高中数学 黄金100题系列 第72题 与圆有关的最值问题 文

I．题源探究·黄金母题 【例

1】已知圆C:x1y225，直线

22精彩解读

【试题来源】人教A版必修2P144B组T6． 【母题评析】本题考查圆的有关最值问题，考查考生的分析问题、解决问题的能力． 【思路方法】结合圆的有关几何性质解题．

l:2m1xm1y7m40,m为任意实数．

（1）求证：直线l恒过定点；

（2）判断直线l被圆截C得的弦何时最长、何时最短？并求截得的弦长最短时m的值以及最短长度． 【答案】（1）3,1；（2）3，45． 4【解析】（1）直线l的方程经过整理得

2xy7mxy40．由于m的任意性，于是有

2xy7,x3,解此方程组，得，即直线l恒过定点xy4.y1D3,1．

（2）因为直线l恒过圆C内一点D，所以当直线l经过圆心C时被截得的弦最长，它是圆的直径；当直线l垂直于CD时被截得的弦长最短．由C1,2,D3,1，可知直线CD的斜率为

1kCD，故当直线l被圆C截得的弦长最短时，直线l的斜率

22m13为2，于是有2，解得m，此时直线l的方程为

m14y12x3，即2xy50。

又CD132122最短弦长为225545。直线5，l被圆C截得的弦最短时m的值为3，最短长度是45。

4II．考场精彩·真题回放

【例2】【2017高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy中，点

【命题意图】本类题主要考查点与圆、直线与圆、圆与圆位置关系，以及考查逻辑思维能力、运算求解能力、数形结合的能力、方程思想的

A12,0，B0,6，点P在圆O:x2y250上．若

1

PAPB20，则点P的横坐标的取值范围是 ．

应用．

【考试方向】这类试题考查根据给定直线、圆方程判断点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关

【答案】52,1

【解析】不妨设Px0,y0，则xy50，且易知

2020系，同时考查通过数形结合思想、充分利用圆的几何性质解决圆的切线、圆的弦长等问题．在考查形式上，主要要以选择题、填空题为主，也有时会出现在解答题中，中档题． 【难点中心】

1．直线与圆的位置关系的判断方法 （1）几何法：由圆心到直线的距离d与半径长r的大小关系来判断． 若dr，则直线与圆相离；

x052,52．

因为PAPBAPBPx012,y0x0,y06

22x012x0y06y05012x06y020，故

2x0y050．

yB(1,7)若dr，则直线与圆相切；

52xOA(-5,-5)若dr，则直线与圆相交． （2）代数法

2．点与圆、圆与圆位置关系的判断方法，类

2x-y+5=0所以点Px0,y0在圆O:xy50上，且在直线

22似的也有几何法和代数法两种；

3．比较圆心距与两个圆的半径和与半径差的大小关系，特别是遇到参数问题时，如何建立等式或不等式是一个难点．

x2y2502xy50的左上方（含直线）．联立，得

2xy50x15，x21，如图所示，结合图形知x052,1．

故填52,1．

【例3【】2015高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy中，以点1,0为圆心且与直线mxy2m10mR相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 ． 【答案】x1y22

