中考数学试卷(含答案)
一、选择题（本大题共有10个小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）有理数﹣2的相反数是（ ） A．2
B． 𝟐𝟏
C．﹣2
D．−𝟐 𝟏
2．（3分）下列四个几何体中，俯视图与其它三个不同的是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+1的图象是（ ）
A． B．
C． D．
4．（3分）将一张矩形纸片折叠成如图所示的图形，若∠CAB＝30°，则∠ACB的度数是（ ）
A．45°
B．55°
C．65°
D．75°
5．（3分）八年级学生去距学校10km的荆州博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度．若设骑车学生的速度为xkm/h，则可列方程为（ ）
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A．C．
𝟏𝟎𝟐𝒙𝒙𝟏𝟎
−−
𝟏𝟎𝒙𝟏𝟎𝟐𝒙
=20 =
𝟑𝟏
B．
𝟏𝟎𝒙𝟏𝟎𝟐𝒙
−−
𝟏𝟎𝟐𝒙𝟏𝟎𝒙
=20 = 𝟑𝟏
D．
6．（3分）若x为实数，在“（√𝟑+1）□x”的“□”中添上一种运算符号（在“+，﹣，×，÷”中选择）后，其运算的结果为有理数，则x不可能是（ ） A．√𝟑+1
B．√𝟑−1
C．2√𝟑 D．1−√𝟑 7．（3分）如图，点E在菱形ABCD的AB边上，点F在BC边的延长线上，连接CE，DF，对于下列条件：①BE＝CF；②CE⊥AB，DF⊥BC；③CE＝DF；④∠BCE＝∠CDF．只选取其中一条添加，不能确定△BCE≌△CDF的是（ ）
A．①
B．②
C．③
D．④
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的斜边OA在第一象限，并与x轴的正半轴夹角为30°．C为OA的中点，BC＝1，则点A的坐标为（ ）
A．（√𝟑，√𝟑）
B．（√𝟑，1）
C．（2，1）
D．（2，√𝟑）
9．（3分）定义新运算“a*b”：对于任意实数a，b，都有a*b＝（a+b）（a﹣b）﹣1，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例4*3＝（4+3）（4﹣3）﹣1＝7﹣1＝6．若x*k＝x（k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况为（ ） A．有一个实数根
C．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根 D．没有实数根
10．（3分）如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C均在网格交点上，⊙O是△ABC的外接圆，则cos∠BAC的值为（ ）
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A．
√𝟓𝟓
B．
𝟐√𝟓𝟓
C．
𝟐
𝟏
D．
√𝟑 𝟐
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
0，11．（3分）若a＝（π﹣2020）b＝﹣（）1，c＝|﹣3|，则a，b，c的大小关系为 ．（用
𝟏𝟐
﹣
“＜”号连接）
12．（3分）若单项式2xmy3与3xym+n是同类项，则√𝟐𝒎+𝒏的值为 ．
13．（3分）已知：△ABC，求作：△ABC的外接圆．作法：①分别作线段BC，AC的垂直平分线EF和MN，它们相交于点O；②以点O为圆心，OB的长为半径画圆．如图，⊙O即为所求，以上作图用到的数学依据有： ．（只需写一条）
14．（3分）若标有A，B，C的三只灯笼按图所示悬挂，每次摘取一只（摘B前需先摘C），直到摘完，则最后一只摘到B的概率是 ．
15．（3分）“健康荆州，你我同行”，市民小张积极响应“全民健身动起来”号召，坚持在某环形步道上跑步．已知此步道外形近似于如图所示的Rt△ABC，其中∠C＝90°，AB与BC间另有步道DE相连，D地在AB正中位置，E地与C地相距1km．若tan∠ABC=
𝟑
，∠DEB＝45°，小张某天沿A→C→E→B→D→A路线跑一圈，则他跑了 km． 𝟒第3页（共13页）
