高中 两角和与差的正弦、余弦和正切 知识点+例题

辅导讲义――两角和与差的正弦、余弦和正切

教学内容 知识模块1两角和与差的正弦、余弦、正切公式 1.两角和与差的正弦公式：sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ (S(α－β)) sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ (S(α＋β)) 2. 两角和与差的余弦公式：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ (C(α－β)) cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ (C(α＋β)) tan α－tan β3. 两角和与差的正切公式：tan(α－β)＝ (T(α－β)) 1＋tan αtan βtan α＋tan βtan(α＋β)＝ (T(α＋β)) 1－tan αtan β 精典例题透析 [例1] 若sin( [巩固] 已知tan [例2] 化简：cos15cos45cos75sin45的值为___________.3)17，则cos(2)______. 4835634，sin()，且,(0,)，则sin的值为___________. 313651 2sin89cos44cos89sin44_____. [巩固] 求 [例3] 在△ABC中，cosA [巩固] 已知锐角三角形ABC中，sin(AB) 2 2tan20tan40tan120的值为________.3 tan20tan404165，cosB，则cosC的值为__________. 1356513tanA____.2 ，sin(AB)，则5tanB5 1

[例4] 若sinsin [巩固] 若8sin5cos6，8cos5sin10，则sin()______. [例5] 已知cos() [巩固1] 已知sin()1，则sin(2)sin(23)_____.0 [巩固2] 已知tan [巩固3] 已知tan() [巩固4] (2014·课标全国Ⅱ)函数f(x)＝sin(x＋2φ)－2sin φcos(x＋φ)的最大值为________．1 解析 ∵f(x)＝sin(x＋2φ)－2sin φcos(x＋φ)＝sin[(x＋φ)＋φ]－2sin φcos(x＋φ) ＝sin(x＋φ)cos φ＋cos(x＋φ)sin φ－2sin φcos(x＋φ)＝sin(x＋φ)cos φ－cos(x＋φ)sin φ＝sin[(x＋φ)－φ]＝sin x， 知识模块2倍角公式 1．二倍角公式 sin 2α＝2sinαcosα； cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； 2tan αtan 2α＝. 1－tan2α2．半角公式 1159，coscos，则cos()的值为______. 237247 803556，sin，，均为锐角，则cos(2)______. 13655211，tan()，那么tan(2)______. 25121222，tan()，则tan()____. 56343sin21cos1cos； cos； 222 2

tan21cos1cossin 1cossin1cos3．在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等． 如T(α±β)可变形为 tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)， tan α＋tan βtan α－tan βtan αtan β＝1－＝－1. tanα＋βtanα－β 精典例题透析 [例1] 已知为第二象限角，sincos [巩固1] 已知为锐角，sin2 [巩固2] 已知函数f(tanx)sin2x，x( [例2] 已知sin( [巩固1] 若sin( [巩固2] 已知为锐角，为钝角，sin [例3] 已知 [巩固] 在△ABC中，若cosA 3

53，则cos2______ 3373，则cossin_____. 2441,)，则f()____. 22254x)73，则sin2x的值为_______. 5253)74，则cos(2)_____. 532512239，cos，则cos2()的值为_______. 37299sincos32，则tan2____. sincos4112BC，则sincos2A的值为_______. 329 [例4] [巩固] [例5] 若(0, [巩固] 若 2tan22.5____.-1 21tan22.51cos10____.2 cos852)，则1sin2的最大值为_________. 2sin24cos24x2，则ytan2xtanx的最大值为_______.-8 3知识模块3 题型一：三角函数公式的基本应用 [例]（1）设tan α，tan β是方程x2－3x＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为_________. πππ1πβ3β（2）若0<α<，－<β<0，cos(＋α)＝，cos(－)＝，则cos(α＋)等于________. 2243423253答案 (1)－3 (2) 9解析 (1)由根与系数的关系可知 tan α＋tan β＝3，tan αtan β＝2. tan α＋tan β3∴tan(α＋β)＝＝＝－3. 1－tan αtan β1－2βππβππβππβ (2)cos(α＋)＝cos[(＋α)－(－)]＝cos(＋α)cos(－)＋sin(＋α)sin(－)． 2442442442π∵0<α<， 2ππ3ππ22则<＋α<，∴sin(＋α)＝. 44443πππβπ又－<β<0，则<－<， 24422πβ6则sin(－)＝. 423β1322653故cos(α＋)＝×＋×＝.故选C. 233339ππ1[巩固]（1）若α∈(，π)，tan(α＋)＝，则sin α等于_______. 247 4