【解析】解法一（几何意义）：动直线mx2y2m10整理

得mx2y10，则l经过定点M2,1，故满足题意的圆与l切于M时，半径最大，从而

2

r2121022，故标准方程为

x12y22．

解法二（代数法——基本不等式）：

由题意rdm1m22m12mm21m211m21 12122m1m2m1，当且仅当m1时，取

m“”．故标准方程为x12y22．

解法三（代数法——判别式）：由题意

rdm1m22m1m22m21m21，设tm1m21，则t1m22mt10，mR，224t120，解得0t2，dmax2．

【例4】【2015高考广东卷】已知过原点的动直线l与圆C1:x2y26x50相交于不同的两点A，B．

（1）求圆C1的圆心坐标；

（2）求线段AB的中点M的轨迹C的方程；

（3）是否存在实数k，使得直线l:yk(x4)与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．

2【答案】（1）3,0；（2）x3295y243x3；（3）

k334,4257,257． 【解析】（1）由x2y26x50得x32y24，所以圆C1的圆心坐标为3,0；

（2）设Mx,y．因为点M为弦AB中点，即C1MAB，

3

所以kC1MkAB1，即

yy1，所以线段AB的中点Mx3x2395的轨迹的方程为xy2x243（3）由（2）知点M的轨迹是以C3； 33,0为圆心，r为半

22525E径的部分圆弧EF（不包括两端点），且3,3，525F3,3．又直线l:ykx4过定点D4,0， 3k40当直线l与圆C相切时，由2k21233得k． 42又

kDEkDF2503255743，所以当

33k,442525,时，直线l:ykx4与曲线77C只有一个交点．

III．理论基础·解题原理

考点一 与截距有关的圆的最值问题

形如taxby形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题． 考点二 与斜率有关的圆的最值问题

形如yb形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题． xa考点三 与距离有关的圆的最值问题

在运动变化中，动点到直线、圆的距离会发生变化，在变化过程中，就会出现一些最值问题，如距离最小，最大等．这些问题常常联系到平面几何知识，利用数形结合思想可直接得到相关结论，解题时便可利用这些结论直接确定最值问题．常见的结论有：

（1）圆外一点A到圆上距离最近为AOr，最远为AOr；

4

（2）过圆内一点的弦最长为圆的直径，最短为该点为中点的弦；

（3）直线与圆相离，则圆上点到直线的最短距离为圆心到直线的距离dr，最近为dr； （4）过两定点的所有圆中，面积最小的是以这两个定点为直径端点的圆的面积． （5）直线外一点与直线上的点的距离中，最短的是点到直线的距离；

（6）两个动点分别在两条平行线上运动，这两个动点间的最短距离为两条平行线间的距离． 考点四 与面积相关的最值问题

与圆有关的最值问题，因与平面几何性质联系密切，且与圆锥曲线相结合的命题趋势，使与圆相关的最值问题成为命题宠儿．与圆的面积的最值问题，一般转化为寻求圆的半径相关的函数关系或者几何图形的关系，借助函数求最值的方法，如配方法，基本不等式法等求解，有时可以通过转化思想，利用数形结合思想求解． IV．题型攻略·深度挖掘 【考试方向】

这类试题，通常以选择题或填空题的形式出现，试题难度不大，多为容易题、中档题；若以解答题的形式呈现，则有一定难度． 【技能方法】

1．数形结合法

处理与圆有关的最值问题，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解． 研究与圆有关的最值问题时，可借助图形的性质，利用数形结合求解．常见的最值问题有以下几种类型：①形如yb形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；②形如taxby形式的最值问题，可转化xa2

2

为动直线截距的最值问题；③形如(x－a)＋(y－b)形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．

2．建立函数关系求最值

根据题目条件列出关于所求目标函数的关系式，然后根据关系的特点选用参数法、配方法、判别式法等进行求解．

2．利用基本不等式求解最值

如果所求的表达式是满足基本不等式的结构特征，如ab或者ab的表达式求最值，常常利用题设条件建立两个变量的等量关系，进而求解最值．同时需要注意，“一正二定三相等”的验证． V．举一反三·触类旁通

考向1 与斜率有关的圆的最值问题

【例1】如果直线2axby140a0,b0和函数fxmx11m0,m1的图象恒过同一个定点，

5

且该定点始终落在圆xa1yb225的内部或圆上，那么

34343422b的取值范围是 a34A．， B．， C．， D．，

43434343【答案】C

【例2】已知圆C:xy8x150，直线ykx2上至少存在一点P，使得以点P为原心，半径为1的圆与圆C有公共点，则k的最小值是 （ ） A．224535 B． C． D． 3453【答案】A

