中考几何探究题目选(五)

1.（无锡市）（1）已知△ABC中，A90，B67.5，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形．（请你选用下面给出的备用图，把所有不同的分割方法都画出来．只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数）

A

A

A

B

备用图①

C

B

备用图②

C

B

备用图③

C

（2）已知△ABC中，C是其最小的内角，过顶点B的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请探求ABC与C之间的关系．

2.（宁波市）27．四边形一条对角线所在直线上的点，如果到这条对

角线的两端点的距离不相等，但到另一对角线的两个端点的距离相等，则称这点为这个四边形的准等距点．如图l，点P为四边形ABCD对角线AC所在直线上的一点，PD=PB，PA≠PC，则点P为四边形ABCD的准等距点．

(1)如图2，画出菱形ABCD的一个准等距点．

(2)如图3，作出四边形ABCD的一个准等距点(尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法)．

(3)如图4，在四边形ABCD中，P是AC上的点，PA≠PC，延长BP交CD于点E，延长DP交BC于点F，且∠CDF=∠CBE，CE=CF．求证：点P是四边形AB CD的准等距点．

(4)试研究四边形的准等距点个数的情况(说出相应四边形的特征及准等距点的个数，不必证明)．

3.（宜昌课改）如图1，已知△ABC的高AE=5，BC=

403，∠ABC＝45°，F是AE上的点，

G是点E关于F的对称点，过点G作BC的平行线与AB交于H、与AC交于I，连接IF并延长交BC于J，连接HF并延长交BC于K．

（1）请你探索并判断四边形HIKJ是怎样的四边形？并对你得到的结论予以证明； （2）当点F在AE上运动并使点H、I、K、J都在△ABC的三条边上时，求线段AF长的取

值范围．

AB G HIF BJEKC

图1

（图2供思考用）

ABEC图24、如图1，操作：把正方形CGEF的对角线CE放在正方形ABCD的边BC的延长线上（CG＞BC），取线段AE的中点M。

探究：线段MD、MF的关系，并加以证明。 说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写3步）；（2）在你经历说明（1）的过程之后，可以从下列①、②、③中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明。

注意：选取①完成证明得10分；选取②完成证明得7分；选取③完成证明得5分。

① DM的延长线交CE于点N，且AD＝NE；

② 将正方形CGEF绕点C逆时针旋转45°（如图2）， 其他条件不变；③在②的条件下且CF＝2AD。

附加题：将正方形CGEF绕点C旋转任意角度后（如图3），其他条件不变。探究：线段MD、MF的关系，并加以证明。

F A B M D C （2）

G

G （3）

A D F E

B C M E

5、已知：直线a∥b，P、Q是直线a上的两点，M、N是直线b上两点。

（1）如图①，线段PM、QN夹在平行直线a和b之间，四边形PMNQ为等腰梯形，其两腰PM＝QN。

请你参照图①，在图②中画出异于图①的一种图形，使

P Q

夹在平行直线a和b之间的两条线段相等。 a （2）我们继续探究，发现用两条平行直线a、b去截一些我们学过的图形，会有两条“曲线段相等”（曲线上两点和它们之间的部分叫做“曲线段”。把经过全等变换后能重合的两条曲线段叫做“曲线段相等”）。

请你在图③中画出一种图形，使夹在平行直线a和b之间的两条曲线段相等。

②

a

a M

①

N

b

b

③

b

（3）如图④，若梯形PMNQ是一块绿化地，梯形的上底PQ＝m，下底MN＝n，且m＜n。现计划把价格不同的两种花草种植在S1、S2、S3、S4四块地里，使得价格相同的花草不相邻。为了节省费用，园艺师应选择哪两块地种植价格较便宜的花草？请说明理由。

P m Q a S1 S3 S4 S2

b

M n N

④

6、（2005年河北）操作示例:

对于边长为a的两个正方形ABCD和EFGH，按图1所示的方式摆放，在沿虚线BD，EG剪开后，可以按图中所示的移动方式拼接为图1中的四边形BNED。

从拼接的过程容易得到结论： ①四边形BNED是正方形； ②S正方形ABCD＋S正方形EFGH

＝S

正方形BNED

。

实践与探究

（1）对于边长分别为a，b（a＞b）的两个正方形ABCD和EFGH，按图2所示的方式摆放，连接DE，过点D作DM⊥DE，交AB于点M，过点M作MN⊥DM，过点E作EN⊥DE，MN与EN相交于点N。