1＋cos 20°1（2）计算：－sin 10°(－tan 5°)＝________. 2sin 20°tan 5°33答案 (1) (2) 52πtan α＋11解析 (1)∵tan(α＋)＝＝， 41－tan α73sin α4∴tan α＝－＝， ∴cos α＝－sin α. 4cos α39又∵sin2α＋cos2α＝1， ∴sin2α＝. 25π3又∵α∈(，π)，∴sin α＝. 25cos25°－sin25°cos 10°sin 20°cos 10°－2sin 20°2cos210°(2)原式＝－sin 10°·＝－＝ 4sin 10°cos 10°sin 5°cos 5°2sin 10°sin 10°2sin 10°cos 10°－2sin30°－10°cos 10°－2sin 30°cos 10°＋2cos 30°sin 10°3＝＝＝. 2sin 10°2sin 10°2题型二：三角函数公式的灵活应用 [例]（1）sin(65°－x)cos(x－20°)＋cos(65°－x)·cos(110°－x)的值为_________. 12cos4x－2cos2x＋2（2）化简：＝________. ππ2tan－xsin2＋x44cos 15°＋sin 15°（3）求值：＝________. cos 15°－sin 15°答案 (1) 21 (2)cos 2x (3)3 22解析 (1)原式＝sin(65°－x)·cos(x－20°)＋cos(65°－x)cos[90°－(x－20°)] ＝sin(65°－x)cos(x－20°)＋cos(65°－x)sin(x－20°)＝sin[(65°－x)＋(x－20°)]＝sin 45°＝14cos4x－4cos2x＋122cos2x－12cos22xcos22x1(2)原式＝＝＝＝＝cos 2x. ππππ2cos 2x22×sin－x4sin－xcos－x2sin－2x4442π2·cos－xπ4cos－x41＋tan 15°tan 45°＋tan 15°(3)原式＝＝＝tan(45°＋15°)＝3. 1－tan 15°1－tan 45°tan 15°αα1＋sin α＋cos α·cos－sin22[巩固]（1）已知α∈(0，π)，化简：＝________. 2＋2cos αACAC（2）在△ABC中，已知三个内角A，B，C成等差数列，则tan＋tan＋3tantan的值为________． 2222答案 (1)cos α (2)3 ααααα2cos2＋2sincos·cos－sin22222解析 (1)原式＝. α4cos222. 2 5

α因为α∈(0，π)，所以cos>0， 2ααααα2cos2＋2sincos·cos－sin22222αααααα所以原式＝＝(cos＋sin)·(cos－sin)＝cos2－sin2＝cos α. α2222222cos2A＋C2πA＋Cπ(2)因为三个内角A，B，C成等差数列，且A＋B＋C＝π，所以A＋C＝，＝，tan ＝3， 3232ACACACACAC＋1－tan tan ＋3tan tan 所以tan ＋tan ＋3tan tan ＝tan2222222222ACAC1－tan tan ＋3tan tan ＝3. ＝32222题型三：三角函数公式运用中角的变换 31[例]（1）已知α，β均为锐角，且sin α＝，tan(α－β)＝－.则sin(α－β)＝________，cos β＝________. 53π2α＋等于______. （2）(2013·课标全国Ⅱ)已知sin 2α＝，则cos243答案 (1)－1091 10 (2) 10506πππ解析 (1)∵α，β∈(0，)，从而－<α－β<. 2221π又∵tan(α－β)＝－<0，∴－<α－β<0. 32∴sin(α－β)＝－10310，cos(α－β)＝. 101034∵α为锐角，sin α＝，∴cos α＝. 554310310910∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝×＋×(－)＝. 51051050α＋π1＋cos2α＋π1＋cos221－sin 2α4πα＋＝(2)因为cos2＝＝， 422221－31π1－sin 2αα＋＝所以cos2＝＝，选A. 4226[巩固]（1）设α、β都是锐角，且cos α＝53，sin(α＋β)＝，则cos β等于________. 55π47π（2）已知cos(α－)＋sin α＝3，则sin(α＋)的值是________． 656254答案 (1) (2)－ 255解析 (1)依题意得sin α＝1－cos2α＝4cos(α＋β)＝±1－sin2α＋β＝±. 5又α，β均为锐角，所以0<α<α＋β<π，cos α>cos(α＋β)． 454因为>>－， 555 6