【解析】试题分析：因为圆C的方程为xy8x150，整理得x4y21，所以圆心为C4,0，

222半径为r1，又因为直线ykx2上至少存在一点P，使得以点P为圆心，半径为1的圆与圆C有公共点，所以点C到直线ykx2的距离小于或等于2，所以4k02k212，化简3k24k0，解得4k0，所3以k的最小值是【跟踪练习】

4，故选A． 31．已知实数x、y满足x+y=4，则

22

2xy的最小值为 （ ）

xy2A．222 B．222 C．222 D．222 【答案】A

6

2．在平面直角坐标系xy中，圆C1:x1y625，圆C2:x17y30r2．若圆C2上存在一点P，使得过点P可作一条射线与圆C1依次交于点，，满足2，则半径r的取值范围是_______． 【答案】5,55

【解析】由题，知圆C1的圆心为(1,6)，半径为5，圆C2的圆心为(17,30)，半径为r，两圆圆心距为可知当AB为圆C1的直径时取得最大值，所以当点P位于点P1所在位置时r(171)2(306)230，如图，

取得最小值，当点P位于点P2所在位置时r取得最大值．因为|AB|max10，|PA|2|AB|，所以rmin5，

2222rmax55．

3．过点M1,2的直线l与圆C：x3y425交于A,B两点，C为圆心，当ACB最小时，直线l的方程是 ． 【答案】: xy30

【解析】：要使ACB最小，由余弦定理可知，需弦长AB最短．要使得弦长最短，借助结论可知当M1,2为弦的中点时最短．因圆心和M1,2所在直线的k22421，则所求的直线斜率为1，由点斜式可得31y1(x2)xy30．

7

【点评】此题通过两次转化，最终转化为求过定点的弦长最短的问题．

4．若圆C：xy2x4y30关于直线2axby60对称，则由点（a，b）向圆所作的切线长的最小值是_____________． 【答案】4

22【点评】与切线长有关的问题及与切线有关的夹角问题，解题时应注意圆心与切点连线与切线垂直，从而得出一个直角三角形．

考向2 与截距有关的圆的最值问题 【例3】【2017北京海淀模拟】设为不等式点，则的取值范围是_____． 【答案】

或者

到直线

的距离

，解之得

，应填答案

．

表示的平面区域，直线

与区域有公共

【解析】由题设【跟踪练习】

1．【2017江苏南通高三第三次调研考试】在平面直角坐标系xOy中，已知点

上一动点，则

【答案】2

的最大值是____．

，点，为圆

【解析】设点P（x，y），则

=

8

而表示圆上一点与点的斜率，所以当过点的直线与圆相切时取得最值，设直线：

由d=r得所以的最大值时，故=

点睛：首先根据问题将的表达式列出来，做最值问题的小题，首先得明确问题表达式，然后根据函数或者基本

不等式求解最值，本题解题关键在于，写出表达式后要将其化为斜率的定义求法来理解从而求得结论． 2．【2018安徽六安模拟】若直线y （ ）

A．(1,2) B．(21,21) C．(1,21) D．(2,21)

x1m与曲线y224x2恰有三个公共点，则实数m的取值范围是

x1m与曲线y|4x2|恰有三个公共点，实数m的取值范围，可以转化为直 22x1线ym的图象与曲线y|4x2|的图象有三个交点时实数m的取值范围，作出两个函数

221的图象，通过图象观察临界直线，从而求出m的取值范围；本题曲线y|4x2|的图象是易错点，

2思路分析：直线y画图时要分类讨论，知图象由椭圆的上一部分与双曲线的上部分组成．

3．【2018湖北稳派教育高三上学期第二次联考】已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，且y轴和直线x3y20均与圆C相切． (1)求圆C的标准方程；

