向量a与b的夹角为60°，且|a|＝1，|b|＝2，那么(a＋b)2的值为________．

解析：(a＋b)2＝1＋4＋2×1×2cos 60°＝7. 答案：7