数学人教版必修一课后习题答案

高中数学必修1课后习题答案 第一章 集合与函数概念

1．1集合

1．1．1集合的含义与表示

练习（第5页）

1．用符号“”或“”填空：

（1）设A为所有亚洲国家组成的集合，则：中国_______A，美国_______A，

印度_______A，英国_______A；

（2）若A{x|xx}，则1_______A； （3）若B{x|xx60}，则3_______B；

（4）若C{xN|1x10}，则8_______C，9.1_______C． 1．（1）中国A，美国A，印度A，英国A；

中国和印度是属于亚洲的国家，美国在北美洲，英国在欧洲．

22}{0,．1} （2）1A A{x|xx

,2 （3）3B B{x|xx60}{3． } （4）8C，9.1C 9.1N．

2．试选择适当的方法表示下列集合：

（1）由方程x90的所有实数根组成的集合； （2）由小于8的所有素数组成的集合；

（3）一次函数yx3与y2x6的图象的交点组成的集合； （4）不等式4x53的解集．

22．解：（1）因为方程x90的实数根为x13,x23，

222 所以由方程x90的所有实数根组成的集合为{3,3}； （2）因为小于8的素数为2,3,5,7，

所以由小于8的所有素数组成的集合为{2,3,5,7}；

2yx3x1 （3）由，得，

y2x6y4即一次函数yx3与y2x6的图象的交点为(1,4)，

所以一次函数yx3与y2x6的图象的交点组成的集合为{(1,4)}；

（4）由4x53，得x2，

所以不等式4x53的解集为{x|x2}．

1．1．2集合间的基本关系

练习（第7页）

1．写出集合{a,b,c}的所有子集．

1．解：按子集元素个数来分类，不取任何元素，得；

取一个元素，得{a},{b},{c}； 取两个元素，得{a,b},{a,c},{b,c}； 取三个元素，得{a,b,c}，

即集合{a,b,c}的所有子集为,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}．

2．用适当的符号填空：

（1）a______{a,b,c}； （2）0______{x|x0}； （3）______{xR|x10}； （4）{0,1}______N；

（5）{0}______{x|xx}； （6）{2,1}______{x|x3x20}． 2．（1）a{a,b,c} a是集合{a,b,c}中的一个元素；

2} （2）0{x|x0} {x|x022222{；0}

22（3）{xR|x10} 方程x10无实数根，{xR|x10}；

2（4）{0,1}（5）{0}是自然数集合N的子集，也是真子集； N （或{0,1}N） {0,1}{x|x2x} （或{0}{x|x2x}） {x|x2x}{0,；1}

22（6）{2,1}{x|x3x20} 方程x3x20两根为x11,x22．

3．判断下列两个集合之间的关系：

（1）A{1,2,4}，B{x|x是8的约数}；

（2）A{x|x3k,kN}，B{x|x6z,zN}；

（3）A{x|x是4与10的公倍数,xN}，B{x|x20m,mN}．

3．解：（1）因为B{x|x是8的约数}{1,2,4,8}，所以AB；

（2）当k2z时，3k6z；当k2z1时，3k6z3， 即B是A的真子集，BA；

（3）因为4与10的最小公倍数是20，所以AB．

1．1．3集合的基本运算

练习（第11页）

1．设A{3,5,6,8},B{4,5,7,8}，求AB,AB． 1．解：AB{3,5,6,8}{4,5,7,8}{5,8}， AB{3,5,6,8}2{4,5,7,8}2{3,．4 ,2．设A{x|x4x50},B{x|x1}，求AB,AB．