(2)设点P0,1，若直线yxm与圆C相交于M，N两点，且MPN为锐角，求实数m的取值范围． 【答案】（1）x2y24；（2）222,21515． (,222）22 9

试题解析：

（1）设圆C的标准方程为：故由题意得，解得，

∴圆C 的标准方程为：（2）由{．

yxmx22y42 消去y整理得

．

∵直线yxm与圆C相交于M，N两点，∴

，解得，

设，则．∴

依题意得PMPNx1x2y11y21x1x2x1m1x2m1

2x1x2m1x1x2m10，∴m2m12mm10，整理得m2m10，

解得

或

．又

，∴222m2215或215m222．故实数m的取值范围是2222．

点睛：（1）对于BAC为锐角的问题（或点A在以BC为直径的圆外，或AB＋ACBC），都可转化为

ABAC0，然后坐标化，转化为代数运算处理．

（2）对于直线和圆位置关系的问题，可将直线方程和圆的方程联立消元后根据所得的二次方程的判别式、根据系数的关系，借助于代数运算处理．解题时注意“设而不求”、“整体代换”等方法的运用，以减少计算量、提高解题速度．

考向3 与距离有关的圆的最值问题

【例4】【2018广西南宁模拟】在平面直角坐标系xOy中，已知x12y125，x22y240，则

10

2x1x2y1y2A．22的最小值为（ ）

51151121 B． C． D． 5555【答案】B

【跟踪练习】

1．【2018江西赣州红色七校一联】已知圆C：

上，且圆C上的点到直线

A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】圆的方程为

，圆心为

①

，

的距离的最大值为

，则

（a<0）的圆心在直线的值为（ ）

圆C上的点到直线由①②得

的距离的最大值为

，a<0，故得

，

=3．

②

点睛：圆上的点到直线的距离的最大值，就是圆心到直线的距离加半径；再就是二元化一元的应用．

2．【2018山西临汾一中、忻州一中、长治二中、康杰中学模拟】已知A2,0，直线4x3y10被圆

C:x3ym13(m3)所截得的弦长为43，且P为圆C上任意一点，则PA的最大值为（ ）

A．2913 B．513 C．2713 D．2913 【答案】D

223m11162【解析】根据弦心距、半径、半弦长的关系得： (23）=13，解得： m2或m (舍去)，

53当m2时， PA的最大值PCr2913，故选D．

3．【2017辽宁辽南协作校一模】圆x+y-4x-4y-10=0上的点到直线x+y-8=0的最大距离与最小距离的差是（ ）

2

2

2 11

A．18 B．6【答案】C

C．52 D．42

4．【2017安徽宣城二模】已知P是圆xy4上一点，且不在坐标轴上， A2,0， B0,2，直线PA与

22y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，则AN2BM的最小值为__________．

【答案】8

【解析】设点P2cos,2sin，则直线PA的方程： y2sinsin0,x2，则M

cos1cos1同理N2cos4sin2cos,0，则AN2BM 6的最小值为8． sin1cos1sin125．【2107吉林省延边州模拟】点N是圆x5y21上的动点，以点A3,0为直角顶点的RtABC另外两顶B,C在圆xy25上，且BC的中点为M，则MN的最大值为__________．

22【答案】

1541 2【解析】

12

x2y236．【2017山东济宁3月模拟考试】在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： 221(ab0)的离心率是，2ab且直线l1：

xy1被椭圆C截得的弦长为5． ab（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）若直线l1与圆D： xy6x4ym0相切： （i）求圆D的标准方程；

（ii）若直线l2过定点3,0，与椭圆C交于不同的两点E、F，与圆D交于不同的两点M、N，求EFMN的取值范围．

22x222y21；【答案】（I）（II）（i）x3y25；（ii）0,8． 4【解析】试题分析：（Ⅰ）由直线l1过定点a,0， 0,b，可得到a2b25，再结合

c3，即可求出椭圆a2的方程；（Ⅱ）（i）利用圆的几何性质，求出圆心到直线l1的距离等于半径，即可求出m的值，即可求出圆D的标准方程；（ii）首先设直线l2的方程为ykx3，利用韦达定理即可求出弦长EF的表达式，同理利用圆的几何关系可求出弦长MN的表达式，即可得到EFMN的表达式，再用换元法t14k1,，即可求

