大学生数学竞赛(非数)试题及答案

：业专 ：级年 线 封 ：校院在 所密 ： 号证份身 ：名姓

考试形式： 闭卷 考试时间： 120 分钟 满分： 100 分.

题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 满 分 10 10 15 20 5 10 15 15 100 得 分 注意： 1

.所有答题都须写在此试卷纸密封线右边，写在其它纸上一律无效. 2.密封线左边请勿答题，密封线外不得有姓名及相关标记.

得分 一、填空（每小题5分，共20分）.

评阅人 (1)计算1xlimcosx0x(1cosx)= .

(2)设f(x)在x2连续，且limf(x)3x2x2存在，则f(2)= . (3)若f(t)limt(11x)2txx，则f(t) .

(4)已知f(x)的一个原函数为ln2x，则xf(x)dx= . （1）

12. (2) 3 . (3)(2t1)e2t . (4)2lnxln2xC.

得分 二、（5分）计算

yx2dxdy，其中

D 评阅人 D：0x1，0y1.

解：

yx2dxdy=

D(x2y)dxdy+

(yx2)dxdy -------- 2分

D1:yx2D2:yx2=1x2110dx0(x2y)dy+0dxx2(yx2)dy -------------4分

=

1130 -------------5分.

得分 三、（10分）设ysin[f(x)]，其中f具有二阶

2评阅人 解：

d2y导数，求2.

dxdy2xf(x2)cos[f(x2)],---------------3分 dxd2y2222222222f(x)cos[f(x)]4xf(x)cos[f(x)]4x[f(x)]sin[f(x)]-----7分 2dx=2f(x)cos[f(x)]4x{f(x)cos[f(x)][f(x)]sin[f(x)]}---------10分.

22222222得分 评阅人 四、（15分）已知 解：

lna0ex32exdx1，求a的值. 3lna01lnae32edx32exd(32ex)---------3分

20xx令32ext，所以

lna0ex32exdx332a1132atdt---------6分

2112=t223------------7分

1=[(32a)31]，-----------9分

3lna111由ex32exdx，故[(32a)31]=，-----------12分

0333即(32a)3=0-----------13分 亦即32a0-------------14分

3所以a -------------15分.

2

得分 评阅人

解：原方程可化为

五、（10分）求微分方程xyyex0 满 足条件yx1e 的特解.

专业： 1exyy-----------2分

xx

这是一阶线性非齐次方程，代入公式得

11xxdxexdxyeedxC----------4分

x年级： 线 =e =

lnxexlnxedxC----------5分 x封 1exdxC-----------6分 x1x(eC).---------------7分 x

所以原方程的通解是y

再由条件yx1 =

所在院校： 密 1x(eC).----------8分 xe，有eeC，即C0，-----------9分

身份证号： ex因此，所求的特解是y.----------10分.

x

得分 评阅人 六（10分）、若函数f(x)在(a,b)内具有二阶导

)数，且f(1xf(2x)f3，(x其)中

a1x2x3x，证明：在b(x1,x3)内至少有一点，使f()0。

姓名： 证：由于f(x)在(a,b)内具有二阶导数，所以f(x)在[x1,x2]上连续， 在(x1,x2)内可导，再根据题意f(x1)f(x2)，

： 业专 ：级 年线 封 ：校院在 所密 ：号证 份 身 ：名由罗尔定理知至少存在一点1(x1,x2)，使f(1)=0；--------3分 同理，在[x2,x3]上对函数f(x)使用罗尔定理得至少存在一点2(x2,x3)，使f(2)=0；---------6分

对于函数f(x)，由已知条件知f(x)在[1，2]上连续，在（1，2）内可导，且f(1)=f(2)=0，由罗尔定理知至少存在一点（1，2），使f()0，而1，2）(x1,x3)，故结论得证----------10分.

得分 七、（15分）已知曲线yex，ysinx和直线

评阅人 x0 ，x1围成平面图形D.

（1）求平面图形D的面积A；

（2）求D绕x轴旋转所成立体的体积. 解：（1）A10(exsinx)dx-----------2分

(excosx)10-----------4分 ecos12-----------5分

（2）因为Vxbaf2(x)dx，-----------6分

所以Vx10(e2xsin2x)dx-----------9分

1=112e2x2x14sin2x------------11分

0=1(e21121)24sin2-----------13分

=12(e212sin2)1 .--------------15分.

得分 八、（15分）设uf(x,y,z)有连续的一阶

评阅人 偏导数，又函数 yy(x)及zz(x)分别由

下列两式确定： xzsintduexyxy2和ex. dt，求

0tdx解：

duffdyfdz， （1）---------4分 dxxydxzdx由exyxy2两边对x求导，得

dydy)(yx)=0，--------------7分 dxdxdyy即  ---------------9分

dxxxzsintx又由edt两边对x求导，得

0tsin(xz)dzex(1)，-----------11分

xzdxexy(yxdzex(xz)1即 -----------13分 dxsinx(z)dufyfex(xz)f将其代入（1）式，得 1z.-----------15分.

dxxxysin(xz)