22．解：方程x4x50的两根为x11,x25， 2 方程x10的两根为x11,x21，

得A{1,5},B{1,1}， 即AB{1},AB{1,1,5}．

3．已知A{x|x是等腰三角形}，B{x|x是直角三角形}，求AB,AB． 3．解：AB{x|x是等腰直角三角形}，

x} AB{x|是等腰三角形或直角三角形．

4．已知全集U{1,2,3,4,5,6,7}，A{2,4,5},B{1,3,5,7}， 求A(痧UB),(UA)( UB)．

1,3,6,7}， 4．解：显然ðUB{2,4,6}，ðUA{则A(ðUB){2,4}，(痧UA)(UB){6}．

1．1集合

习题1．1 （第11页） A组

1．用符号“”或“”填空：

（1）3_______Q； （2）32______N； （3）_______Q；

2（4）2_______R； （5）9_______Z； （6）(5)_______N．

271．（1）3Q 3272是有理数； （2）32N 329是个自然数； 72是实数；

（3）Q 是个无理数，不是有理数； （4）2R （5）9Z

)593是个整数； （6）(5)2N (52是个自然数．

2．已知A{x|x3k1,kZ}，用 “”或“” 符号填空： （1）5_______A； （2）7_______A； （3）10_______A．

2．（1）5A； （2）7A； （3）10A．

当k2时，3k15；当k3时，3k110； 3．用列举法表示下列给定的集合： （1）大于1且小于6的整数； （2）A{x|(x1)(x2)0}； （3）B{xZ|32x13}．

3．解：（1）大于1且小于6的整数为2,3,4,5，即{2,3,4,5}为所求；

（2）方程(x1)(x2)0的两个实根为x12,x21，即{2,1}为所求； （3）由不等式32x13，得1x2，且xZ，即{0,1,2}为所求． 4．试选择适当的方法表示下列集合：

（1）二次函数yx4的函数值组成的集合；

22的自变量的值组成的集合； x（3）不等式3x42x的解集．

（2）反比例函数y4．解：（1）显然有x0，得x44，即y4，

得二次函数yx4的函数值组成的集合为{y|y4}；

2222

的自变量的值组成的集合为{x|x0}； x44（3）由不等式3x42x，得x，即不等式3x42x的解集为{x|x}．

55（2）显然有x0，得反比例函数y5．选用适当的符号填空：

（1）已知集合A{x|2x33x},B{x|x2}，则有：

4_______B； 3_______A； {2}_______B； B_______A； （2）已知集合A{x|x10}，则有：

1_______A； {1}_______A； _______A； {1,_______A； 1}（3）{x|x是菱形}_______{x|x是平行四边形}； {x|x是等腰三角形}_______{x|x是等边三角形}． 5．（1）4B； 3A； {2}B； B2A；

2x33，即A{x|x3},B{x|x2}； xx3 （2）1A； {1}A； 2=A； 1}A； {1,1,1} A{x|x10}{；

（3）{x|x是菱形}{x|x是平行四边形}；

菱形一定是平行四边形，是特殊的平行四边形，但是平行四边形不一定是菱形；

{x|x是等边三角形}{x|x是等腰三角形}．

等边三角形一定是等腰三角形，但是等腰三角形不一定是等边三角形．

6．设集合A{x|2x4},B{x|3x782x}，求AB,AB． 6．解：3x782x，即x3，得A{x|2x4},B{x|x3}， 则AB{x|x2}，AB{x|3x4}．

