2021高考数学学业水平合格考试总复习标准示范卷1含解析

高考数学学业水平合格考试总复习：

标准示范卷(一)

(时间：90分钟；分值：150分，本卷共4页)

一、选择题(本大题共16小题，每小题5分，共80分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)

1．已知集合A＝{1,2}，B＝{1，m,3}，如果A∩B＝A，那么实数m等于( ) A．－1 C．2

B．0 D．4

C [∵A∩B＝A，∴A⊆B．∵A＝{1,2}，B＝{1，m,3}，∴m＝2．] 2．下列函数中，与函数y＝1

A．y＝

xC．y＝x2 D [函数y＝

－

1

定义域相同的函数为( ) x

B．y＝x D．y＝ln x

1

的定义域是(0，＋∞)，A中的定义域是{x|x≠0}，B中的定义域是{x|x≥0}，x

C中的定义域是{x|x≠0}，D中的定义域是(0，＋∞)，故选D．]

2

3．复数z＝＋2＋i的虚部是( )

1－iA．3 C．2i B [依题意z＝

21＋i

B．2 D．3i

＋2＋i＝1＋i＋2＋i＝3＋2i，故虚部为2，所以选B．]

1－i1＋i

1

4．“sin A＝”是“A＝30°”的( )

2A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

11

B [因为sin 30°＝，所以“sin A＝”是“A＝30°”的必要条件．又150°，390°等角的

22111

正弦值也是，故“sin A＝”不是“A＝30°”的充分条件．故“sin A＝”是“A＝30°”的必

222要不充分条件．]

5．已知直线的点斜式方程是y－2＝－3(x－1)，那么此直线的倾斜角为( ) πA．

62πC．

3

πB．

35πD． 6

2π

C [因为k＝tan α＝－3，α∈[0，π)，所以α＝.]

3

6．若点A(2,22)在抛物线C：y2＝2px上，记抛物线C的焦点为F，则直线AF的斜率为( )

A．

2 4

42B． 322D．

3

C．22

C [将A坐标代入抛物线方程得(22)2＝2p·2，p＝2，故焦点坐标F(1,0)，直线AF的斜22－0率为＝22，故选C．]

2－1

7．已知a＝(－2,2)，b＝(x，－3)，若a⊥b，则x的值为( ) A．3 C．－1

D [a·b＝－2x－6＝0，解得x＝－3.]

8．在同一直角坐标系xOy中，函数y＝cos x与y＝－cos x的图象之间的关系是( ) A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于直线y＝x对称 D．关于直线y＝－x对称

A [由于当自变量相同时，它们的函数值相反，故它们的图象关于x轴对称，故选A．] 9．三个数a＝0.62，b＝log20.6，c＝20.6之间的大小关系是( ) A．a＜c＜b C．b＜a＜c

B．a＜b＜c D．b＜c＜a B．1 D．－3

C [易知01，故c>a>b.]

10．在公差不为0的等差数列{an}中，a1，a3，a7成等比数列，前7项和为35，则数列{an}的通项an等于( )

A．n C．2n－1

B．n＋1 D．2n＋1

12

B [S7＝×7×(a1＋a7)＝7a4＝35，故a4＝5，又a23＝a1a7，即(5－d)＝(5－3d)(5＋3d)，2即d＝1，故an＝a4＋(n－4)d＝n＋1.]

x＋y＋5≥0，

11．已知实数x，y满足约束条件x－y≤0，

y≤0，A．－14 C．－5

B．1 D．－9

则z＝2x＋4y＋1的最小值是( )

A

x＋y＋5≥0

[作出不等式组x－y≤0

y≤0

表示的平面区域，如图所示的阴影部分由z＝2x＋4y

1z1z11z1

＋1可得y＝－x＋－，则－表示直线y＝－x＋－在y轴上的截距，截距越小，z越小，

24444244

x＋y＋5＝0551z1

－，－，由题意可得，当y＝－x＋－经过点A时，z最小，由，可得A22244x－y＝0



55

此时z＝－2×－4×＋1＝－14，故选A．]

22

12．圆心为(1,2)且过原点的圆的方程是( ) A．(x－1)2＋(y－2)2＝2 B．(x＋1)2＋(y＋2)2＝2 C．(x－1)2＋(y－2)2＝5 D．(x＋1)2＋(y＋2)2＝5

