任意角与弧度制知识与题型总结

一、任意角和弧度制

1、角的概念的推广

定义：一条射线OA由原来的位置，绕着它的端点O按一定的方向旋转到另一位置OB，就形成了角，记作：角或 可以简记成。 2、角的分类：

由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。可以将角分为正角、零角和负角。

正角：按照逆时针方向转定的角。 零角：没有发生任何旋转的角。 负角：按照顺时针方向旋转的角。

3、 “象限角”

为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角，角的顶点重合于坐标原点，角的始边合于x轴的正半轴。

角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角

角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限，称为轴线角。

例1、（1）A={小于90°的角}，B={第一象限的角}，则A∩B= （填序号）. ①{小于90°的角} ③ {第一象限的角}

②{0°～90°的角}

④以上都不对

（2）已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A、B、 C关系是（ ）

A．B=A∩C B．B∪C=C

C．AC

D．A=B=C

4、常用的角的集合表示方法 1、终边相同的角：

（1）终边相同的角都可以表示成一个0到360的角与k(kZ)个周角的和。 （2）所有与终边相同的角连同在内可以构成一个集合

S|k360,kZ

即：任何一个与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和 注意：

1、kZ 2、是任意角

3、终边相同的角不一定相等，但相等的角的终边一定相同。终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍。

4、一般的，终边相同的角的表达形式不唯一。

例1、（1）若角的终边与

8角的终边相同，则在0,2上终边与的角终边相同的角为 。

（2）若和是终边相同的角。那么在

例2、求所有与所给角终边相同的角的集合，并求出其中的最小正角，最大负角： （1）210； （2）148437．

1260． 例3、求，使与900角的终边相同，且180，

2、终边在坐标轴上的点：

终边在x轴上的角的集合： |k180,kZ 终边在y轴上的角的集合：|k18090,kZ 终边在坐标轴上的角的集合：|k90,kZ

3、终边共线且反向的角：

终边在y=x轴上的角的集合：|k18045,kZ 终边在yx轴上的角的集合：|k18045,kZ

4、终边互相对称的角：

若角与角的终边关于x轴对称，则角与角的关系：360k 若角与角的终边关于y轴对称，则角与角的关系：360k180 若角与角的终边在一条直线上，则角与角的关系：180k 角与角的终边互相垂直，则角与角的关系：360k90

例1、若k360，m360(k,mZ)则角与角的中变得位置关系是（ ）。

A.重合 B.关于原点对称 C.关于x轴对称 D.有关于y轴对称

二、弧度与弧度制 1、弧度与弧度制：

弧度制—另一种度量角的单位制， 它的单位是rad 读作弧度 定义：长度等于 的弧所对的圆心角称为1弧度的角。

B C l=2r

o

r 1rad A

o

2rad

r

A

如图：AOB=1rad ，AOC=2rad ， 周角=2rad

注意：

1、正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0 2、角的弧度数的绝对值 l（l为弧长，r为半径） r3、用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0） 用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同。

4、在同一个式子中角度、弧度不可以混用。

2、角度制与弧度制的换算

弧度定义：对应弧长等于半径所对应的圆心角大小叫一弧度 角度与弧度的互换关系：∵ 360= rad 180= rad

180rad0.01745rad 1rad ∴ 1=57.305718' 180

3．一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住： 角度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 弧度 角度 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360°

3例1、 把6730'化成弧度例 例2、 把rad化成度

5例3、将下列各角从弧度化成角度 （1）

3 rad （2）2.1 rad （3） rad

53、弧长公式和扇形面积公式

lr ； S11lRr2 22

题型一、终边相同的角

例1 与-457°角终边相等的角的集合是（ ）

|k360457，kZA． B．|k36097，kZ  D．|k360263，kZ

|k360263，kZC．

例2 如果角与终边相同，则有（ ）

A．-=π B．+=0 C．-=2kπ（k∈Z） D．+=2kπ（k∈Z）

例3、与－1050°终边相同的最小正角是 .

题型二 已知角所在象限，求角2、

2所在象限问题

例1 已知角是第二象限角，求角2是第几象限角

例2.若是第三象限角，则

例3.若是第二象限角，则3是第几象限角？

𝛼

2是第几象限角？

题型三 弧度制的概念问题

例1 下列诸命题中，假命题是（ ） A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位 B．一度的角是周角的

11，一弧度的角是周角的 3602C．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角，它是角的一种度量单位 D．不论是用角度制还是弧度制度量角，它们均与圆的半径长短有关

例2．给出下列命题：

①第二象限角大于第一象限角；

②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；

③不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所在半径的大小无关；

④若sin α＝sin β，则α与β的终边相同； ⑤若cos θ<0，则θ是第二或第三象限的角． 其中正确命题的个数是( )． A．1 B．2 C．3 D．4

题型四 角度与弧度互化问题

例1 （1）将112°30′化为弧度 （2）将

题型五 与弧长、扇形面积有关问题

例1.已知扇形的周长是6cm，面积是2cm2，试求扇形的中心角的弧度数

例2、已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是 （ ）

A．2

B．

5rad化为度 122 sin1C．2sin1 D．sin2

例3.如图，扇形OAB的面积是4cm，它的周长是8cm，求扇形的中心角及弦AB的长.

