1、已知正方形ABCD中,E为对角线BD上一点,过E点作EF⊥BD交BC于F,连接DF,G为DF中点,连接EG,CG.⑴求证:EG=CG;
⑵将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45º,如图②所示,取DF中点G,连接
A D
A G E G E E F B C D
A F D EG,CG.问(1)中的结论是否仍然成立?
若成立,请给出证明;若不成立,请说B F C B 图② 图①
⑶将图①中△BEF绕B点旋转任意角度,如图③所示,再连接相应的线段,问(1)中的结论是否仍然成立?通过观察
C 明理由.
图③
你还能得出什么结论?(均不要求证明)
3、如图⑴,已知正方形ABCD在直线MN的上方,BC在直线MN上,E是BC上一点,以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG.
G ⑴连接GD,求证:△ADG≌△ABE;
G
⑵连接FC,观察并猜测∠FCN的度数,并说明理由; ⑶如图(2),将图(1)中正方形ABCD改为矩形
D A D ABCD,AB=a,BC=b(a、b为常数),E是线段
BC上一动点(不含端点B、C),以AE为边
F
在直线MN的上方作矩形AEFG,使顶点G恰好
F
落在射线CD上.判断当点E由B向C运动时,∠FCN的大小是否总保持不变,若
M B C E N M B tanE ∠FCN的大小不变,请用含a、b的代数式表示∠FCN的值;若∠N 的大小发生改变,请举例说明.C FCN
AB4.已知:等边△ABC的边长为a.探究(1):如图1,过等边△ABC的顶点A、B、C依次作图(2) 、BC、CA的垂
图(1) 线围成△MNG,求证:△MNG是等边三角形且.MN3a; 探究(2):在等边∆ABC内取一点O,过点O分别作ODAB、OEBC、OFCA,垂足分别为点D、E、F. ①如图2,若点O是△ABC的重心,我们可利用三角形面积公式及等边三角形性质得到两个正确结论(不必证明):结论1.ODOEOF2.ADBECF3a;结论23a; 22是否仍然成立?如果成立,请给予证明;如果不成立,②如图3,若点O是等边△ABC内任意一点,则上述结论1、请说明理由.
5.已知:在ABC中,BCAC,动点D绕ABC的顶点A逆时针旋转,且ADBC,连结DC.过AB、DC的中点E、F作直线,直线EF与直线AD、BC分别相交于点M、N.
MMDF(N) CHAE图1
MNNCDFCFMNDBDFHACBAE图2
BAE图3
EB
⑴如图1,当点D旋转到BC的延长线上时,点N恰好与点F重合,取AC的中点H,连结HE、HF,根据三角形中位线定理和平行线的性质,可得结论AMFBNE(不需证明).
⑵当点D旋转到图2或图3中的位置时,AMF与BNE有何数量关系?请分别写出猜想,并任选一种情况证明. 6.已知∠ABC=90°,AB=2,BC=3,AD∥BC,P为线段BD上的动点,点Q在射线AB上,且满足PQAD(如图1所示).
PCAB(1)当AD=2,且点Q与点B重合A 图2所示),求线段PC的长; (2)在图中,联结AP.当ADP D A
P D A
P B
D 时(如
3,2C
C
且
C Q
点Q在线段AB上时,设点B,Q
B 之间的距离为x,
S△APQS△PBC(Q) B
图1 图2
y,其中S∆APQ表示△APQ的面积,S∆PBC表示∆PBC的面积,求y关Q
图3
于x的函数解析
式,并写出函数定义域;
(3)当AD A E C B D 图2 A AD为一边在AD的右侧作△ADE,使ADAE,DAEBAC,B .. CE. CE(1)如图1,当点D在线段BC上,如果BAC90°,则B(2)设BAC,BCE.①如图2,当点D在线段BC上移动,则之间有怎样的数量关系?请说明理由;②当点D在直线 D 图1 以 C 连接 E 度; A ,C 备用图 B C 备用图 BC上移动,则,之间有怎样的数量关系?请直接写 B 出你的结论. 8.如图①,四边形ABCD是正方形, 点G是BC上任意一点,DE⊥AG于点E,BF⊥AG于点F. (1) 求证:DE-BF = EF. (2) 当点G为BC边中点时, 试探究线段EF与GF之间的数量关系, 并说明理由. (3) 若点G为CB延长线上一点,其余条件不变.请你在图②中画出图形,写出此时DE、BF、EF之间的数量关系(不需要证明). 9.△ABC是等边三角形,点D是射线BC上的一个动点(点D不与点B、C重合),△ADE是以AD为边的等边三角形,过点E作BC的平行线,分别交射线AB、AC于点F、G,A A 连接BE. ⑴如图(a)所示,当点D在线段BC上时. F G E ①求证:△AEB≌△ADC;②探究四边形BCGE是怎样特殊的四边形?并说明理由; ⑵如图(b)所示,当点D在BC的延长线上时,直接写出(1)中的两个结论是否成立? ⑶在(2)的情况下,当点D运动到什么位置时,四边形BCGE是菱形?并说明理由. 10.(2009青海)请阅读,完成证明和填空. 九年级数学兴趣小组在学校的“数学长廊”中兴奋地展示了他们小组探究发现的结果,内容如下: 、N,MAN,⑴如图12-1,正三角形ABC中,在AB、AC边上分别取点M使B连接BN、CM,发现A BNCM,A A D M 且NOC60°. N M O O 请证明:NOC60°. B E ⑵如图12-2,正方形ABCD中,在AB、BC边上分M 别„取 N 点M、N,使AMBN,连接AN、DM,那么B O C B C C N D AN ,且DON 度. 图12-1 图12-2 图12-3 ⑶如图12-3,正五边形ABCDE中,在AB、BC边上分别取点M、N,使AMBN,连接AN、EM,那么AN ,且EON 度. ⑷在正n边形中,对相邻的三边实施同样的操作过程,也会有类似的结论. 请大胆猜测,用一句话概括你的发现: . 11、(12分)已知Rt△ABC中,AB=BC,在Rt△ADE中,AD=DE,连结EC,取EC中点M,连结DM和BM, (1)若点D在边AC上,点E在边AB上且与点B不重合, 如图①,求证:BM=DM且BM⊥DM; (2)如图①中的△ADE绕点A逆时针转小于45°的角,如图②,那么(1)中的结论是否仍 CBPBSCRAQ图1DAR图2D成立?如果不成立,请举出反例;如果成立,请给予证明。 12.如图1,在四边形ABCD中,已知AB=BC=CD,∠BAD和∠CDA均为锐角,点P是对角线BD上的一点,PQ∥BA交AD于点Q,PS∥BC交DC于点S,四边形PQRS是平行四边形。 ⑴当点P与点B重合时,图1变为 图2,若∠ABD=90°,求证:△ABR≌△CRD; ⑵对于图1,若四边形PRDS也是平行四边形,此时,你能推出四边形ABCD还应满足什么条件? 因篇幅问题不能全部显示,请点此查看更多更全内容
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