16．（3分）我们约定：（a，b，c）为函数y＝ax2+bx+c的“关联数”，当其图象与坐标轴交点的横、纵坐标均为整数时，该交点为“整交点”．若关联数为（m，﹣m﹣2，2）的函数图象与x轴有两个整交点（m为正整数），则这个函数图象上整交点的坐标为 ． 三、解答题（本大题共有8个小题，共72分）
𝒂−𝟐≥𝟐−𝒂①𝟏𝒂𝟐−𝟏17．（8分）先化简，再求值：（1−）÷𝟐，其中a是不等式组{的
𝒂𝒂+𝟐𝒂+𝟏𝟐𝒂−𝟏＜𝒂+𝟑②最小整数解．
18．（8分）阅读下列“问题”与“提示”后，将解方程的过程补充完整，求出x的值． 【问题】解方程：x2+2x+4√𝒙𝟐+𝟐𝒙−5＝0． 【提示】可以用“换元法”解方程． 解：设√𝒙𝟐+𝟐𝒙=t（t≥0），则有x2+2x＝t2 原方程可化为：t2+4t﹣5＝0
19．（8分）如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△DBE，点C的对应点E恰好落在AB的延长线上，连接AD． （1）求证：BC∥AD；
（2）若AB＝4，BC＝1，求A，C两点旋转所经过的路径长之和．
20．（8分）6月26日是“国际禁毒日”，某中学组织七、八年级全体学生开展了“禁毒知识”网上竞赛活动．为了解竞赛情况，从两个年级各随机抽取了10名同学的成绩（满分
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为100分），收集数据为：七年级90，95，95，80，90，80，85，90，85，100；八年级85，85，95，80，95，90，90，90，100，90． 整理数据：
分数 人数 年级 七年级 八年级 分析数据：
七年级 八年级
平均数 89 c
中位数 b 90
众数 90 d
方差 39 30
2 1
2 2
3 4
2 a
1 1
80
85
90
95
100
根据以上信息回答下列问题：
（1）请直接写出表格中a，b，c，d的值；
（2）通过数据分析，你认为哪个年级的成绩比较好？请说明理由；
（3）该校七、八年级共有600人，本次竞赛成绩不低于90分的为“优秀”．估计这两个年级共有多少名学生达到“优秀”？
21．（8分）九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数y=
𝟐
的图象与性质共探究过程如下： |𝒙|（1）绘制函数图象，如图1．
列表：下表是x与y的几组对应值，其中m＝ ； x y
… …
﹣3
𝟐𝟑
﹣2 1
﹣1 2
− 4
𝟏𝟐𝟏𝟐
1 2
2 m
3
𝟐𝟑
… …
4
描点：根据表中各组对应值（x，y），在平面直角坐标系中描出了各点； 连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象．请你把图象补充完整； （2）通过观察图1，写出该函数的两条性质； ①_____________________________________；
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②_____________________________________；
（3）①观察发现：如图2．若直线y＝2交函数y=|𝒙|的图象于A，B两点，连接OA，过点B作BC∥OA交x轴于C．则S四边形OABC＝ ；
②探究思考：将①中“直线y＝2”改为“直线y＝a（a＞0）”，其他条件不变，则S四边
形OABC
𝟐
＝ ；
𝒌
③类比猜想：若直线y＝a（a＞0）交函数y=|𝒙|（k＞0）的图象于A，B两点，连接OA，过点B作BC∥OA交x轴于C，则S四边形OABC＝ ．
22．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝20，点E是BC边上的一点，将△ABE沿着AE折叠，点B刚好落在CD边上点G处；点F在DG上，将△ADF沿着AF折叠，点D刚好落在AG上点H处，此时S△GFH：S△AFH＝2：3， （1）求证：△EGC∽△GFH； （2）求AD的长； （3）求tan∠GFH的值．
23．（10分）为了抗击新冠疫情，我市甲、乙两厂积极生产了某种防疫物资共500吨，乙厂的生产量是甲厂的2倍少100吨．这批防疫物资将运往A地240吨，B地260吨，运费如下表（单位：元/吨）．
目的地
A