2B

OA变式练习．(1)已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角；

(2)一个扇形OAB的面积是1 cm2，它的周长是4 cm，求圆心角的弧度数和弦长

AB.

题型六 用弧度表示终边相同角的问题

例1.将-1485°表示成2k,kZ的形式，且02

题型七 由两角终边的位置确定两角的关系

例1 若角、的终边互为反向延长线，则与之间的关系一定是（ ） A．=- B．=180°+ C．=k·360°+（k∈Z） D. = k·360°+180°+（k∈Z）

例2、若α是第四象限角，则π－α一定在( )

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

题型八 函数思想

例1 扇形的周长C一定时，它的圆心角取何值才能使该扇形面积S最大？最大值是多少？

题型九 实际应用题

例1 经过5小时25分钟，时钟的分针和时针各转多少度？

题型十、阴影部分面积

1、写出角的终边在下图中阴影区域内角的集合(包括边界)．

练习题

一、选择题

1、下列角中终边与330°相同的角是（ ）

A．30° B．-30° C．630° D．-630°

2、把－1485°转化为α＋k·360°（0°≤α＜360°, k∈Z）的形式是 （ A．45°－4×360°B．－45°－4×360°C．－45°－5×360°D．315°－5×360° 3、终边在第二象限的角的集合可以表示为： （ ） A．｛α∣90°<α<180°｝

B．｛α∣90°＋k·180°<α<180°＋k·180°，k∈Z｝ C．｛α∣－270°＋k·180°<α<－180°＋k·180°，k∈Z｝ D．｛α∣－270°＋k·360°<α<－180°＋k·360°，k∈Z｝ 4、下列命题是真命题的是（ ）

Α．三角形的内角必是一、二象限内的角 B．第一象限的角必是锐角

） C．不相等的角终边一定不同D．|k36090,kZ=

|k180

90,kZ

5、已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A、B、C关系是（ ）

A．B=A∩C B．B∪C=C C．AC D．A=B=C

6、在“①160°②480°③-960°④-1600°”这四个角中，属于第二象限的角是( )

A.① B.①② C.①②③ D.①②③④ 7、若α是第一象限的角，则-

是( ) 2A.第一象限的角 B.第一或第四象限的角 C.第二或第三象限的角 D.第二或第四象限的角 8、下列结论中正确的是( )

A.小于90°的角是锐角 B.第二象限的角是钝角 C.相等的角终边一定相同 D.终边相同的角一定相等 9、集合A={α｜α=k·90°,k∈N+}中各角的终边都在( )

A.x轴的正半轴上 B.y轴的正半轴上

C.x轴或y轴上 D.x轴的正半轴或y轴的正半轴上 10、α是一个任意角，则α与-α的终边是( )

A.关于坐标原点对称 B.关于x轴对称C.关于直线y=x对称D.关于y轴对称

11、集合X={x｜x=(2n+1)·180°,n∈Z}，与集合Y={y｜y=(4k±1)·180°,k∈Z}之间的关系是( )

A.XY B.XY C.Ｘ=Y D.X≠Y 12、设α、β满足-180°＜α＜β＜180°，则α-β的范围是( )

A.-360°＜α-β＜0° B.-180°＜α-β＜180° C.-180°＜α-β＜0° D.-360°＜α-β＜360° 13、下列命题中的真命题是 （ ）

A．三角形的内角是第一象限角或第二象限角 B．第一象限的角是锐角

C．第二象限的角比第一象限的角大

D．角α是第四象限角的充要条件是2kπ－14、设k∈Z，下列终边相同的角是

A．（2k+1）·180°与（4k±1）·180° C．k·180°+30°与k·360°±30°

＜α＜2kπ(k∈Z) 2（ ）

B．k·90°与k·180°+90° D．k·180°+60°与k·60°

（ ）

15、已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是

A．2

B．

2 sin1C．2sin1 D．sin2

16、设角的终边上一点P的坐标是(cos,sin)，则等于 （ ） 55 A．

 5310

B．cot5

C．2k(kZ) D．2k95(kZ)

（ ）

D．以上都不对

（ ）

17、若90°＜－α＜180°，则180°－α与α的终边

A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称

k，k∈Z}，N={α|－π＜α＜π}，则M∩N等于 18、设集合M={α|α=

A．{－

3,} B．{－

74,} C．{－

3,,74,} 10D．{

37, } 0019、“sinA1”“A=30º”的 （ ） 2B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件

（ ）

A．充分而不必要条件 C．充分必要条件

20、中心角为60°的扇形，它的弧长为2，则它的内切圆半径为

A．2

B．3

C．1

D．

3 221、设集合M={α|α=kπ±

A．M=N 二、填空题

k，k∈Z}，N={α|α=kπ+(－1)，k∈Z}那么下列结论中正确的是B．MN C．NM （ ）

D．MN且NM

22、若角α是第三象限角，则

角的终边在 . 223、与－1050°终边相同的最小正角是 .

24、已知是第二象限角，且|2|4,则的范围是 .