江苏省2019年高考数学 小专题2---隐圆问题

一【问题背景】

有些数学问题，将圆隐藏在已知条件里，隐晦地考查点和圆、直线和圆、圆和圆的位置关系．解题时，需要我们通过分析探索，发现这些隐藏的圆（简称隐圆），再利用和圆有关的一些知识进行求解．

二、【范例】

1.点和隐圆

例1 在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：xy6x50，点A,B在圆C上，且

22AB23，则OAOB的最大值是 ．

分析与解：圆C即(x3)y4，圆心为(3,0)，半径为2． 如图，取AB中点D，连结CD，则结合垂径定理和勾股定理 易得CD1．因此动点D在以C(3,0)为圆心，1为半径的圆上运 动，此圆方程为：(x3)y1．

另一方面，由于D为AB的中点，所以OAOB2OD，

则OAOB2OD，因而只要求圆(x3)y1上一动点D到定点O距离的最大值，易知此最大值为OC14，故OAOB的最大值是8． 说明：OAOB的最小值是2(OC1)4．

例2 在平面直角坐标系xOy中，已知圆O:xy16，点P(1,2)，M,N为圆O上的不同的两点，且PMPN0，若PQPMPN，则PQ的最小值为 ．

解：如图，取MN中点A，连结OA，ON， 则PQPMPN2PA，

设A(x,y)，因为A为MN的中点，所以OAMN， 则ANONOA16(xy)，

1

2222222222222xADOCBxyMAPONx又因为PMPN0，所以PAAN，

22即(x1)(y2)16(xy)，所以 (x)(y1)22221227， 433的圆上运动， 显然定点P(1,2)在此圆内，212272因而求PA 的最小值即为求定点P(1,2)与圆B：(x)(y1)上一点距离的最

24故点A在以B(,1)为圆心，半径R小值，易知此最小值为123353BP3，故PQ的最小值为335． 222说明：PQ的最大值为335．

2.直线和隐圆

例3 已知动点M与两个定点O(0,0),A(3,0)的距离之比为取值范围是 ．

1，那么直线AM的斜率的2x2y21MO1， 解：先求动点M的轨迹方程．设M(x,y)，由得

MA2(x3)2y22整理得(x1)y4，即动点M在以B(1,0)为圆心，2为半径的圆上运动． 当直线AM与圆B相切时，设斜率为k，则其方程为yk(x3)，

22根据

4kk212得k3，结合图形可知，直线AM的斜率的取值范围是3[33,]． 33说明：到两定点距离之比（不为1）等于已知数的动点轨迹为圆，这个圆称为阿波罗尼斯圆．

例4在平面直角坐标系xOy中，设点A(1,0),B(3,0),C(0,a),D(0,a2)，若存在点P，使得PA2PB,PCPD，则实数a的取值范围是 ．

22解：设P(x,y)，则(x1)y222(x3)2y2 ，

整理得(x5)y8，即动点P在以(5,0)为圆心，22为半径的圆上运动． 另一方面，由PCPD知动点P在线段CD的垂直平分线ya1上运动，因而问题就转化为直线ya1与圆(x5)y8有交点，

22 2

所以a122，故实数a的取值范围是[221,221]．

3.圆和隐圆

例5在平面直角坐标系xOy中，点A0,3，直线l：y2x4.设圆的半径为1 ，圆心在l上.

若圆C上存在点M，使MA2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围.

解： 设Ca,2a4，则圆方程为xay2a41 又设M(x0,y0)，

22MA2MO x02y034x024y02， 即

2x02y014

这说明M既在圆xay2a41上，又在圆xy14上，因而这

22222两个圆必有交点，即两圆相交或相切，

21解得0a 例6 已知

a02a4(1)2221，

1212，即a的取值范围是[0,]． 55M：(x1)2(y4)24，若过x轴上的一点P(a，0)可以作一直线与My相交于A,B两点，且满足PABA，求a的取值范围． 解法1：如图3，过点B作

BM的直径BD，连结DA,DP ， M存在点D即可．

DMA要存在满足条件的点P，只要

由于BAD90，PABA，所以DPDB4， 因而点D在以P(a，0)为圆心，4为半径的上运动，这说明点D同时在

22P:(xa)2y216

O图3 M和P上，因而两个圆必有交点，

Px0(a1)(40)42，

，25． 解得a的取值范围是1251解法2：设A(x,y)，则B(2xa,2y)． 因为点

B在

M上，所以

(2xa1)2(2y4)24，即

(xa12)(y2)21()， 2这表明点A在方程()表示的圆上，又点A在M上，因此这两个圆有公共点，

3

21(a11)2(24)212， 2，25． 解得a的取值范围是1251

三、【练习】

1．在平面直角坐标系xOy中，若满足x(xk)y(ky)的点(x,y)都在以坐标原点为圆心，2 为半径的圆及其内部，则实数k的取值范围是________

答案：[2,2]

2．若圆x2y24x4y100上至少有三个不同点到直线l:axby0的距离为

22,则直线l斜率的取值范围是___________.

答案：[23,23]

3. 在平面直角坐标系xOy中，若与点A(2,2)的距离为1且与点B(m,0)的距离为3的直线恰有两条，则实数m的取值范围为__________

答案：(223,2)2,223

4. 若实数a,b,c成等差数列，点P(1,0)到动直线axbyc0上的射影为M，已知点N(3,3)，则线段MN长度的最大值为____________

答案：10

5. 已知l1和l2是平面内互相垂直的两条直线，它们的交点是A，动点B,C分别在l1和l2上，且BC32，过A,B,C三点的动圆所形成的区域的面积为__________ 答案：18

解析：A,B,C三点的动圆在以BC为直径的圆上，以AB的中点M为圆心，M点的轨迹是以A为圆心，径的圆．

32为半径的圆，所以动圆所形成的区域是是以A为圆心，32为半2 4