5出EFMN的取值范围．

22试题解析：（Ⅰ）由已知得直线l1过定点a,0， 0,b， ab5，

29x2c322222y21． 又， abc，解得a4， b1，故所求椭圆C的标准方程为

a24（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）得直线l1的方程为

xy1，即x2y20，又圆D的标准方程为213

x3y213m，∴圆心为3,2，圆的半径r∴圆D的标准方程为x3y25．

2222322212225，

（ii）由题可得直线l2的斜率存在，设l2： ykx3，与椭圆C的两个交点为Ex1,y1、Fx2,y2，

ykx3,由{x24y21,消去y得14k2x224k2x36k240，由0，得0k21， 524k236k24x1x2， x1x2， 2214k14k2∴EF1kx1x24x1x221k224k2236k24442214k14k3k23kk121k15k．

14k2222又圆D的圆心3,2到直线l2： kxy3k0的距离d2k12，

5k21∴圆D截直线l2所得弦长MN2rd2， 2k122∴EFMN41k15k214k22225k218k21125k414k22，

t1125219t14129250设t14k1,， k2，则EFMN825， 25tt4t∵y9x50x25的对称轴为x222255，在,1上单调递增， 0y16， 9911∴09502516，∴0EFMN8．

tt【点睛】本题考查了椭圆方程的求法，考查了直线与圆锥曲线，直线与圆的位置关系，常采取联立直线和圆锥曲线方程，利用一元二次方程的根与系数关系求解，对于直线与圆的位置关系，常采取圆的几何性质较多，运算量较少点，圆锥曲线类的题目的特点就是运算量大，要求学生具有较强的运算能力，属于难题． 考向4 与面积相关的最值问题

14

【例5】 在平面直角坐标系中，A,B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2xy40相切，则圆C面积的最小值为_______________． 【答案】

45【例6】动圆C经过点F(1,0)，并且与直线x1相切，若动圆C与直线yx221总有公共点，则圆C的面积的最小值_________________． 【答案】4

【解析】设圆心为(a,b)，半径为r，即(a1)b(a1)，即ar|CF||a1|，

2221212∴圆心为(b,b)，b，44b2|b221|2b121，∴b2(223)或rb1，圆心到直线yx221的距离为d44421b2，当b2时，rmin412，∴Sminr24．

4【跟踪练习】

1．设m,nR，若直线mxny10与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且l与圆xy4相交所得弦的长为2，O为坐标原点，则ABO面积的最小值为_____________． 【答案】3

【解析】l与圆相交所得弦的长为2，故弦心距

22d1m2n222123，所以

m2n211112mn，mn，l与x轴相交于点A,0，与y轴相交于点B,0， 36mnSAOB1111111OAOB63． 22mn2mn2222．【2017届高三七校联考期中考试】已知直线l:xy1与圆M：xy2x2y10相交于A，C两点，点B，D分别在圆M上运动，且位于直线AC两侧，则四边形ABCD面积的最大值为 ． 【答案】30

15

3．【2017河南安阳二模】已知圆积的最大值为（ ） A．

B．

C．

：，动点在圆：上，则面

D．

【答案】B 【解析】因为

面积最大，其最大值为

，所以

，应选答案B．

222222，当时， 的

4．【2018河南洛阳模拟】已知两动圆F1:(x3)yr和F2:(x3)y(4r)(0r4)，把它们的公共点的轨迹记为曲线C，若曲线C与y轴的正半轴的交点为M，且曲线C上的相异两点A,B满足：

