中考几何探究题目选(二)

1、已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．⑴求证：EG=CG；

⑵将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45º，如图②所示，取DF中点G，连接

A D

A G E G E E F B C D

A F D EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？

若成立，请给出证明；若不成立，请说B F C B 图② 图①

⑶将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察

C 明理由．

图③

你还能得出什么结论？（均不要求证明）

3、如图⑴，已知正方形ABCD在直线MN的上方，BC在直线MN上，E是BC上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG．

G ⑴连接GD，求证：△ADG≌△ABE；

G

⑵连接FC，观察并猜测∠FCN的度数，并说明理由； ⑶如图（2），将图（1）中正方形ABCD改为矩形

D A D ABCD，AB=a，BC=b（a、b为常数），E是线段

BC上一动点（不含端点B、C），以AE为边

F

在直线MN的上方作矩形AEFG，使顶点G恰好

F

落在射线CD上．判断当点E由B向C运动时，∠FCN的大小是否总保持不变，若

M B C E N M B tanE ∠FCN的大小不变，请用含a、b的代数式表示∠FCN的值；若∠N 的大小发生改变，请举例说明．C FCN

AB4．已知：等边△ABC的边长为a．探究（1）：如图１，过等边△ABC的顶点A、B、C依次作图（2） 、BC、CA的垂

图（1） 线围成△MNG，求证：△MNG是等边三角形且．MN3a； 探究（2）：在等边∆ABC内取一点O，过点O分别作ODAB、OEBC、OFCA，垂足分别为点D、E、F． ①如图2，若点O是△ABC的重心，我们可利用三角形面积公式及等边三角形性质得到两个正确结论（不必证明）：结论1．ODOEOF2．ADBECF3a；结论23a； 22是否仍然成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，②如图3，若点O是等边△ABC内任意一点，则上述结论1、请说明理由．

5.已知：在ABC中，BCAC，动点D绕ABC的顶点A逆时针旋转，且ADBC，连结DC．过AB、DC的中点E、F作直线，直线EF与直线AD、BC分别相交于点M、N．

MMDF(N) CHAE图1

MNNCDFCFMNDBDFHACBAE图2

BAE图3

EB

⑴如图1，当点D旋转到BC的延长线上时，点N恰好与点F重合，取AC的中点H，连结HE、HF，根据三角形中位线定理和平行线的性质，可得结论AMFBNE（不需证明）．

⑵当点D旋转到图2或图3中的位置时，AMF与BNE有何数量关系？请分别写出猜想，并任选一种情况证明． 6.已知∠ABC=90°，AB=2，BC=3，AD∥BC，P为线段BD上的动点，点Q在射线AB上，且满足PQAD（如图1所示）．

PCAB（1）当AD=2，且点Q与点B重合A 图2所示），求线段PC的长； （2）在图中，联结AP．当ADP D A

P D A

P B

D 时（如

3，2C

C

且

C Q

点Q在线段AB上时，设点B，Q

B 之间的距离为x，

S△APQS△PBC（Q） B

图1 图2

y，其中S∆APQ表示△APQ的面积，S∆PBC表示∆PBC的面积，求y关Q

图3

于x的函数解析

式，并写出函数定义域；

（3）当AD7.在△ABC中，ABAC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），

A

E C B D

图2 A AD为一边在AD的右侧作△ADE，使ADAE，DAEBAC，B ．．

CE．

CE（1）如图1，当点D在线段BC上，如果BAC90°，则B（2）设BAC，BCE．①如图2，当点D在线段BC上移动，则之间有怎样的数量关系？请说明理由；②当点D在直线

D 图1

以

C 连接

E

 度； A ，C 备用图

B C 备用图

BC上移动，则，之间有怎样的数量关系？请直接写

B 出你的结论．

8．如图①，四边形ABCD是正方形, 点G是BC上任意一点，DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F. (1) 求证：DE－BF = EF．

(2) 当点G为BC边中点时, 试探究线段EF与GF之间的数量关系， 并说明理由．

(3) 若点G为CB延长线上一点，其余条件不变．请你在图②中画出图形，写出此时DE、BF、EF之间的数量关系（不需要证明）．

9．△ABC是等边三角形，点D是射线BC上的一个动点（点D不与点B、C重合），△ADE是以AD为边的等边三角形，过点E作BC的平行线，分别交射线AB、AC于点F、G，A A 连接BE． ⑴如图（a）所示，当点D在线段BC上时．

F G E ①求证：△AEB≌△ADC；②探究四边形BCGE是怎样特殊的四边形？并说明理由； ⑵如图（b）所示，当点D在BC的延长线上时，直接写出（1）中的两个结论是否成立？ ⑶在（2）的情况下，当点D运动到什么位置时，四边形BCGE是菱形？并说明理由． 10.（2009青海）请阅读，完成证明和填空．

九年级数学兴趣小组在学校的“数学长廊”中兴奋地展示了他们小组探究发现的结果，内容如下：

、N，MAN，⑴如图12-1，正三角形ABC中，在AB、AC边上分别取点M使B连接BN、CM，发现A BNCM，A A D

M 且NOC60°．

N M O O 请证明：NOC60°． B E

⑵如图12-2，正方形ABCD中，在AB、BC边上分M 别„取

N 点M、N，使AMBN，连接AN、DM，那么B O C B C

C N D AN ，且DON 度． 图12-1 图12-2 图12-3

⑶如图12-3，正五边形ABCDE中，在AB、BC边上分别取点M、N，使AMBN，连接AN、EM，那么AN ，且EON 度．

⑷在正n边形中，对相邻的三边实施同样的操作过程，也会有类似的结论．

请大胆猜测，用一句话概括你的发现： ．

11、（12分）已知Rt△ABC中，AB=BC，在Rt△ADE中，AD=DE，连结EC，取EC中点M，连结DM和BM， （1）若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，

如图①，求证：BM=DM且BM⊥DM； （2）如图①中的△ADE绕点A逆时针转小于45°的角，如图②，那么（1）中的结论是否仍

CBPBSCRAQ图1DAR图2D成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明。

12.如图1，在四边形ABCD中，已知AB=BC＝CD，∠BAD和∠CDA均为锐角，点P是对角线BD上的一点，PQ∥BA交AD于点Q，PS∥BC交DC于点S，四边形PQRS是平行四边形。

⑴当点P与点B重合时，图1变为

图2，若∠ABD＝90°，求证：△ABR≌△CRD；

⑵对于图1，若四边形PRDS也是平行四边形，此时，你能推出四边形ABCD还应满足什么条件？