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B
生产厂 甲 乙
20 15
25 24
（1）求甲、乙两厂各生产了这批防疫物资多少吨？
（2）设这批物资从乙厂运往A地x吨，全部运往A，B两地的总运费为y元．求y与x之间的函数关系式，并设计使总运费最少的调运方案；
（3）当每吨运费均降低m元（0＜m≤15且m为整数）时，按（2）中设计的调运方案运输，总运费不超过5200元．求m的最小值．
24．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，A（﹣2，﹣1），B（3，﹣1），以O为圆心，OA的长为半径的半圆O交AO延长线于C，连接AB，BC，过O作ED∥BC分别交AB和半圆O于E，D，连接OB，CD． （1）求证：BC是半圆O的切线；
（2）试判断四边形OBCD的形状，并说明理由； （3）如图2，若抛物线经过点D且顶点为E． ①求此抛物线的解析式；
②点P是此抛物线对称轴上的一个动点，以E，D，P为顶点的三角形与△OAB相似，问抛物线上是否存在一点Q．使S△EPQ＝S△OAB？若存在，请直接写出Q点的横坐标；若不存在，说明理由．
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参考答案与试题解析
一、选择题
1．A．2．A．3．C．4．D．5．C．6．C．7．C．8．B．9．C．10．B． 二、填空题
11．b＜a＜c．12．2．13．线段的垂直平分线的性质．14．．15．24．16．（2，0），（1，
𝟑𝟐
0）或（0，2）． 三、解答题 17．原式=
𝟐+𝟏𝟑
=．18．x1＝﹣1+√𝟐，x2＝﹣1−√𝟐． 𝟐𝟐19．（8分）如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△DBE，点C的对应点E恰好落在AB的延长线上，连接AD． （1）求证：BC∥AD；
（2）若AB＝4，BC＝1，求A，C两点旋转所经过的路径长之和．
【解答】（1）证明：由题意，△ABC≌△DBE，且∠ABD∠CBE＝60°， ∴AB＝DB，
∴△ABD是等边三角形， ∴∠DAB＝60°， ∴∠CBE＝∠DAB， ∴BC∥AD．
（2）解：由题意，BA＝BD＝4，BC＝BE＝1，∠ABD＝∠CBE＝60°， ∴A，C两点旋转所经过的路径长之和=𝟏𝟖𝟎+𝟏𝟖𝟎=𝟑． 20．解：（1）观察八年级95分的有2人，故a＝2； 七年级的中位数为
𝟗𝟎+𝟗𝟎𝟐
𝟔𝟎⋅𝝅⋅𝟒
𝟔𝟎⋅𝝅⋅𝟏
𝟓𝝅
=𝟗𝟎，故b＝90；
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八年级的平均数为：
𝟏
𝟏𝟐
[85+85+95+80+95+90+90+90+100+90]＝90，故c＝90；
八年级中90分的最多，故d＝90；
（2）七、八年级学生成绩的中位数和众数相同，但八年级的平均成绩比七年级高，且从方差看，八年级学生成绩更整齐，综上，八年级的学生成绩好；
（3）∵600×𝟐𝟎=390（人），
∴估计该校七、八年级这次竞赛达到优秀的有390人． 21．
（1）m＝ 1 ；
（2）① 函数的图象关于y轴对称 ；
② 当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时，y随x的增大而减小 ； （3）① 4 ；② 4 ；③ 2k ．
22．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝∠D＝∠C＝90°，
由折叠对称知：∠AGE＝∠B＝90°，∠AHF＝∠D＝90°，
∴∠GHF＝∠C＝90°，∠EGC+∠HGF＝90°，∠GFH+∠HGF＝90°， ∴∠EGC＝∠GFH， ∴△EGC∽△GFH．
（2）解：∵S△GFH：S△AFH＝2：3，且△GFH和△AFH等高， ∴GH：AH＝2：3，
∵将△ABE沿着AE折叠，点B刚好落在CD边上点G处， ∴AG＝AB＝GH+AH＝20， ∴GH＝8，AH＝12， ∴AD＝AH＝12．
（3）解：在Rt△ADG中，DG=√𝑨𝑮𝟐−𝑨𝑫𝟐=√𝟐𝟎𝟐−𝟏𝟐𝟐=16， 由折叠的对称性可设DF＝FH＝x，则GF＝16﹣x， ∵GH2+HF2＝GF2， ∴82+x2＝（16﹣x）2，
