鄂尔多斯市民族中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． O为坐标原点，F为抛物线A．1
B．
C．
D．2
P是抛物线C上一点， 的焦点，若|PF|=4，则△POF的面积为（ ）
2． 一个几何体的三个视图如下，每个小格表示一个单位, 则该几何体的侧面积为（ ）
A.4 能力．
3． “x≠0”是“x＞0”是的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4． 已知函数f（x）是（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，且当x＜0时，函数的部分图象如图所示，则不等式xf（x）＜0的解集是（ ）
B.25
C. 5
D. 225
【命题意图】本题考查空间几何体的三视图，几何体的侧面积等基础知识，意在考查学生空间想象能力和计算
A．（﹣2，﹣1）∪（1，2） B．（﹣2，﹣1）∪（0，1）∪（2，+∞）
C．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，0）∪（1，2） D．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，0）∪（0，1）∪（2，+∞）
5． 已知函数
，函数
，其中b∈R，若函数y=f（x）
﹣g（x）恰有4个零点，则b的取值范围是（ ） A．6． 复数z=A．﹣i
B．
C．
D．
（其中i是虚数单位），则z的共轭复数=（ ） B．﹣﹣i C． +i
D．﹣ +i
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7． 已知函数f（x）=3cos（2x﹣A．导函数为
B．函数f（x）的图象关于直线C．函数f（x）在区间（﹣
，
），则下列结论正确的是（ ）
对称 ）上是增函数
个单位长度得到
D．函数f（x）的图象可由函数y=3co s2x的图象向右平移
8． 已知曲线C1：y=ex上一点A（x1，y1），曲线C2：y=1+ln（x﹣m）（m＞0）上一点B（x2，y2），当y1=y2时，对于任意x1，x2，都有|AB|≥e恒成立，则m的最小值为（ ） A．1
B．
C．e﹣1 D．e+1
=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=2相切，则此双曲线的离心率等于（ ）
D．2
9． 若双曲线A．
B．
﹣
C．
10．执行如图所示的程序框图，输出的结果是（ ）
A．15 B．21 C．24 D．35 11．已知函数f（x）=2x﹣
+cosx，设x1，x2∈（0，π）（x1≠x2），且f（x1）=f（x2），若x1，x0，x2成等
差数列，f′（x）是f（x）的导函数，则（ ） A．f′（x0）＜0 C．f′（x0）＞0
B．f′（x0）=0
D．f′（x0）的符号无法确定
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12．在“唱响内江”选拔赛中，甲、乙两位歌手的5次得分情况如茎叶图所示，记甲、乙两人的平均得分分别
，则下列判断正确的是（ ）
、
A．C．
＜＞
，乙比甲成绩稳定 ，甲比乙成绩稳定
B．D．
＜＞
，甲比乙成绩稳定 ，乙比甲成绩稳定
二、填空题
13．将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次，若第一次朝上一面的点数为a，第二次朝上一面的点数为b，则函
2
数y=ax﹣2bx+1在（﹣∞，2]上为减函数的概率是 ．
x2y214．已知过双曲线221(a0,b0)的右焦点F2的直线交双曲线于A,B两点，连结AF1,BF1，若
ab|AB||BF1|，且ABF190，则双曲线的离心率为（ ）
A．522 B．522 C．632 D．632
【命题意图】本题考查双曲线定义与几何性质，意要考查逻辑思维能力、运算求解能力，以及考查数形结合思想、方程思想、转化思想．
15．设p：f（x）=ex+lnx+2x2+mx+1在（0，+∞）上单调递增，q：m≥﹣5，则p是q的 条件．
16．函数f(x)（xR）满足f(1)2且f(x)在R上的导数f'(x)满足f'(x)30，则不等式
f(log3x)3log3x1的解集为 .
【命题意图】本题考查利用函数的单调性解抽象不等式问题，本题对运算能力、化归能力及构造能力都有较高要求，难度大.
17．如图所示，圆C中，弦AB的长度为4，则AB×AC的值为_______．
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CAB
【命题意图】本题考查平面向量数量积、垂径定理等基础知识，意在考查对概念理解和转化化归的数学思想． 18．已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，且满足以下条件： ①f（x）=axg（x）（a＞0，a≠1）； ②g（x）≠0；
③f（x）g'（x）＞f'（x）g（x）； 若
，则a= ．
三、解答题
19．（本题满分12分）如图1在直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=2，AC=4，D，E分别是AC，BC边上的中点，M为CD的中点，现将△CDE沿DE折起，使点A在平面CDE内的射影恰好为M． （I）求AM的长；
（Ⅱ）求面DCE与面BCE夹角的余弦值．
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20．（本题满分12分）设向量a(sinx,3(sinxcosx))，b(cosx,sinxcosx)，xR，记函数 2f(x)ab.