MAMB0．

（1）求曲线C的方程；（2）证明直线AB恒经过一定点，并求此定点的坐标； （3）求ABM面积S的最大值．

x2364y21 ；【答案】（1）（2）证明见解析，定点坐标为N(0,)；（3）．

525 4【解析】

试题分析：（1）设两动圆的公共点为Q，则有QF1QF24(F1F2) ，根据椭圆的定义可知Q的轨迹为椭圆，由此求出轨迹方程；（2）先求出M(0,1)，设A(x1,y1),B(x2y2)，当直线AB斜率存在时设直线方程为ykxm 与椭圆方程联立，由韦达定理计算MAMBx1x2(kx1m1)(kx2m1)0得m33，所以直线恒过定点N(0,)，

55验证当直线AB斜率不存在时也过此点即可；（3）将三角形面积分割成两部分进行计算，即△ABM面积

SSMNASMNB13225k24，令t25k4，换元，由基本不等式即可求出面积的最大值． MNx1x222514k2 16

试题解析： （1）设两动圆的公共点为Q，则有QF1QF24(F1F2)．由椭圆的定义可知Q的轨迹为椭圆，

x2a2,c3．所以曲线C的方程是：y21．

4（2）证法一：由题意可知：M(0,1)，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，

当AB的斜率不存在时，易知满足条件MAMB0的直线AB为：x0过定点N(0,) 3当AB的斜率存在时，设直线AB：ykxm，联立方程组：

x2y21①，把②代入①有：(14k2)x28kmx4m240 4ykxm②x8km4m241x214k2③，x1x214k2④，

因为MAMB0，所以有x1x2(kx1m1)(kx2m1)0，

(1k2)x1x2k(m1)(x1x2)(m1)20，把③④代入整理：

(1k2)4m2414k2k(m1)8km214k2(m1)0，（有公因式m－1）继续化简得：

(m1)(5m3)0，m35或m1（舍）， 综合斜率不存在的情况，直线AB恒过定点N(0,35)．

证法二：（先猜后证）由题意可知：M(0,1)，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，

如果直线AB恒经过一定点，由椭圆的对称性可猜测此定点在y轴上，设为N(0,m)；取特殊直线MA:yx1，则直线MB的方程为yx1，

x2解方程组y21得点A(8,3)，同理得点B(8,345555)，

yx1此时直线AB恒经过y轴上的点N(0,35) 5 17

下边证明点N(0,35)满足条件MAMB0 当AB的斜率不存在时，直线AB方程为：x0， 点A、B的坐标为(0,1)，满足条件MAMB0； 当AB的斜率存在时，设直线AB：ykx35，联立方程组： x24y21①，把②代入①得：(14k2)x224kx640 ykx35255②xk1x2245(14k2)③，x1x64225(14k2)④， 所以MAMBx1x2(y11)(y21)x1x2(kx8815)(kx25) (1k2)x8k1x25(xx642)25(1k2648k24k641)25(14k2)55(14k2)250 （3）△ABM面积SS△MNAS12MNx4△MNB＝1x2＝5(x1x2)24x1x2 由第（2）小题的③④代入，整理得：S3225k242514k2 因N在椭圆内部，所以kR，可设t25k242，S32t324t29(t2) 4t9t4t9t252，S646425（k0时取到最大值）．所以△ABM面积S的最大值为25．考点：1．椭圆的定义与几何性质；2．直线与椭圆的位置关系；3．基本不等式． 考向5 与圆有关的最值问题综合题

【例7】已知实数x，y满足方程x2

＋y2

－4x＋1＝0，求： （1）yx的最大值和最小值； （2）y－x的最大值和最小值； （3）x2

＋y2

的最大值和最小值．

18

【点评】研究与圆有关的最值问题时，可借助图形的性质，利用数形结合求解．常见的最值问题有以下几种类型：①形如μ＝

y－b形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；②形如t＝ax＋by形式的最值问题，可x－a2