7．设集合A{x|x是小于9的正整数}，B{1,2,3},C{3,4,5,6}，求AB， AC，A(BC)，A(BC)．

7．解：A{x|x是小于9的正整数}{1,2,3,4,5,6,7,8}， 则AB{1,2,3}，AC{3,4,5,6}，

而BC{1,2,3,4,5,6}，BC{3}， 则A(BC){1,2,3,4,5,6}，

A(BC){1,2,3,4,5,6,7,8}．

8．学校里开运动会，设A{x|x是参加一百米跑的同学}，

B{x|x是参加二百米跑的同学}，C{x|x是参加四百米跑的同学}，

学校规定，每个参加上述的同学最多只能参加两项，请你用集合的语言说明这项规定， 并解释以下集合运算的含义：（1）AB；（2）AC．

8．解：用集合的语言说明这项规定：每个参加上述的同学最多只能参加两项， 即为(AB)C．

（1）AB{x|x是参加一百米跑或参加二百米跑的同学}； （2）AC{x|x是既参加一百米跑又参加四百米跑的同学}．

9．设S{x|x是平行四边形或梯形}，A{x|x是平行四边形}，B{x|x是菱形}，

x} C{x|是矩形，求BC，ðAB，ðSA．

9．解：同时满足菱形和矩形特征的是正方形，即BC{x|x是正方形}，

平行四边形按照邻边是否相等可以分为两类，而邻边相等的平行四边形就是菱形， 即ðAB{x|x是邻边不相等的平行四边形}，

x} ðSA{x|是梯形．

10．已知集合A{x|3x7},B{x|2x10}，求ðR(AB)，ðR(AB)，

(ðRA)B，A(ðRB)．

10．解：AB{x|2x10}，AB{x|3x7}，

,x7}ðRB{x|x2,或x10}， ðRA{x|x3或，

得ðR(AB){x|x2,或x10}，

或3,x，7 } ðR(AB){x|xx或3, (ðRA)B{x|2或2, A(ðRB){x|x7x，1 03x或7x．1 0B组

1．已知集合A{1,2}，集合B满足AB{1,2}，则集合B有 个． 1．4 集合B满足ABA，则BA，即集合B是集合A的子集，得4个子集．

2．在平面直角坐标系中，集合C{(x,y)|yx}表示直线yx，从这个角度看， 集合D(x,y)|2xy1表示什么？集合C,D之间有什么关系？

x4y52xy1表示两条直线2xy1,x4y5的交点的集合，

x4y52．解：集合D(x,y)| 即D(x,y)|2xy1{(1,1)}，点D(1,1)显然在直线yx上，

x4y5得DC．

3．设集合A{x|(x3)(xa)0,aR}，B{x|(x4)(x1)0}，求AB,AB． 3．解：显然有集合B{x|(x4)(x1)0}{1,4}，

当a3时，集合A{3}，则AB{1,3,4},AB； 当a1时，集合A{1,3}，则AB{1,3,4},AB{1}； 当a4时，集合A{3,4}，则AB{1,3,4},AB{4}； 当a1，且a3，且a4时，集合A{3,a}，

则AB{1,3,4,a},AB．

1,3,5,7}，试求集合B． 4．已知全集UAB{xN|0x10}，A(ðUB){4．解：显然U{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，由UAB，

得ðUBA，即A(痧UB)UB，而A(ð1,3,5,7}， UB){U1,3,5,7}，而B痧得ðUB{U(即B{0,2,4,6,8.9,10}．

B)，

第一章 集合与函数概念

1．2函数及其表示

1．2．1函数的概念

练习（第19页）

1．求下列函数的定义域：

1； （2）f(x)1xx31．

4x771．解：（1）要使原式有意义，则4x70，即x，

47 得该函数的定义域为{x|x}；

4（1）f(x)1x0 （2）要使原式有意义，则，即3x1，

x30 得该函数的定义域为{x|3x1}． 2．已知函数f(x)3x2x，

（1）求f(2),f(2),f(2)f(2)的值； （2）求f(a),f(a),f(a)f(a)的值．

22．解：（1）由f(x)3x2x，得f(2)322218，

22 同理得f(2)3(2)2(2)8，

则f(2)f(2)18826，

即f(2)18,f(2)8,f(2)f(2)26；

2 （2）由f(x)3x2x，得f(a)3a2a3a2a，

222 同理得f(a)3(a)2(a)3a2a， 则f(a)f(a)(3a2a)(3a2a)6a，

即f(a)3a2a,f(a)3a2a,f(a)f(a)6a．

3．判断下列各组中的函数是否相等，并说明理由：

（1）表示炮弹飞行高度h与时间t关系的函数h130t5t和二次函数y130x5x； （2）f(x)1和g(x)x．

3．解：（1）不相等，因为定义域不同，时间t0； （2）不相等，因为定义域不同，g(x)x(x0)． 1．2．2

002222222222函数的表示法

练习（第23页）

1．如图，把截面半径为25cm的圆形木头锯成矩形木料，如果矩形的一边长为xcm，

面积为ycm，把y表示为x的函数． 1．解：显然矩形的另一边长为502x2cm，

22 yx50，且0x50， x2x2500x2 即yx2500x2(0x50)．

2．下图中哪几个图象与下述三件事分别吻合得最好？请你为剩下的那个图象写出一件事． （1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学；（2）我骑着车一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间； （3）我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速．

离开家的距离 离开家的距离 离开家的距离 离开家的距离 O 时间 O 时间 O 时间 O 时间 （A） （B） （C） （D）

2．解：图象（A）对应事件（2），在途中遇到一次交通堵塞表示离开家的距离不发生变化； 图象（B）对应事件（3），刚刚开始缓缓行进，后来为了赶时间开始加速； 图象（D）对应事件（1），返回家里的时刻，离开家的距离又为零；

图象（C）我出发后，以为要迟到，赶时间开始加速，后来心情轻松，缓缓行进． 3．画出函数y|x2|的图象．

x2,x23．解：y|x2|，图象如下所示．

x2,x2

4．设与AA{x|x是锐角},B{0,1}，从A到B的映射是“求正弦”，

中元素60相对应

的么？

B中的元素是什么？与B中的元素

2相对应的A中元素是什2

4．解：因为sin6033，所以与A中元素60相对应的B中的元素是； 2222，所以与B中的元素相对应的A中元素是45． 221．2函数及其表示 习题1．2（第23页）

