高考数学二轮复习精品资料 专题12数学思想方法(学生)

【考纲解读】

1.熟练掌握函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想.

2.能够对所学知识进行分类或归纳,能应用数学思想方法分析和解决问题,系统地把握知识间的内在联系.

【考点预测】

1.函数知识涉及的知识点多、面广，在概念性、应用性、理解性都有一定的要求，所以是高考中考查的重点，也是高考的一个热点。对函数试题的设计仍然会围绕几个基本初等函数和函数的性质、图象、应用考查函数知识；与方程、不等式、解析几何等内容相结合，考查函数知识的综合应用；在函数知识考查的同时，加强对函数方程、分类讨论、数形结合、等价转化等数学思想方法的考查。

2.预测在今年的高考中,数形结合与分类讨论思想仍是考查的一个热点，数形结合的考查方式常以数学式、数学概念的几何意义、函数图象、解析几何等为载体综合考查,分类讨论思想的考查重点为含有参数的函数性质问题、与等比数列的前n项和有关的计算推证问题、直线与圆锥曲线的位置关系不定问题等。

3.预测在今年的高考中,运用化归与转化思想解题的途径主要有：借助函数、方程（组）、辅助命题、等价变换、特殊的式与数的结构、几何特征进行转化,其方法有:正反转化、数形转化、语义转化、等与不等、抽象问题与具体问题化归，一般问题与特殊问题化归，正向思维与逆向思维化归。

【要点梳理】

1.函数与方程思想：我们应用函数思想的几种常见题型是：遇到变量，构造函数关系解题；有关的不等式、方程、最小值和最大值之类的问题，利用函数观点加以分析；含有多个变量的数学问题中，选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系；实际应用问题，翻译成数学语言，建立数学模型和函数关系式，应用函数性质或不等式等知识解答；等差、等比数列中，通项公式、前n项和的公式，都可以看成n的函数，数列问题也可以用函数方法解决。

2.数形结合的思想:是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧,特别是在解选择与填空题时发挥着奇特功效.具体操作时,应注意以下几点:(1)准确画图,注意函数的定义域;(2)用图象法讨论方程的解的个数.

3．与分类讨论有关的知识点有：直线的斜率分为存在和不存在两种情形、等比数列中的公比q1和q1、由参数的变化引起的分类讨论、由图形的不确定性引起的分类讨论、指对函数的底数a分为a1和0a1两种情形等。分类的原则是：不重复、不遗漏、分层次讨论。分类讨论的一般流程是：明确讨论的对象、选择分类的标准、逐类进行讨论、归纳整合。

4．转化与化归常用的方法有：直接转化法、换元法、数形结合法、构造法、坐标法、类比法、特殊化方法等。

【考点在线】

考点一 函数与方程思想

函数描述了自然界中数量之间的关系，函数思想通过提出问题的数学特征，建立函数关系型的数学模型，从而进行研究。它体现了“联系和变化”的辩证唯物主义观点。一般地，函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题，经常利用的性质是：f(x)、f

1(x)的单调性、

用心 爱心 专心 1

奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等，要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性。在解题中，善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关键。对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时，才能产生由此及彼的联系，构造出函数原型。另外，方程问题、不等式问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题，即用函数思想解答非函数问题。

例1. (2011年高考江苏卷8)在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数

f(x)2的图象交于P、Q两点，则线段PQ长的最小值是________. x练习1: (2011年高考山东卷理科16)已知函数f（x）=logaxxb(a＞0，且a1).当2＜a＜3＜b＜4时，函数f（x）的零点x0(n,n1),nN*,则n= . 考点二 数形结合思想

数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质

数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决。“数”与“形”是一对矛盾，宇宙间万物无不是“数”和“形”的矛盾的统一。

数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围。

例2. 若方程lg(－x＋3x－m)＝lg(3－x)在x∈(0,3)内有唯一解，求实数m的取值范围。

22x2,练习2：(2011年高考北京卷理科13)已知函数f(x)x若关于x 的方程

(x1)3,x2f(x)=k有两个不同的实根，则数k的取值范围是____ ___. 考点三 分类讨论思想

例3. (2011年高考全国新课标卷理科21) 已知函数f(x)alnxb，曲线yf(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x2y30。 x1x（Ⅰ）求a、b的值；