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𝟏𝟑
解得：x＝6， ∴HF＝6，
在Rt△GFH中，tan∠GFH=𝑯𝑭=𝟔=𝟑．
23．【解答】解：（1）设这批防疫物资甲厂生产了a吨，乙厂生产了b吨，则： 𝒂=𝟐𝟎𝟎𝒂+𝒃=𝟓𝟎𝟎{，解得{，
𝒃=𝟑𝟎𝟎𝟐𝒂−𝒃=𝟏𝟎𝟎
即这批防疫物资甲厂生产了200吨，乙厂生产了300吨；
（2）由题意得：y＝20（240﹣x）+25[260﹣（300﹣x）]+15x+24（300﹣x）＝﹣4x+11000， 𝒙≥𝟎
𝟐𝟒𝟎−𝒙≥𝟎∵{，解得：40≤x≤240，
𝟑𝟎𝟎−𝒙≥𝟎𝒙−𝟒𝟎≥𝟎又∵﹣4＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x＝240时，可以使总运费最少，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣4x+11000；使总运费最少的调运方案为：甲厂的200吨物资全部运往B地，乙厂运往A地240吨，运往B地60吨； （3）由题意和（2）的解答得：y＝﹣4x+11000﹣500m， 当x＝240时，y最小＝﹣4×240+11000﹣500m＝10040﹣500m， ∴10040﹣500m≤5200，解得：m≥9.68， 而0＜m≤15且m为整数， ∴m的最小值为10．
24．【解答】（1）证明：如图1，设AB与y轴交于M，
𝑮𝑯
𝟖
𝟒
∵A（﹣2，﹣1），B（3，﹣1），
∴AB∥x轴，且AM＝2，OM＝1，AB＝5， ∴OA＝OC=√𝟓，
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∵DE∥BC，O是AC的中点， ∴OE是△ABC的中位线， ∴AE=𝟐AB，BC＝2OE， ∴E（，﹣1），
𝟐𝟏𝟏
∴EM=𝟐，
∴OE=√𝑶𝑴𝟐+𝑴𝑬𝟐=√𝟏𝟐+(𝟐)𝟐=𝟐， ∴BC＝2OE=√𝟓，
在△ABC中，∵𝑨𝑪𝟐+𝑩𝑪𝟐=(𝟐√𝟓)𝟐+(√𝟓)𝟐=25，AB2＝52＝25， ∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°， ∴BC⊥AC，
∵AC为半圆O的直径， ∴BC是半圆O的切线；
（2）解：四边形OBCD是平行四边形，理由是： 如图1，由（1）得：BC＝OD＝OA=√𝟓， ∵OD∥BC，
∴四边形OBCD是平行四边形；
（3）解：①如图2，由（1）知：OD＝OA=√𝟓，E是AB的中点，且E（，﹣1），OE=
𝟐
√𝟓𝟏
𝟏√𝟓𝟏
𝟐，
过D作DN⊥y轴于N，则DN∥EM，
∴△ODN∽△OEM，
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∴
𝑶𝑵𝑶𝑴
=
𝑫𝑵𝑬𝑴
=
𝑶𝑫𝑶𝑬
，即𝑶𝑵𝟏
=
𝑫𝑵
𝟏𝟐
=
√𝟓√𝟓𝟐，
∴ON＝2，DN＝1， ∴N（﹣1，2），
设此抛物线的解析式为：y＝a（x−）2﹣1， 把N（﹣1，2）代入得：2＝a（﹣1−𝟐）2﹣1， 解得：a=，
∴此抛物线的解析式为：y=𝟑（x−𝟐）2﹣1，即y=𝟑𝒙𝟐−𝟑𝒙−𝟑； ②存在，
过D作DG⊥EP于G，设Q的横坐标为x，
𝟒
𝟏
𝟒
𝟒
𝟐
𝟒
𝟑𝟏𝟏𝟐
∵DG＝1+𝟐=𝟐，EG＝2+1＝3， ∴DE=√𝑫𝑮𝟐+𝑬𝑮𝟐=√()𝟐+𝟑𝟐=
𝑫𝑮𝟏𝟐tan∠DEG=𝑬𝑮=𝟑=𝟐，
𝟑
𝟏𝟑
𝟑𝟐𝟑√𝟓， 𝟐∵tan∠OAM=𝑨𝑴=𝟐，且∠DEG和∠OAM都是锐角， ∴∠DEG＝∠OAM，
𝑬𝑷𝑨𝑶
𝑫𝑬𝑨𝑩
𝑬𝑷√𝟓𝟑√𝟓𝟐𝑶𝑴𝟏
如图3，当△EPD∽△AOB时，∴EP=𝟐，
𝟑
=，即=
𝟓
，
第12页（共13页）
∵S△AOB=
𝟏𝟏𝟓𝑨𝑩⋅𝑶𝑴=×𝟓×𝟏=， 𝟐𝟐𝟐∵S△EPQ＝S△OAB， ∴⋅𝑬𝑷⋅|𝒙−
𝟐𝟏𝟐𝟏
𝟏𝟐𝟏𝟐
|=，
𝟐
𝟓
即×
𝟑𝟐
×|𝒙−|=，
𝟐
𝟓
解得：x=
𝟐𝟑𝟏𝟕或−； 𝟔𝟔𝑨𝑩𝑬𝑷
如图4，当△OAB∽△DEP时，=
𝑶𝑨𝑫𝑬
，即𝟓𝑬𝑷
=
√𝟓𝟑√𝟓𝟐，
∴EP=𝟐， 同理得：⋅
𝟐𝟕𝟏𝟏𝟓
𝟐𝟏𝟓
⋅|𝒙−
𝟏
𝟏𝟐
|=，
𝟐
𝟓
解得：x=𝟔或−𝟔；
综上，存在符合条件的点Q，Q点的横坐标为
𝟐𝟑
或−𝟔或或−𝟔． 𝟔𝟔
𝟏𝟕
𝟕
𝟏
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