三角函数基础,两角和与差、倍角公式

课 题 教学目标 重点、难点 三角函数基础，两角和与差、倍角公式 能运用两角和与差公式、倍角公式解答问题。 公式的熟记和运用。 教学内容 任意角 角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合，此时角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角，或者说这个角属于第几象限.例如教材图5-3(1)中的60角、420角都是第一象限的角，(2)中135角、225角都是第二象限角. 特别规定：如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限. 例2：回答下列问题 (1)锐角是第几象限角? (2)第一象限的角一定是锐角吗? (3)小于90的角一定是锐角吗? (4)0~90的角一定是锐角吗? 终边重合的角 二、 例子：我们可以用集合表示所有与60角终边重合的角 {k36060,kZ}. 当k0时，60，集合中也包括了60本身. 一般地,我们有:所有与角终边重合的角,连同角在内,可构成一个集合{一与角终边重合的角,都可以表示成角与整数个周角的和. 四、弧度制的定义 五、角度制与弧度制的互化 七．三角函数定义 k360,kZ},即任在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P（除了原点）的坐标为(x,y)，它与原点的距离为r(r|x|2|y|2x2y20)，那么 （1）比值yy叫做α的正弦，记作sin，即sin； rr1

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（2）比值xx叫做α的余弦，记作cos，即cos； rr（3）比值yy叫做α的正切，记作tan，即tan； xx说明：①α的始边与x轴的非负半轴重合，α的终边没有表明α一定是正角或负角，以及α的大小，只表明与α的终边相同的角所在的位置； ②根据相似三角形的知识，对于确定的角α，六个比值不以点P(x,y)在α的终边上的位置的改变而改变大小； ③当 八．三角函数的定义域、值域 函 数 定 义 域 值 域 2k(kZ)时，α的终边在y轴上，终边上任意一点的横坐标x都等于0，所以tany无意义； xysin ycos R R [1,1] [1,1] ytan {| 2k,kZ}R 3．例题分析 例2．已知角α的终边过点(a,2a)(a0)，求α的六个三角函数值。 解：因为过点(a,2a)(a0)，所以r5|a|， xa,y2a 当a0时，sin cosy2a2a25； r55|a|5axa5a；； r55ay2a2a25当a0时，； sinr55|a|5axa5a． r5a5 cos九．三角函数的符号 由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知： y对于第一、二象限为正（y0,r0），对于第三、四象限为负（y0,r0）； rx②余弦值对于第一、四象限为正（x0,r0），对于第二、三象限为负（x0,r0）； ry③正切值对于第一、三象限为正（x,y同号），对于第二、四象限为负（x,y异号）． x①正弦值说明：若终边落在轴线上，则可用定义求出三角函数值。 2

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十．诱导公式 k三角函数诱导公式（）的本质是：奇变偶不变（对k而言，指k取奇数或偶数），符号看象限（看2原函数，同时可把看成是锐角）.诱导公式的应用是求任意角的三角函数值，其一般步骤：可概括为：“负化正，大化小，化到锐角为终了”（有时也直接化到锐角求值）。 sin(2k)sin(kZ)(kZ) （公式一） (kZ) cos(2k)costan(2k)tan 若角的终边与角的终边关于x轴对称，那么与的三角函数值之间有什么关系？特别地，角与角的终边关于x轴对称，由单位圆性质可以推得： sin()sin cos()cos （公式二） tan()tan特别地，角与角的终边关于y轴对称，故有 sin()sin cos()cos （公式三） tan()tan特别地，角与角的终边关于原点O对称，故有 sin()sincos()cos （公式四） tan()tan诱导公式五： sin(2)cos )sin cos(诱导公式六： 2cos(sin(诱导公式七： sin(2)sin )cos )cos， 232cos(1 确定下列三角函数值的符号： 3)sin 2（1）cos250； （2）sin(2 化简y4)； （3）tan(672)； （4）tan11． 3cosxcosxtanx tanx3

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练习： 一、填空题 1． 是第二象限角，则是第 象限角. 22．已知扇形的半径为R，所对圆心角为，该扇形的周长为定值c，则该扇形最大面积为 . 同角三角函数的基本关系公式: sincostan cot cossintancot1 sin2cos21 1“同角”的概念与角的表达形式无关，如： sin3cos31 222tan 2cos2sin 2上述关系（公式）都必须在定义域允许的范围内成立。 3由一个角的任一三角函数值可求出这个角的其余各三角函数值，且因为利用“平方关系”公式，最终需求平方根，会出现两解，因此应尽可能少用,若使用时,要注意讨论符号. 这些关系式还可以如图样加强形象记忆： ①对角线上两个函数的乘积为1(倒数关系). ②任一角的函数等于与其相邻的两个函数的积(商数关系). ③阴影部分，顶角两个函数的平方和等于底角函数的平方(平方关系). 二、讲解范例： 例1化简：1sin2440 22 解：原式1sin(36080)1sin80cos280cos80 例2 已知是第三象限角，化简1sin1sin 1sin1sin解：原式(1sin)(1sin)(1sin)(1sin) (1sin)(1sin)(1sin)(1sin)(1sin)2(1sin)21sin1sin |cos||cos|1sin21sin2是第三象限角，cos0 原式例3求证：1sin1sin2tan （注意象限、符号） coscoscos1sin 1sincos4