用心 爱心 专心 2

（Ⅱ）如果当x0，且x1时，f(x)lnxk，求k的取值范围. x1x练习3：(2011年高考湖南卷理科22第(1)问)已知函数

fxx3,gxxx.求函数

hxfxgx的零点个数，并说明理由；

考点四 转化与化归的思想

等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法。通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题。历年高考，等价转化思想无处不见，我们要不断培养和训练自觉的转化意识，将有利于强化解决数学问题中的应变能力，提高思维能力和技能、技巧。

在数学操作中实施转化时，我们要遵循熟悉化、简单化、直观化、标准化的原则，即把我们遇到的问题，通过转化变成我们比较熟悉的问题来处理；或者将较为繁琐、复杂的问题，变成比较简单的问题，比如从超越式到代数式、从无理式到有理式、从分式到整式…等；或者比较难以解决、比较抽象的问题，转化为比较直观的问题，以便准确把握问题的求解过程，比如数形结合法；或者从非标准型向标准型进行转化。按照这些原则进行数学操作，转化过程省时省力，有如顺水推舟，经常渗透等价转化思想，可以提高解题的水平和能力. 例4. 若x、y、z∈R且x＋y＋z＝1，求(

111－1)( －1)( －1)的最小值。 xzy练习4.已知三棱锥S-ABC的三条侧棱两两垂直，SA＝5，SB＝4，SC＝3，D为AB的中点，E

为AC的中点，则四棱锥S-BCED的体积为_____。

253515A. B. 10 C. D.

222【易错专区】 问题：分类讨论

例.已知集合A={x|x－3x＋2=0},B={x|x－ax＋a－1=0}，且A∪B=A，则a的值为______． 【考题回放】

2

2

1.(2011年高考广东卷文科2)已知集合

Ax,y|x、y为实数，且

x2y21，

Bx,y|x、y

A．4

为实数，且

B．3

xy1

，则AC．2

B的元素个数为（ ）

D．1

2.（2011年高考湖南卷文科1)设全集UM（ ）

N{1,2,3,4,5},MCUN{2,4},则NA．{1,2,3} B．{1,3,5} Ｃ．{1,4,5} Ｄ．{2,3,4}

3.(2011年高考全国卷理科7)某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4

用心 爱心 专心 3

本赠送给4位朋友每位朋友1本，则不同的赠送方法共有( ) (A)4种 (B)10种 (C)18种 (D)20种

4. (2011年高考天津卷理科8)对实数a与b，定义新运算“”：ab,b,1aa 设1.b,ab22函数f(x)x2xx,xR.若函数yf(x)c的图像与x轴恰有两个公共点，

则实数c的取值范围是（ ）

A．,21, B．,21,323 411C．,, D.

445.(2011年高考江苏卷14)设集合A{(x,y)|311,,44m(x2)2y2m2,x,yR}, 2B{(x,y)|2mxy2m1,x,yR}, 若AB, 则实数m的取值范围是

______________ 6. (2011

年高考天津卷理科

20)已知数列{an}与{bn}满足：

*bnanan1bna1n3(20,bn2n1)， nN，且a12,a24．

（Ⅰ）求a3,a4,a5的值；

（Ⅱ）设cna2n1a2n1,nN*，证明：cn是等比数列； （Ⅲ）设Ska2a4a2k,kN,证明：

*Sk7(nN*)． 6k1ak4n7.(2011年高考安徽卷理科20)工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个人只派一次，工作时间不超过10分钟，如果有一个人10分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人。现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别p,p,p，假设p,p,p互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立.

（Ⅰ）如果按甲在先，乙次之，丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率。若改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？

用心 爱心 专心 4

（Ⅱ）若按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为q,q,q，其中

q,q,q是p,p,p的一个排列，求所需派出人员数目X的分布列和均值（数字期望）

EX；

（Ⅲ）假定ppp，试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的均值（数字期望）达到最小。 【高考冲策演练】 一、选择题：

1．（2011年高考辽宁卷文科1)已知集合A={xx＞ 1}，B={x-1＜x＜2}}，则AB=（ ） （A） {x-1（B）{xx＞-1} （C）{x-1（D）{x1＜x＜2}} ＜x＜1}} ＜x＜2} 2.如果实数x、y满足等式(x－2)＋y＝3，那么

22y的最大值是( ) xA.