（1）求函数f(x)的单调递增区间；
（2）在锐角ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.若f(A)
21．已知集合A={x|x＜﹣1，或x＞2}，B={x|2p﹣1≤x≤p+3}． （1）若p=，求A∩B；
（2）若A∩B=B，求实数p的取值范围．
22．某校高一数学兴趣小组开展竞赛前摸底考试．甲、乙两人参加了5次考试，成绩如下： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 甲的成绩 乙的成绩 82 75 87 90 86 91 80 74 90 95 1，a2，求ABC面积的最大值. 2（Ⅰ）若从甲、乙两人中选出1人参加比赛，你认为选谁合适？写出你认为合适的人选并说明理由； （Ⅱ）若同一次考试成绩之差的绝对值不超过5分，则称该次考试两人“水平相当”．由上述5次摸底考试成绩统计，任意抽查两次摸底考试，求恰有一次摸底考试两人“水平相当”的概率．
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23．已知函数f（x）=xlnx+ax（a∈R）． （Ⅰ）若a=﹣2，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若对任意x∈（1，+∞），f（x）＞k（x﹣1）+ax﹣x恒成立，求正整数k的值．（参考数据：ln2=0.6931，ln3=1.0986）
24．（本题满分13分）已知函数f(x)（1）当a0时，求f(x)的极值；
（2）若f(x)在区间[,2]上是增函数，求实数a的取值范围.
【命题意图】本题考查利用导数知识求函数的极值及利用导数来研究函数单调性问题，本题渗透了分类讨论思想，化归思想的考查，对运算能力、函数的构建能力要求高，难度大.
12ax2xlnx. 213第 6 页，共 18 页
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鄂尔多斯市民族中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案） 一、选择题
1． 【答案】C
【解析】解：由抛物线方程得准线方程为：y=﹣1，焦点F（0，1）， 又P为C上一点，|PF|=4， 可得yP=3，
代入抛物线方程得：|xP|=2∴S△POF=|0F|•|xP|=故选：C．
2． 【答案】B
．
，
3． 【答案】B
【解析】解：当x=﹣1时，满足x≠0，但x＞0不成立． 当x＞0时，一定有x≠0成立， ∴“x≠0”是“x＞0”是的必要不充分条件． 故选：B．
4． 【答案】D
【解析】解：根据奇函数的图象关于原点对称，作出函数的图象，如图 则不等式xf（x）＜0的解为：
或
解得：x∈（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，0）∪（0，1）∪（2，+∞） 故选：D．
5． 【答案】 D
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【解析】解：∵g（x）=﹣f（2﹣x），
∴y=f（x）﹣g（x）=f（x）﹣+f（2﹣x）， 由f（x）﹣+f（2﹣x）=0，得f（x）+f（2﹣x）=， 设h（x）=f（x）+f（2﹣x）， 若x≤0，则﹣x≥0，2﹣x≥2，
2
则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2+x+x，
若0≤x≤2，则﹣2≤﹣x≤0，0≤2﹣x≤2，
则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2﹣x+2﹣|2﹣x|=2﹣x+2﹣2+x=2， 若x＞2，﹣x＜﹣2，2﹣x＜0， 作出函数h（x）的图象如图：
22
则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=（x﹣2）+2﹣|2﹣x|=x﹣5x+8．
22
当x≤0时，h（x）=2+x+x=（x+）+≥， 22
当x＞2时，h（x）=x﹣5x+8=（x﹣）+≥，
故当=时，h（x）=，有两个交点， 当=2时，h（x）=，有无数个交点，
由图象知要使函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点， 即h（x）=恰有4个根，
则满足＜＜2，解得：b∈（，4）， 故选：D．
【点评】本题主要考查函数零点个数的判断，根据条件求出函数的解析式，利用数形结合是解决本题的关键．
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6． 【答案】C 【解析】解：∵z=∴=故选：C．
．
=
，
