定积分的概念和性质公式

1. 曲边梯形的面积

设在区间 上 ，则由直线 、 、 及曲线

所围成的图形称为曲边梯形，下面求这个曲边梯形的面积

分割求近似：在区间 中任意插入若干个分点将 分成 n 个小区间

，小区间的长度

在每个小区间 上任取一点 作乘积 ，

求和取极限：则面积 取极限

其中 ，即小区间长度最大者趋于零。

2. 变速直线运动的路程

设某物体作变速直线运动，速度 求在这段时间内物体所经过的路程。

是 上 的连续函数，且 ，

分割求近似：在 内插入若干分点 将其分成

n 个小区间 ，小区间长度 ， 。任取 ，

做

求和取极限：则路程 取极限

定义 设函数

在

上有界，在

中任意插入若干个分点

将 分成 n 个小区间 ，其长度为 ，在每个小区间

上任取一点 记

，作乘积 ，如果不论对

，并求和

怎样分法，也不论小区间

，上的点

怎样取法，只要当 时，和 总趋于确定的极限，则称这个极限

为函数 在区间 上的定积分，记作 ，即

， （*）

其中 叫被积函数， 叫被积表达式， 叫积分变量， 叫积分下限，

叫积分上限， 说明：

叫积分区间。 叫积分和式。

1. 如果（*）式右边极限存在，称 可积，（1）

在区间

在区间

在

可积，下面两类函数在区间 可积。（2）

在区间

上连续，则

在

上有界且只有有限个间断点，则 上可积。

2. 由定义可知，定积分的值只与被积函数和积分区间有关，而与积分变量无关，所以

3. 规定

时 ,

在 与

上 时, 表示曲线 、两条直线 、

轴所围成的曲边梯形的面积；

在 与

上 时, 表示曲线 、两条直线 轴的下方）；

、

轴所围成的曲边梯形的面积（此时，曲边梯形在

例1 利用定积分的几何意义写出下列积分值

（1） （三角形面积） （2） （半圆面积）

设 可积

性质1

性质2

性质3 （定积分对区间的可加性） 对任何三个不同的数 ，有

性质4

性质5 如果在区间 上， ，则

推论

性质6 （定积分的估值） 设 M 及 m 分别是函数 小值，则

在区间 上的最大值及最

性质7 （定积分中值定理）

如果函数 使

在区间

上连续，则在

成立

上至少有一点 ，

例2 比较下面两个积分的大小

与

解 设 ，

在（0，1）内， 单调增

当 时，有 ，即

由性质5，

例3 估计积分 的值

解 只需求出 在区间 上的最大值、最小值即可。设 ，

，令 ，得 ，

所以，在区间 上

由性质6，

设 在区间 上连续， ，则定积分 一定存在，

当 在 上变动时，它构成了一个 的函数，称为 的变上限积分函数，

记作 即

定理 如果函数 在区间 上连续，则积分上限的函数 ，即

在

上具有导数，且导数是

说明：

1. 由原函数的定义知, 是连续函数 的一个原函数，因此，此公式

揭示了定积分与原函数之间的联系。 2. 当积分上限的函数是复合函数时，有

更一般的有

例1 （1） ， 则： =

（2） ，则：

（4） ，则：

（5）设 此题中

，求:

为函数的自变量， 为定积分的积分变量，因而是两个函数乘积的形式

由求导法则

=

= +

（6） =0（因定积分的结果为一常数，故导数为零）

（7）设 是方程 所确定的函数，求

解 利用隐函数求导法则和变限积分求导法则有

则 =

例2 设 ，求 。

例3 设 为连续函数，（1）若 ，则 ______ ,

___ 。 （2）

例4 求

解 这是 型不定式，用罗必塔法则

定理 （牛顿——莱公式）如果函数 是连续函数 在区间

上的一个原函数，则

此公式表明：一个连续函数在区间 上的增量，此公式也称为微积分基本公式。

上的定积分等于它的任一个原函数在该区间

例5

解 原式

例6

解 原式

例7 求

解 利用定积分的可加性分段积分，

= + =2

例8

解 被积函数是分段函数，分段点 在积分区间 内，

= + =1/4

例9

解 原式

注意： 是分段函数