25， 5 4所以cos(α＋β)＝－. 54532525于是cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－×＋×＝. 555525π4(2)∵cos(α－)＋sin α＝3， 65∴334cos α＋sin α＝3， 2251343(cos α＋sin α)＝3， 225π4π43sin(＋α)＝3， ∴sin(＋α)＝， 65657ππ4∴sin(α＋)＝－sin(＋α)＝－. 665 练习 1．已知cos(2.已知3tan32)tan21(0)，则sin() ▲ ． 3241,sin3sin2，则tan - 23231，则sincos - 5253.已知是第三象限角，且sin2cos4.若、均为锐角，且cos 夯实基础训练 1147，cos()，则cos ． 17513π1π2β－＝，那么tanα＋等于___________. 1．已知tan(α＋β)＝，tan4445答案 3 22ππππβ－， 解析 因为α＋＋β－＝α＋β，所以α＋＝(α＋β)－4444ππ3α＋＝tanα＋β－β－＝所以tan＝. 44π221＋tanα＋βtanβ－4ππ372．若θ∈[，]，sin 2θ＝，则sin θ等于________. 4283答案 43解析 由sin 2θ＝7和sin2θ＋cos2θ＝1得 8πβ－tanα＋β－tan4 7

3＋7237(sin θ＋cos θ)2＝＋1＝()， 843＋7ππ又θ∈[，]，∴sin θ＋cos θ＝. 4243－73同理，sin θ－cos θ＝，∴sin θ＝. 441＋cos 2α＋8sin2α3．已知tan α＝4，则的值为___________. sin 2α答案 65 41＋cos 2α＋8sin2α2cos2α＋8sin2α解析 ＝， sin 2α2sin αcos α∵tan α＝4，∴cos α≠0，分子、分母都除以4．(2013·重庆)4cos 50°－tan 40°等于_______. 答案 3 4sin 40°cos 40°－sin 40°2sin 80°－sin 40°2sin50°＋30°－sin 40°＝＝ cos 40°cos 40°cos 40°3sin 50°＋cos 50°－sin 40°3sin 50°＝＝3. cos 40°cos 40°cos2α2＋8tan2α65得＝. 2tan α4解析 4cos 50°－tan 40°＝＝π3π5．已知cos(x－)＝－，则cos x＋cos(x－)的值是________. 633答案 －1 π133331π解析 cos x＋cos(x－)＝cos x＋cos x＋sin x＝cos x＋sin x＝3(cos x＋sin x)＝3cos(x－)＝－1. 32222226sin250°6． ＝________. 1＋sin 10°1答案 21－cos 100°1－cos90°＋10°1＋sin 10°1sin250°解析 ＝＝＝＝. 1＋sin 10°21＋sin 10°21＋sin 10°21＋sin 10°27．已知α、β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tan α＝________. 答案 1 解析 根据已知条件：cos αcos β－sin αsin β＝sin αcos β－cos αsin β， cos β(cos α－sin α)＋sin β(cos α－sin α)＝0，即(cos β＋sin β)(cos α－sin α)＝0. 又α、β为锐角，则sin β＋cos β>0， ∴cos α－sin α＝0，∴tan α＝1. 3tan 12°－38．＝________. 4cos212°－2sin 12°答案 －43 1323sin 12°－cos 12°223sin 12°－3cos 12°cos 12°解析 原式＝＝ 2cos 24°sin 12°22cos212°－1sin 12° 8