【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．
7． 【答案】B
【解析】解：对于A，函数f′（x）=﹣3sin（2x﹣对于B，当x=
时，f（
）=3cos（2×
﹣
）•2=﹣6sin（2x﹣
），A错误；
）=﹣3取得最小值，
所以函数f（x）的图象关于直线对于C，当x∈（﹣
，
对称，B正确；
∈（﹣
，
），
）时，2x﹣
函数f（x）=3cos（2x﹣）不是单调函数，C错误；
个单位长度，
）的图象，
对于D，函数y=3co s2x的图象向右平移得到函数y=3co s2（x﹣
）=3co s（2x﹣
这不是函数f（x）的图象，D错误． 故选：B．
【点评】本题考查了余弦函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．
8． 【答案】C
【解析】解：当y1=y2时，对于任意x1，x2，都有|AB|≥e恒成立，可得：∴0＜1+ln（x2﹣m）≤∴1+ln（x2﹣m）≤x2﹣m， 令x2﹣m≤化为m≥x﹣e∴m≥e﹣1．
，
x﹣e
，x＞m+
=1+ln（x2﹣m），x2﹣x1≥e，
，∴．
∵lnx≤x﹣1（x≥1），考虑x2﹣m≥1时．
．
xexe
令f（x）=x﹣e﹣，则f′（x）=1﹣e﹣，可得x=e时，f（x）取得最大值．
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故选：C．
9． 【答案】B
【解析】解：由题意可知双曲线的渐近线方程之一为：bx+ay=0，
22
圆（x﹣2）+y=2的圆心（2，0），半径为
，
双曲线可得：
﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=2相切，
， a，
22
可得a=b，c=
e==．
故选：B．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线的渐近线与圆的位置关系的应用，考查计算能力．
10．【答案】C
【解析】【知识点】算法和程序框图 【试题解析】否，
则输出S=24． 故答案为：C 11．【答案】 A
否，
否，
是，
【解析】解：∵函数f（x）=2x﹣∴
，
+cosx，设x1，x2∈（0，π）（x1≠x2），且f（x1）=f（x2），
'
∴存在x1＜a＜x2，f（a）=0，
∴，∴，解得a=，
假设x1，x2在a的邻域内，即x2﹣x1≈0． ∵∴
，
，
∴f（x）的图象在a的邻域内的斜率不断减少小，斜率的导数为正， ∴x0＞a，
又∵x＞x0，又∵x＞x0时，f（x）递减，
''
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∴故选：A．
．
【点评】本题考查导数的性质的应用，是难题，解题时要认真审题，注意二阶导数和三阶导数的性质的合理运用．
12．【答案】A
【解析】解：由茎叶图可知
=（77+76+88+90+94）=，
=（75+86+88+88+93）==86，则
＜
，
乙的成绩主要集中在88附近，乙比甲成绩稳定，
故选：A
【点评】本题主要考查茎叶图的应用，根据平均数和数据的稳定性是解决本题的关键．
二、填空题
13．【答案】 ．
【解析】解：由题意，函数y=ax2
﹣2bx+1在（﹣∞，2]上为减函数满足条件
．∵第一次朝上一面的点数为a，第二次朝上一面的点数为b，
∴a取1时，b可取2，3，4，5，6；a取2时，b可取4，5，6；a取3时，b可取6，共9种∵（a，b）的取值共36种情况 ∴所求概率为=
．
故答案为：
．
14．【答案】B 【
解
析
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】
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15．【答案】 必要不充分
x
【解析】解：由题意得f′（x）=e++4x+m， x2
∵f（x）=e+lnx+2x+mx+1在（0，+∞）内单调递增， x
∴f′（x）≥0，即e++4x+m≥0在定义域内恒成立，
由于+4x≥4，当且仅当=4x，即x=时等号成立，
x
故对任意的x∈（0，+∞），必有e++4x＞5 x
∴m≥﹣e﹣﹣4x不能得出m≥﹣5
x
但当m≥﹣5时，必有e++4x+m≥0成立，即f′（x）≥0在x∈（0，+∞）上成立
∴p不是q的充分条件，p是q的必要条件，即p是q的必要不充分条件 故答案为：必要不充分
16．【答案】(0,3)
【解析】构造函数F(x)f(x)3x，则F'(x)f'(x)30，说明F(x)在R上是增函数，且
F(1)f(1)31.又不等式f(log3x)3log3x1可化为f(l3ox)g3lo3xg1，即
F(l3ox)gF(1)，∴log3x1，解得0x3.∴不等式f(log3x)3log3x1的解集为(0,3).