因为sin451．求下列函数的定义域： （1）f(x)3x； （2）f(x)x2； x44x6f(x)； （4）．

x1x23x2（3）f(x)1．解：（1）要使原式有意义，则x40，即x4， 得该函数的定义域为{x|x4}； （2）xR，f(x)x2都有意义，

即该函数的定义域为R；

（3）要使原式有意义，则x3x20，即x1且x2， 得该函数的定义域为{x|x1且x2}；

2（4）要使原式有意义，则4x0，即x4且x1，

x10 得该函数的定义域为{x|x4且x1}． 2．下列哪一组中的函数f(x)与g(x)相等？

x21； （2）f(x)x2,g(x)(x)4； （1）f(x)x1,g(x)x（3）f(x)x2,g(x)3x6．

x21的定义域为{x|x0}， 2．解：（1）f(x)x1的定义域为R，而g(x)x 即两函数的定义域不同，得函数f(x)与g(x)不相等；

42 （2）f(x)x的定义域为R，而g(x)(x)的定义域为{x|x0}，

即两函数的定义域不同，得函数f(x)与g(x)不相等；

（3）对于任何实数，都有3x6x2，即这两函数的定义域相同，切对应法则相同，

得函数f(x)与g(x)相等．

3．画出下列函数的图象，并说出函数的定义域和值域． （1）y3x； （2）y3．解：（1）

定义域是(,)，值域是(,)； （2）

定义域是(,0)(0,)，值域是(,0)(0,)；

（3）

82； （3）y4x5； （4）yx6x7． x

定义域是(,)，值域是(,)；

（4）

定义域是(,)，值域是[2,)．

24．已知函数f(x)3x5x2，求f(2)，f(a)，f(a3)，f(a)f(3)．

224．解：因为f(x)3x5x2，所以f(2)3(2)5(2)2852，

即f(2)852；

同理，f(a)3(a)5(a)23a5a2， 即f(a)3a5a2；

f(a3)3(a3)5(a3)23a13a14， 即f(a3)3a13a14；

f(a)f(3)3a5a2f(3)3a5a16， 即f(a)f(3)3a5a16． 5．已知函数f(x)222222222x2， x6 （1）点(3,14)在f(x)的图象上吗？ （2）当x4时，求f(x)的值；

（3）当f(x)2时，求x的值． 5．解：（1）当x3时，f(3)32514， 363 即点(3,14)不在f(x)的图象上； （2）当x4时，f(4)423， 46 即当x4时，求f(x)的值为3；

x22，得x22(x6)， x6 即x14．

（3）f(x)6．若f(x)xbxc，且f(1)0,f(3)0，求f(1)的值． 6．解：由f(1)0,f(3)0，

得1,3是方程xbxc0的两个实数根， 即13b,13c，得b4,c3，

即f(x)x4x3，得f(1)(1)4(1)38， 即f(1)的值为8．

7．画出下列函数的图象：

22220,x0 （1）F(x)； （2）G(n)3n1,n{1,2,3}．

1,x0

7．图象如下：

8．如图，矩形的面积为10，如果矩形的长为x，宽为y，对角线为d， 周长为l，那么你能获得关于这些量的哪些函数？

8．解：由矩形的面积为10，即xy10，得y1010(x0)，x(y0)，

yx100(x0)， 2x 由对角线为d，即dx2y2，得dx2 由周长为l，即l2x2y，得l2x2220(x0)， x2 另外l2(xy)，而xy10,dxy，

得l2(xy)2xy2xy2d20(d0)， 即l2d220(d0)．

9．一个圆柱形容器的底部直径是dcm，高是hcm，现在以vcm/s的速度向容器内注入某种溶液．求溶

液内溶液的高度xcm关于注入溶液的时间ts的函数解析式，并写出函数的定义域和值域． 9．解：依题意，有()xvt，即x32222d224vt， d2hd24vth，得0t 显然0xh，即0，

4vd2hd2]和值域为[0,h]． 得函数的定义域为[0,4v10．设集合A{a,b,c},B{0,1}，试问：从A到B的映射共有几个？ 并将它们分别表示出来．