＝＝23sin－48°－23sin 48°＝ 2cos 24°sin 12°cos 12°sin 24°cos 24°－23sin 48°＝－43. 1sin 48°21－sin α＝－2tan α，试确定使等式成立的α的取值集合． 1＋sin α1－sin α 1＋sin α9．已知 1＋sin α－ 1－sin α解 因为 1＋sin α－ 1－sin α＝ ＝＝＝1＋sin α2－ cos2α1－sin α2 cos2α|1＋sin α||1－sin α|－ |cos α||cos α|1＋sin α－1＋sin α |cos α|2sin α， |cos α|2sin α2sin α所以＝－2tan α＝－. |cos α|cos α所以sin α＝0或|cos α|＝－cos α>0. π3π故α的取值集合为{α|α＝kπ或2kπ＋<α<2kπ＋π或2kπ＋π<α<2kπ＋，k∈Z}． 22παα6，π，且sin ＋cos ＝. 10．已知α∈2222（1）求cos α的值； π3（2）若sin(α－β)＝－，β∈2，π，求cos β的值． 5αα6解 (1)因为sin ＋cos ＝， 2221两边同时平方，得sin α＝. 2π3又<α<π，所以cos α＝－. 22ππ(2)因为<α<π，<β<π， 22πππ所以－π<－β<－，故－<α－β<. 22234又sin(α－β)＝－，得cos(α－β)＝. 55cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝－43＋33413×＋×－5＝－. 25210 能力提升训练 9

2sin2α＋sin 2απ1π11．已知tan(α＋)＝，且－<α<0，则等于______. 422πcosα－425答案 － 5πtan α＋111解析 由tan(α＋)＝＝，得tan α＝－. 41－tan α23π10又－<α<0，所以sin α＝－. 2102sin2α＋sin 2α2sin αsin α＋cos α25故＝＝22sin α＝－. π52cosα－sin α＋cos α42π10，，且sin2α＋cos 2α＝，则tan α的值等于_______. 12．若α∈24答案 3 π10，，且sin2α＋cos 2α＝， 解析 ∵α∈2411∴sin2α＋cos2α－sin2α＝，∴cos2α＝， 4411∴cos α＝或－(舍去)， 22π∴α＝，∴tan α＝3. 31ππ13．若tan θ＝，θ∈(0，)，则sin(2θ＋)＝________. 244答案 72 102sin θcos θ2tan θ4解析 因为sin 2θ＝2＝＝， sinθ＋cos2θtan2θ＋15ππ又由θ∈(0，)，得2θ∈(0，)， 423所以cos 2θ＝1－sin22θ＝， 5πππ423272所以sin(2θ＋)＝sin 2θcos＋cos 2θsin＝×＋×＝. 4445252107π3πx＋＋cosx－，x∈R. 14．已知函数f(x)＝sin44（1）求f(x)的最小正周期和最小值； 44π（2）已知cos(β－α)＝，cos(β＋α)＝－，0<α<β≤，求证：[f(β)]2－2＝0. 5527ππππππx＋－2π＋cosx－－＝sinx－＋sinx－＝2sinx－， (1)解 ∵f(x)＝sin442444∴T＝2π，f(x)的最小值为－2. 4(2)证明 由已知得cos βcos α＋sin βsin α＝， 54cos βcos α－sin βsin α＝－， 5 10

两式相加得2cos βcos α＝0， ππ∵0<α<β≤，∴β＝， 22π∴[f(β)]2－2＝4sin2－2＝0. 41ππ15．已知f(x)＝(1＋)sin2x－2sin(x＋)·sin(x－)． tan x44（1）若tan α＝2，求f(α)的值； ππ（2）若x∈[，]，求f(x)的取值范围． 122πx＋·解 (1)f(x)＝(sin2x＋sin xcos x)＋2sin4 π1－cos 2x12x＋π x＋＝cos＋sin 2x＋sin24221111＝＋(sin 2x－cos 2x)＋cos 2x＝(sin 2x＋cos 2x)＋. 22222sin αcos α2tan α4由tan α＝2，得sin 2α＝2＝2＝. 2sinα＋cosαtanα＋15cos2α－sin2α1－tan2α3cos 2α＝2＝＝－. 5sinα＋cos2α1＋tan2α113所以，f(α)＝(sin 2α＋cos 2α)＋＝. 225π11122x＋＋. (2)由(1)得f(x)＝(sin 2x＋cos 2x)＋＝sin42222ππ5ππ5π，，得≤2x＋≤. 由x∈1221244所以－π2＋122x＋≤1,0≤f(x)≤≤sin， 422所以f(x)的取值范围是0，

2＋1. 2 11