2

转化为动直线截距的最值问题；③形如(x－a)＋(y－b)形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．

x2y21上的点，则P,Q两点间的最大距离是【例8】设P,Q分别为xy62和椭圆1022________________． 【答案】62

【例9】设mR，过定点A的动直线xmy0和过定点B的动直线mxym30交于点P(x,y)，则

|PA||PB|的最大值是 ．

【答案】5

19

【跟踪练习】

1．【2018广西桂林柳州模拟】已知圆C1:x2ay24和圆C2:x2yb1只有一条公切线，若a,bR且ab0，则

22112的最小值为（ ） 2abA．2 B．4 C．8 D．9 【答案】D

【易错点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．

2．【2017甘肃兰州高三第一次诊断性考试】已知圆圆上存在点，使得

和两点

，

，

，若

，则当取得最大值时，点的坐标是（ ）

A． B． C． D．

【答案】D 【解析】设

为圆上一点，由题意知，

，

所以

，

，即，

，所以

，故选D．

，

，

所在直线倾斜角为30，所以的纵坐标为，的横坐标为

223．【2018黑龙江海林朝鲜中学】已知两点Aa,0， Ba,0（a0），若曲线xy23x2y30上

20

存在点P，使得APB90，则正实数a的取值范围为（ ） A．0,3 B．1,3 C．2,3 D．1,2 【答案】B



4．【2017吉林吉林大学附中高三第七次模拟】已知圆C： x32y11和两点At，0，

2PB0，则t的最小值为（ ） Bt，0(t0)，若圆C上存在点P，使得PA·A．3 B．2 C．3 D．1 【答案】D

【解析】由题意可得点P的轨迹方程是以AB位直径的圆，当两圆外切时有：

312tmin1tmin1，

2即t的最小值为1．本题选择D选项．

点睛：在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念及其几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围

5．【2017天津河西区二模】若直线axby20（a0， b0）被圆xy2x4y10截得的弦长

2211的最小值为（ ） ab313A．2 B．2 C． D．22 242为4，则【答案】A

【解析】由题意得x1y24 ，所以直线axby20过圆心，即a2b20,a2b2 ，

221111a2b12ba12ba322因此 ，选A． 323abab22ab2ab2点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．

21

6．【2018安徽合肥一中、马鞍山二中等六校教育研究会上学期第一次联考】从直线yx上一动点出发的两条射线恰与圆C:x2y21都相切，则这两条射线夹角的最大值为__________． 【答案】

2 2【解析】

7．若在圆O:x2y21上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是________． 【答案】[1,1]

【解析】由题意知：直线MN与圆O有公共点即可，即圆心O到直线MN的距离小于等于1即可，如图，

过OA⊥MN，垂足为A，在RtOMA中，因为∠OMN=45，所以|OA||OM|sin45=解得|OM|2|OM|1， 222，因为点M（x0，1），所以|OM|x012，解得1x01，故x0的取值范围是

[1,1]．

8．【湖北省黄石市2017届高三年级九月份调研，10】圆xy2axa40和圆xy4by14b0恰有三条公切线，若aR,bR，且ab0，则【答案】1

222222112的最小值为 ． 2ab 22

9．【2017江苏苏北三市（连云港、徐州、宿迁）高三年级第三次调研】在平面直角坐标系

．若圆

【答案】

(或

存在以

为中点的弦)

，且

，则实数

中，圆：

的取值范围是__________．

【解析】由于原C存在以G位中点的弦AB，且AB=2GO，故点分别为B，D，圆上要存在满足题意的点A，只需

， 如图所示，过点O作圆C的两条切线，切 ，即

，连结CB，由

可得：

， ．

10．【2016-2017学年天津市静海县第一中学高二上学期期末五校联考理】 在平面直角坐标系

中，直线

被圆

截得的弦的中点为，且满足

，当

取得最大值时，直线的方程是__________．

23

【答案】

24