①证明四边形MNED是正方形，并用含a，b的代数式表示正方形MNED的面积；

②在图11－2中，将正方形ABCD和正方形EFGH沿虚线剪开后，能够拼接为正方形MNED，请简略说明你的拼接方法（类比图1，用数字表示对应的图形）。

（2）对于n（n是大于2的自然数）个任意的正方形，能否通过若干次拼接，将其拼接成为一个正方形？请简要说明你的理由。

(1) A D G F M B C （H） E N (2)

7、（潍坊市05）如图，已知平行四边形ABCD及四边形外一直线l，四个顶点A、B、C、D到直线l的距离分别为a、b、c、d．

（1）观察图形，猜想得出a、b、c、d满足怎样的关系式？证明你的结论． (2)现将l向上平移，你得到的结论还一定成立吗？请分情况写出你的结论． C D B A A1 D1 B1 C1 第4题

C D O B A l A1 D1 O1 B1 C1 l 8、（2005年泰州）图1是边长分别为43 和3的两个等边三角形纸片ABC和C′D′E′叠放在一起（C与C′重合）.

（1）操作：固定△ABC，将△C′D′E′绕点C顺时针旋转30°得到△CDE，连结AD、BE，CE的延长线交AB于F（图2）；

探究：在图2中，线段BE与AD之间有怎样的大小关系？试证明你的结论.（4分） （2）操作：将图2中的△CDE，在线段CF上沿着CF方向以每秒1个单位的速度平移，平移后的△CDE设为△PQR（图3）； 探究：设△PQR移动的时间为x秒，△PQR与△ABC重叠部分的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数自变量x的取值范围.

（3）操作：图1中△C′D′E′固定，将△ABC移动，使顶点C落在C′E′的中点，边BC交D′E′于点M，边AC交D′C′于点N，设∠AC C′=α（30°＜α＜90°＝（图4）；

探究：在图4中，线段C′N·E′M的值是否随α的变化而变化？如果没有变化，请你求出C′N·E′M的值，如果有变化，请你说明理由.

AAARPBAD′

FEDFQD′ NB图1E′

CB（C/）

图2 图2（C/）

CB图3CM图3 E′ 图4 GCC图4 /

9.（黑龙江）已知等边△ABC和点P，设点P 到△ABC三边AB、AC、BC 的距离分别为h1、h2、h3，△ABC的高为h。

“若点P在一边BC上，如图（一），此时h30，可得结论：h1h2h3h。” 请直接应用上述信息解决下列问题：

当点P在△ABC内，如图（二），点P在△ABC外，如图（三）这两种情况时，上述的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，h1、h2、h3与h之间又有怎样的关系，请写出你的猜想，不需证明。

AAADDEB（一）MPCBMF（二）第39题图 PEDMCBP（三）FEC

FHEGAC，10、（2005年长沙）己知点E、F在ABC的边 AB 所在的直线上，且AEBF，

FH、EG分别交边BC所在的直线于点H、G．

⑴如图l，如果点E、F在边AB上，那么EGFHAC； ⑵如图2，如果点E在边AB上，点F在AB的延长线上，那么线段EG、FH、AC的长度关系是_______________ ；

⑶如图3，如果点E在AB的反向延长线上，点F在AB的延长线上，那么线段EG、FH、AC的长度关系是_________ ；

FB

H

E A

图1

G

C

A E H B F

图2

G

C

AH

E C

F

B 图3

E C

G

P G

B

H

A

F

11.（2005年北京海淀区）已知△ABC，分别以AB、BC、 CA为边向形外作等边三角形ABD、等边三角形BCE、等边三角形ACF.

(1)如图1，当△ABC是等边三角形时，请你写出满足图中条件，四个成立的结论； (2)如图2，当△ABC中只有∠ACB=60°时，请你证明S△ABC与S△ABD的和等于S△BCE与S△ACF的和.

图2

B C D A F E 图1 12．（2005年武汉）将两块含30°角且大小相同的直角三角板如图1摆放。 （1）将图1中△A1B1C绕点C顺时针旋转45°得图2，点P1是A1C与AB的交点，

22求证：CP1＝AP1；

（2）将图2中△A1B1C绕点C顺时针旋转30°到△A2B2C（如图3），点P2是A2C与AB的交点。线段CP1与P1P2之间存在一个确定的等量关系，请你写出这个关系式并说明理由； （3）将图3中线段CP1绕点C顺时针旋转60°到CP3（如图4），连结P3P2，求证：P3P2⊥AB.