17．【答案】8
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18．【答案】
【解析】解：由所以
．
．
得
，
又由f（x）g'（x）＞f'（x）g（x），即f（x）g'（x）﹣f'（x）g（x）＞0，也就是
，说明函数
即故答案为
，故
．
是减函数，
【点评】本题考查了应用导数判断函数的单调性，做题时应认真观察．
三、解答题
19．【答案】解：（I）由已知可得AM⊥CD，又M为CD的中点， ∴
； 3分
（II）在平面ABED内，过AD的中点O作AD的垂线OF，交BE于F点， 以OA为x轴，OF为y轴，OC为z轴建立坐标系，
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可得
，
∴设
∴cos＜，
＞=
，
为面BCE的法向量，由
=
，5分 可得=（1，2，﹣
4分
），
，∴面DCE与面BCE夹角的余弦值为
20．【答案】
【解析】【命题意图】本题考查了向量的内积运算，三角函数的化简及性质的探讨，并与解三角形知识相互交汇，对基本运算能力、逻辑推理能力有一定要求，难度为中等.
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21．【答案】
【解析】解：（1）当p=时，B={x|0≤x≤}， ∴A∩B={x|2＜x≤}； （2）当A∩B=B时，B⊆A；
令2p﹣1＞p+3，解得p＞4，此时B=∅，满足题意； 当p≤4时，应满足解得p不存在；
综上，实数p的取值范围p＞4．
22．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）解法一：
，
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依题意有，
答案一：∵答案二：∵
∴从稳定性角度选甲合适．
乙的成绩波动大，有爆发力，选乙合适．
（注：按（Ⅱ）看分数的标准，5次考试，甲三次与乙相当，两次优于乙，所以选甲合适．
解法二：因为甲5次摸底考试成绩中只有1次90，甲摸底考试成绩不低于90的概率为； 乙5次摸底考试成绩中有3次不低于90，乙摸底考试成绩不低于90的概率为． 所以选乙合适．
（Ⅱ）依题意知5次摸底考试，“水平相当”考试是第二次，第三次，第五次，记为A，B，C．“水平不相当”考试是第一次，第四次，记为a，b．
从这5次摸底考试中任意选取2次有ab，aA，aB，aC，bA，bB，bC，AB，AC，BC共10种情况． 恰有一次摸底考试两人“水平相当”包括共aA，aB，aC，bA，bB，bC共6种情况． ∴5次摸底考试成绩统计，任意抽查两次摸底考试，恰有一次摸底考试两人“水平相当”概率
．
【点评】本题主要考查平均数，方差，概率等基础知识，运算数据处理能力、运算求解能力、应用意识，考查化归转化思想、或然与必然思想．
23．【答案】
【解析】解：（I）a=﹣2时，f（x）=xlnx﹣2x，则f′（x）=lnx﹣1． 令f′（x）=0得x=e，
当0＜x＜e时，f′（x）＜0，当x＞e时，f′（x）＞0，
∴f（x）的单调递减区间是（0，e），单调递增区间为（e，+∞）． （II）若对任意x∈（1，+∞），f（x）＞k（x﹣1）+ax﹣x恒成立，
则xlnx+ax＞k（x﹣1）+ax﹣x恒成立，即k（x﹣1）＜xlnx+ax﹣ax+x恒成立， 又x﹣1＞0，则k＜设h（x）=
对任意x∈（1，+∞）恒成立，
．
，则h′（x）=
设m（x）=x﹣lnx﹣2，则m′（x）=1﹣，
∵x∈（1，+∞），∴m′（x）＞0，则m（x）在（1，+∞）上是增函数．
∵m（1）=﹣1＜0，m（2）=﹣ln2＜0，m（3）=1﹣ln3＜0，m（4）=2﹣ln4＞0，
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∴存在x0∈（3，4），使得m（x0）=0， 当x∈（1，x0）时，m（x）＜0，即h′（x）＜0， 当x∈（x0，+∞）时，m（x）＞0，h′（x）＞0，
∴h（x）在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增， ∴h（x）的最小值hmin（x）=h（x0）=
．
=x0．
∵m（x0）=x0﹣lnx0﹣2=0，∴lnx0=x0﹣2．∴h（x0）=∴k＜hmin（x）=x0． ∵3＜x0＜4， ∴k≤3．
∴k的值为1，2，3．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，函数的最值，函数恒成立问题，构造函数求出h（x）的最小值是解题关键，属于难题．
24．【答案】
【解析】（1）函数的定义域为(0,)，因为f(x)12ax2xlnx，当a0时，f(x)2xlnx，则2111.令f'(x)20，得x.…………2分 xx2所以x,f'(x),f(x)的变化情况如下表：
111x (0,) (,) 222f'(x) 0 － ＋ f'(x)2f(x) 所以当x↘ 极小值 ↗ 11时，f(x)的极小值为f()1ln2，函数无极大值.………………5分
22第 17 页，共 18 页
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