10．解：从A到B的映射共有8个．

f(a)0f(a)0f(a)0f(a)0 分别是f(b)0，f(b)0，f(b)1，f(b)0，

f(c)0f(c)1f(c)0f(c)1f(a)1f(a)1f(a)1f(a)1 f(b)0，f(b)0，f(b)1，f(b)0．

f(c)0f(c)1f(c)0f(c)1 Ｂ组

1．函数rf(p)的图象如图所示． （1）函数rf(p)的定义域是什么？ （2）函数rf(p)的值域是什么？

（3）r取何值时，只有唯一的p值与之对应？ 1．解：（1）函数rf(p)的定义域是[5,0][2,6)； （2）函数rf(p)的值域是[0,)；

（3）当r5，或0r2时，只有唯一的p值与之对应．

2．画出定义域为{x|3x8,且x5}，值域为{y|1y2,y0}的一个函数的图象．

（1）如果平面直角坐标系中点P(x,y)的坐标满足3x8，1y2，那么其中哪些点不能在图象

上？

（2）将你的图象和其他同学的相比较，有什么差别吗？

2．解：图象如下，（1）点(x,0)和点(5,y)不能在图象上；（2）省略．

3．函数f(x)[x]的函数值表示不超过x的最大整数，例如，[3.5]4，[2.1]2． 当x(2.5,3]时，写出函数f(x)的解析式，并作出函数的图象．

3,2.5x22,2x11,1x03．解：f(x)[x]0,0x1

1,1x22,2x33,x3 图象如下

4．如图所示，一座小岛距离海岸线上最近的点P的距离是2km，从点P沿海岸正东12km 处有一个城镇．

（1）假设一个人驾驶的小船的平均速度为3km/h，步行的速度是5km/h，t（单位：h）表示他从小岛

到城镇的时间，x（单位：km）表示此人将船停在海岸处距P点的距离．请将t表示为x的函数． （2）如果将船停在距点P4km处，那么从小岛到城镇要多长时间（精确到1h）？ 4．解：（1）驾驶小船的路程为x222，步行的路程为12x，

得tx22212x，(0x12)， 35x2412x，(0x12)． 3241242583(h)． 3535即t （2）当x4时，t

第一章 集合与函数概念

1．3函数的基本性质

1．3．1单调性与最大（小）值

练习（第32页）

1．请根据下图描述某装配线的生产效率与生产线上工人数量间的关系．

1．答：在一定的范围内，生产效率随着工人数量的增加而提高，当工人数量达到某个数量时，生产效率

达到最大值，而超过这个数量时，生产效率随着工人数量的增加而降低．由此可见，并非是工人越多，生产效率就越高． 2．整个上午(8:0012:00)天气越来越暖，中午时分(12:0013:00)一场暴风雨使天气骤然凉爽了许多.暴风雨过后，天气转暖，直到太阳落山(18:00)才又开始转凉.画出这一天8:0020:00期间气温作为时间函数的一个可能的图象，并说出所画函数的单调区间. 2．解：图象如下

][12,13]是递减区间，[13,18]是递增区间，[18,20]是递减区间． [8,12是递增区间，

3．根据下图说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，函数是增函数还是减函数.

3．解：该函数在[1,0]上是减函数，在[0,2]上是增函数，在[2,4]上是减函数，

在[4,5]上是增函数．

4．证明函数f(x)2x1在R上是减函数. 4．证明：设x1,x2R，且x1x2，

因为f(x1)f(x2)2(x1x2)2(x2x1)0， 即f(x1)f(x2)，

所以函数f(x)2x1在R上是减函数.

5．设f(x)是定义在区间[6,11]上的函数.如果f(x)在区间[6,2]上递减，在区间[2,11]上递增，画出f(x)的一个大致的图象，从图象上可以发现f(2)是函数f(x)的一个 . 5．最小值．

1．3．2单调性与最大（小）值

练习（第36页）

1．判断下列函数的奇偶性：

（1）f(x)2x3x； （2）f(x)x2x

423x212（3）f(x)； （4）f(x)x1.

x1．解：（1）对于函数f(x)2x3x，其定义域为(,)，因为对定义域内

每一个x都有f(x)2(x)3(x)2x3xf(x)， 所以函数f(x)2x3x为偶函数；

（2）对于函数f(x)x2x，其定义域为(,)，因为对定义域内

每一个x都有f(x)(x)2(x)(x2x)f(x)， 所以函数f(x)x2x为奇函数；

333342424242x21（3）对于函数f(x)，其定义域为(,0)(0,)，因为对定义域内

x(x)21x21f(x)， 每一个x都有f(x)xxx21所以函数f(x)为奇函数；

x

（4）对于函数f(x)x1，其定义域为(,)，因为对定义域内

每一个x都有f(x)(x)1x1f(x)， 所以函数f(x)x1为偶函数.

