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学员姓名 年级 课题 授课时 间 教学目标 思
教育辅导讲义
数学 辅导科目 高一 授课教师 对数与对数函数 重点、难点 考点及考试 要求 教学内容 1．对数的概念 一般地，对于指数式ab＝N，我们把“以a为底N的对数b”记作logaN，即b＝logaN(a>0，且a≠1)．其中，数a叫做对数的底数，N叫做真数，读作“b等于以a为底N的对数”． 2．对数logaN(a>0，且a≠1)具有下列性质 (1)N>0； (2)loga1＝0； (3)logaa＝1. 3．对数的运算法则 (1)loga(MN)＝logaM＋logaN； (2)loga＝logaM－logaN； (3)logaM＝αlogaM(α∈R)． 4．两个重要公式 (1)对数恒等式：alogaNα＝__N__ (2)换底公式：logbN＝. 5．对数函数的图象与性质 图象 (1)定义域：(0，＋∞) (2)值域：R 性 质 (3)过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0 (4)当x>1时，y>0；当01时，y<0；当00 (7)在(0，＋∞)上是减函数 a>1 01时，logax>0. (6)当x>1时，若logax>logbx，则ab>a C．a>c>b 答案 D 解析 a＝log36＝1＋log32＝1＋， b＝log510＝1＋log52＝1＋， c＝log714＝1＋log72＝1＋，显然a>b>c. 3．(2013·浙江)已知x，y为正实数，则 A．2lgx＋lgyB．b>c>a D．a>b>c ( ) ＝2lgx＋2lgy B．2lg(xy)＝2lgx·2lgy ＋C．2lgx·lgy＝2lgx＋2lgy D．2lg(xy)＝2lgx·2lgy 答案 D 解析 2lgx·2lgy＝2lgx＝2lg(xy)故选D. ．＋lgy 4．函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是________． 答案 (－，＋∞) 解析 函数f(x)的定义域为(－，＋∞)， 令t＝2x＋1(t>0)． 因为y＝log5t在t∈(0，＋∞)上为增函数， t＝2x＋1在(－，＋∞)上为增函数， 所以函数y＝log5(2x＋1)的单调增区间是(－，＋∞)． 5．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0，＋∞)上为增函数，f＝0，则不等式f(log18x)>0的解集为________________． 答案 ∪(2，＋∞) 解析 ∵f(x)是R上的偶函数， ∴它的图象关于y轴对称． ∵f(x)在[0，＋∞)上为增函数， ∴f(x)在(－∞，0]上为减函数， 由f＝0，得f＝0. ∴f(log18x)>0?log1x<－或log1x> 88?x>2或04，所以f(3＋log23)＝()＝×()log233log23 ＝×＝. 题型二 对数函数的图象和性质 例2 (1)函数y＝2log4(1－x)的图象大致是 ( ) (2)已知f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a＝f(log47)，b＝f(log3)，c＝f(0.212－0.6)，则a，b，c的大小关系是( ) A．c＝2>log49， 35又f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数， 且在(－∞，0]上是增函数， 故f(x)在[0，＋∞)上是单调递减的， ∴f(0.2－0.6)0且a≠1)的图象过两点(－1，0)和(0,1)，则a＝________，b＝________. 答案 (1)A (2)2 2 解析 (1)b＝－0.8＝20.8<21.2＝a， c＝2log52＝log5220且a≠1，设t(x)＝3－ax， 则t(x)＝3－ax为减函数， x∈[0,2]时，t(x)最小值为3－2a， 当x∈[0,2]时，f(x)恒有意义， 即x∈[0,2]时，3－ax>0恒成立． ∴3－2a>0.∴a<. 又a>0且a≠1，∴a∈(0,1)∪. (2)t(x)＝3－ax，∵a>0，∴函数t(x)为减函数， ∵f(x)在区间[1,2]上为减函数，∴y＝logat为增函数， ∴a>1，x∈[1,2]时，t(x)最小值为3－2a，f(x)最大值为f(1)＝loga(3－a)， ∴，即， 故不存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1. 思维升华 解决对数函数综合问题时，无论是讨论函数的性质，还是利用函数的性质 (1)要分清函数的底数是a∈(0,1)，还是a∈(1，＋∞)； (2)确定函数的定义域，无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质，都要在其定义域上进行； (3)如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误． 已知f(x)＝log4(4x－1)． (1)求f(x)的定义域； (2)讨论f(x)的单调性； (3)求f(x)在区间[，2]上的值域． 解 (1)由4x－1>0，解得x>0， 因此f(x)的定义域为(0，＋∞)． (2)设0b>c C．bb>c C．a>c>b log23.4B．aa>c D．c>a>b (3)已知函数y＝f(x)的图象关于y轴对称，且当x∈(－∞，0)时，f(x)＋xf′(x)<0成立，a＝(20.2)·f(20.2)，b＝(logπ3)·f(logπ3)，c＝(log39)·f(log39)，则a，b，c的大小关系是( ) A．b>a>c C．c>b>a B．c>a>b D．a>c>b 思维启迪 (1)利用幂函数y＝x0.5和对数函数y＝log0.3x的单调性，结合中间值比较a，b，c的大小； (2)化成同底的指数式，只需比较log23.4、log43.6、－log30.3＝log3的大小即可，可以利用中间值或数形结合进行比较； (3)先判断函数φ(x)＝xf(x)的单调性，再根据20.2，logπ3，log39的大小关系求解． 解析 (1)根据幂函数y＝x0.5的单调性，可得0.30.5<0.50.5<10.5＝1，即blog0.30.3＝1，即c>1. 所以blog3>log43.6. 方法二 ∵log3>log33＝1，且<3.4， ∴log31， ∴log43.6log3>log43.6. 由于y＝5为增函数，∴5即5log23.4xlog23.4>5log3103>5log43.6. >()log0.3>53log23.6，故a>c>b. (3)因为函数y＝f(x)关于y轴对称，所以函数y＝xf(x)为奇函数． 因为[xf(x)]′＝f(x)＋xf′(x)，且当x∈(－∞，0)时， [xf(x)]′＝f(x)＋xf′(x)<0，则函数y＝xf(x)在(－∞，0)上单调递减； 因为y＝xf(x)为奇函数，所以当x∈(0，＋∞)时，函数y＝xf(x)单调递减． 因为1<20.2<2,0a>c，选A. 答案 (1)C (2)C (3)A 温馨提醒 (1)比较幂、对数的大小可以利用数形结合和引入中间量利用函数单调性两种方法． (2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，多选0或1. 五、教师评定： 1、学生上次作业评价：○好○较好○一般○差 2、学生本次上课情况评价：○好○较好○一般○差 教师签字： 教研主任签字：________