133 B. C. D. 3 232x

3．（2010年高考山东卷理科11）函数y=2-x的图像大致是( )

2

x2+2x-3,x04．（2010年高考福建卷理科4）函数（的零点个数为 ( ) fx)=-2+lnx,x>0A.0 B.1 C.2 D.3

5.(2010年高考天津卷理科2)函数f(x)23x的零点所在的一个区间是( ) （A）（-2，-1） （B）（-1，0） （C）（0，1） （D）（1，2）

xlog2xx0,6．(2010年高考天津卷理科8)设函数f（x）=logx

x0 若f(a)>f(-a),则实数12a的取值范围是( )

（A）（-1，0）∪（0，1） （B）（-∞，-1）∪（1,+∞） （C）（-1，0）∪（1,+∞） （D）（-∞，-1）∪（0,1）

用心 爱心 专心 5

7．（ 2010年高考全国卷I理科2）记cos(80)k,那么tan100( )

kk1k21k2A. B. - C. D. -

22kk1k1kuuuruuuruuurr8. (2010年高考湖北卷理科5)已知VABC和点M满足MAMBMC0.若存在实数uuuruuuruuurm使得ABACmAM成立，则m=( )

A． 2 B. 3 C. 4 D. 5

9．（ 2010年高考全国卷I理科7）正方体ABCD-A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为( ) A

2236 B C D 333310．(2010年高考数学湖北卷理科9）若直线yxb与曲线y34xx2有公共点，则b的取值范围是( )

A． 1,122 B. 122,122

 C. 122,3 D. 12,3

11x11．（2010年高考上海市理科17）若x0是方程()x3的解，则x0属于区间（ ）

2(A)(

212111,1) (B)(,) (C)(,) (D)(0,) 32332312. (2010年高考天津卷理科9)设集合A＝{xxa1,xR}，B＝

{xxb2,xR}。若AB,则实数a,b必满足（ ）

（A）ab3 （B）ab3 （C）ab3 （D）ab3 二．填空题：

13．设全集U={x|014．（2010年高考福建卷理科14）已知函数f(x)=3sin(x-*

6)(>0)和

g(x)=2cos(2x+)+1的图象的对称轴完全相同。若x[0,2]，则f(x)的取值范围

用心 爱心 专心 6

是 。

15. (2011年高考湖北卷理科15)给n个自上而下相连的正方形着黑色或白色.当n≤4时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻的着色方案如下图所示：

n=1 n=2 n=3 n=4

由此推断，当n=6时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有 种，至少有

两个黑色正方形相邻的着色方案共有 种.（结果用数值表示）

16. (2010年高考天津卷理科15)如图，在ABC中，ADAB，BC3BD,|AD|1，则ACAD= 。

三．解答题：

17. （ 2010年高考全国卷I理科17）已知VABC的内角A，B及其对边aabacotAbcotB，求内角C．

18．集合A={x|x＋5x－6≤0},B={x|x＋3x>0}，求A∪B和A∩B．

2

2

，b满足

19. (2011年高考湖北卷理科21)(Ⅰ)已知函数f(x)lnxx1,x(0,)，求函数f(x)的

abb1b2…b最大值；(Ⅱ)设ak,bk(k1,2,3…n)均为正数，证明：（1）若ab11a2b2…nnkk22kk…bnb12b2…bn则a1ka2（2）若b1b2…bn1，则b1kb2 …an1；

12nn，

1n12n

用心 爱心 专心 7

20. (2011年高考广东卷理科20)设b0,数列an满足a1=b,an(1) 求数列an的通项公式；

nban1(n2),

an12n2bn1(2) 证明：对于一切正整数n,ann11

2

21.(2011年高考江苏卷20)设M为部分正整数组成的集合，数列{an}的首项a11，前n项和为Sn，已知对任意整数k属于M，当n>k时，SnkSnk2(SnSk)都成立 （1）设M=｛1｝，a22，求a5的值； （2）设M=｛3，4｝，求数列{an}的通项公式

22. （ 2010年高考全国卷I理科21）已知抛物线C:y4x的焦点为F，过点K(1,0)的直线l与C相交于A、B两点，点A关于x轴的对称点为D . （Ⅰ）证明：点F在直线BD上； （Ⅱ）设FAFB

28，求BDK的内切圆M的方程 . 9用心 爱心 专心 8