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分析：思路1．把左边分子分母同乘以cosx，再利用公式变形；思路2：把左边分子、分母同乘以（1+sinx）先满足右式分子的要求；思路3：用作差法，不管分母，只需将分子转化为零；思路4：用作商法，但先要确定一边不为零；思路5：利用公分母将原式的左边和右边转化为同一种形式的结果；思路6：由乘积式转化为比例式；思路7：用综合法． cosxcosx1sin2x1sinx证法1：左边=右边， (1sinx)cosx(1sinx)cosxcosx∴原等式成立. 证法2：左边=(1sinx)cosx(1sinx)cosx＝ 1sin2x(1sinx)(1sinx)(1sinx)cosx1sinx右边. ＝cos2xcosx 例4．已知tan =3，求下列各式的值 4sincos(1)3sin5cos31(3)sin2cos242(5)sincos(7) sin22sincoscos2(2)4cos23sin2(4)sincos(6)sincos(8)sin6cos6 11sincos课后作业 1.已知sinα＋cosα＝13，且0＜α＜π，则tanα的值为( ) 2A.33 B.-3 C. D.3 332.若sin4θ＋cos4θ＝1，则sinθ＋cosθ的值为( ) A.0 B.1 C.－1 D.±1 3.若tanθ＋cotθ＝2，则sinθ＋cosθ的值为( ) A.0 B.2 C.－2 D.±2 4sin2cos＝10，则tanα的值为 . 5cos3sin5.若tanα＋cotα=2，则sin4α＋cos4α＝ . 6.若tan2α＋cot2α＝2，则sinαcosα＝ . 4.若5

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1sin6xcos6x37.求证. 1sin4xcos4x28.已知tanθ＋sinθ＝ｍ，tanθ－sinθ＝ｎ. mn求证：(1)cosθ＝ mn 1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式： sin()sincoscossin sin()sincoscossin cos()coscossinsin cos()coscossinsin tan()tantantantan tan() 1tantan1tantan注：①充分注意用已知角表示要求的角，如(),2()()等； ②注意角的范围对三角函数值的符号的； ③已知sin,cos,tan中的一个求另外两个，可以通过直角三角形来求简单； )(1tantan) ④正切公式可以变形为：tantantan(tantantan()(1tantan)，如tan200tan4003tan200tan4003 2.二倍角的正弦、余弦、正切公式： sin22sincos cos2cos2sin22cos2112sin2 tan22tan1tan2 熟记降幂公式：cos21cos21cos2，sin2 22注：①1sin2(sincos)2 ②cos2sin(22)2sin(4)cos(4), )2cos2(sin2cos(22)cos2(4)sin2(44)112sin2(4) sin2cos(sin(22)[cos2(4)sin2(4)][2cos2(4)1][12sin2(4)]以及4)cos(4)，如：已知sin(4)117，则cos(),sin2 34394.引入辅助角公式：asinbcosa2b2sin() （其中[0,2]且cos5.几种题型 6

aab22， sinbab22） [键入文字]

①有关齐次多项式的函数化为yAsin(x)k的形式，如y2sin2x2sinxcosx可以化为y2sin(2x4)1 ②可以通过换元转化为二次函数问题，如ysinxcos2x可以化为y2sin2xsinx1，若设tsinx，则y2t2t1，此时t[1,1]；再如ysinxcosxsinxcosx1可以设tsinxcosx，则1t2t21sinxcosx从而转化为二次函数yt，但需注意此时t[2,2]。 222 基础过关 )= 。 1、已知tan4,tan3，则tan(2、cos43cos77sin43cos167= 。 3、函数f(x)sinxcosx的最小值是 。 4、设(0,17),(0,)，若cos,sin()，则sin= 。 2239例题讲解 例1．（1）计算下列各式的值． 1tan15①cos80cos20+sin80sin20= ． ②= ． 1tan15③tan17+tan28+ tan17 tan28= ． ④sin7cos15sin8cos7sin15sin8= ． （2）ABC中,已知cosAcosBsinAsinB则ABC一定是 ( ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 （3）若sinsin1 变式：若cos() 例2．已知cos() 变式拓展 已知tan()

31,coscos，则cos()= ． 2213,cos()则tantan= . 533,sin(),且2,，求cos2的值． 552221,tan()，求tan()的值。 447 [键入文字]

例3．已知tan 11,tan，且,0,，求2的值． 27 例4、求函数 f(x)2cos(x)cos(x)3sin2x的值域和最小正周期。 448