C [r2＝(1－0)2＋(2－0)2＝5，故圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5.] 13．当x>4时，不等式x＋A．m≥8 C．m≤8

4

≥m恒成立，则m的取值范围是( ) x－4

B．m>8 D．m<8

4x－4＋4

C [x＋＝＋4≥2

x－4x－4

4

x－4×＋4＝8，故m≤8.]

x－4

1

14．已知函数f(x)是奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x2＋，则f(－1)＝( )

xA．－2 C．1

B．0 D．2

A [f(1)＝12＋1＝2，f(－1)＝－f(1)＝－2.]

15．某学校举办校园演讲大赛，如图为七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，要求去掉一个最高分和一个最低分点，求出所剩数据的平均数和方差为( )

7

A．84,4.84 C．85,4

B．84,1.6 D．85,1.6

(86－85)2＋(87－85)2]＝1.6.]

9

84 4 6 4 7

93

1－84＋84＋84＋86＋87

D [平均数x＝＝85，方差为[(84－85)2＋(84－85)2＋(84－85)2＋

55

16．设x0是方程ln x＋x＝4的解，则x0属于区间( ) A．(0,1) C．(2,3)

C [令f(x)＝lnx＋x－4， 则f(1)＝0＋1－4<0， f(2)＝ln2＋2－4＝ln2－2<0， f(3)＝ln3＋3－4＝ln3－1>0， 所以x0属于区间(2,3)，故选C．]

二、填空题(本大题共5小题，每小题6分，共30分．把答案填写在题中横线上) x2y2

17．已知双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝3x，则该双曲线的离心率

ab为 .

bc

2 [由于双曲线的一条渐近线为y＝3x，故＝3.所以双曲线离心率e＝＝aa＝2.]

b

1＋a

2B．(1,2) D．(3,4)

π1

18．函数f(x)＝－cos2－x的单调递增区间是 .

24

π

1＋cos－2x

2π11kπ＋π，kπ＋3π(k∈Z) [f(x)＝1－cos2＝－＝－sin 2x，即求－x2222444

1

sin 2x的单调递减区间． 2

π3π

∵2kπ＋≤2x≤2kπ＋(k∈Z)，

22π3π

∴kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)．]

44

19．从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为 .

2

[基本事件：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，5

(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，102

共25个，其中第一张大于第二张的有10个，所以P＝＝.] 255

1

20．直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则

4该椭圆的离心率为 .

1x2y2

[不妨设椭圆的方程为2＋2＝1(a>b>0)，右焦点的坐标为(c,0)，上顶点的坐标为(0，2abb)，

xy

则l：＋＝1，即bx＋cy－bc＝0.

cb由

1

＝×2b，得3c2＝b2. 4

b2＋c2bc

1

又b2＝a2－c2，所以a＝2c，故e＝.]

221．lg5＋lg20的值是 . 1 [lg5＋lg20＝lg100＝1.]

三、解答题(本大题共2小题，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 22．(本小题满分20分)在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且2asin Bcos A－bsin A＝0，

(1)求A；

π

(2)当sin B＋3sinC－取得最大值时，试判断△ABC的形状．

6ab

[解] (1)由正弦定理＝得asin B＝bsin A≠0，

sin Asin B又2asin Bcos A－bsin A＝0，∴2cos A＝1， π1

即cos A＝，∵023π2π

(2)∵A＝，∴B＝－C，

33∴sin

2ππ3113

－C＋3sinC－＝2cos C＋2sin C＋32sin C－2cos C＝2sin C，

63

2ππ

∵032∴△ABC是直角三角形．

23．(本小题满分20分)如图，在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝AB，E是PD的中点．求证：

(1)PB∥平面EAC； (2)平面PDC⊥平面PAD．

[证明] (1)连接BD交AC于O，连接EO，则EO是△PBD的中位线，∴EO∥PB．又PB⊄平面EAC，EO⊂平面EAC，∴PB∥平面EAC．

(2)∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD． ∵四边形ABCD是矩形，∴AD⊥CD． 而PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD．

又CD⊂平面PDC，∴平面PDC⊥平面PAD．