2.已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，试将下图补充完整.

2．解：f(x)是偶函数，其图象是关于y轴对称的； g(x)是奇函数，其图象是关于原点对称的．

2222

习题1.3

A组

1.画出下列函数的图象，并根据图象说出函数yf(x)的单调区间，以及在各单调区间 上函数yf(x)是增函数还是减函数. （1）yx5x6； 1．解：（1）

2（2）y9x.

2

函数在(,)上递减；函数在[,)上递增； （2）

函2.证明：

（1）函数f(x)x1在(,0)上是减函数； （2）函数f(x)125252数在

(,0)上递增；函数在[0,)上递减.

1在(,0)上是增函数. x222．证明：（1）设x1x20，而f(x1)f(x2)x1x2(x1x2)(x1x2)，

由x1x20,x1x20，得f(x1)f(x2)0，

2 即f(x1)f(x2)，所以函数f(x)x1在(,0)上是减函数；

（2）设x1x20，而f(x1)f(x2)11x1x2， x2x1x1x2 由x1x20,x1x20，得f(x1)f(x2)0，

即f(x1)f(x2)，所以函数f(x)11在(,0)上是增函数. x3.探究一次函数ymxb(xR)的单调性，并证明你的结论. 3．解：当m0时，一次函数ymxb在(,)上是增函数；

当m0时，一次函数ymxb在(,)上是减函数， 令f(x)mxb，设x1x2， 而f(x1)f(x2)m(x1x2)，

当m0时，m(x1x2)0，即f(x1)f(x2)， 得一次函数ymxb在(,)上是增函数；

当m0时，m(x1x2)0，即f(x1)f(x2)，

得一次函数ymxb在(,)上是减函数.

4.一名心率过速患者服用某种药物后心率立刻明显减慢，之后随着药力的减退，心率再次 慢慢升高.画出自服药那一刻起，心率关于时间的一个可能的图象（示意图）. 4．解：自服药那一刻起，心率关于时间的一个可能的图象为

5.某汽车租赁公司的月收益y元与每辆车的月租金x元间的关系为

x2y162x21000，那么，每辆车的月租金多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多

50少？

x2162x21000， 5．解：对于函数y50 当x16212()50， 4050时，ymax307050（元）

即每辆车的月租金为4050元时，租赁公司最大月收益为307050元．

6.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x(1x).画出函数f(x) 的图象，并求出函数的解析式.

6．解：当x0时，x0，而当x0时，f(x)x(1x)，

即f(x)x(1x)，而由已知函数是奇函数，得f(x)f(x)， 得f(x)x(1x)，即f(x)x(1x)，

x(1x),x0 所以函数的解析式为f(x).

x(1x),x0B组

1.已知函数f(x)x2x，g(x)x2x(x[2,4]).

（1）求f(x)，g(x)的单调区间； （2）求f(x)，g(x)的最小值. 1．解：（1）二次函数f(x)x2x的对称轴为x1， 则函数f(x)的单调区间为(,1),[1,)，

且函数f(x)在(,1)上为减函数，在[1,)上为增函数， 函数g(x)的单调区间为[2,4]， 且函数g(x)在[2,4]上为增函数； （2）当x1时，f(x)min1， 因为函数g(x)在[2,4]上为增函数，

2 所以g(x)ming(2)2220．

2222.如图所示，动物园要建造一面靠墙的2间面积相同的矩形熊猫居室，如果可供建造围墙的材料总长是30m，那么宽x（单位：m）为多少才能使建造的每间熊猫居室面积最大？每间熊猫居室的最大面积是多少？

2．解：由矩形的宽为xm，得矩形的长为

303xm，设矩形的面积为S， 2303x3(x210x) 则Sx， 222 当x5时，Smax37.5m，

即宽x5m才能使建造的每间熊猫居室面积最大，

且每间熊猫居室的最大面积是37.5m．

2

3.已知函数f(x)是偶函数，而且在(0,)上是减函数，判断f(x)在(,0)上是增函数还是减函数，并证明你的判断.

3．判断f(x)在(,0)上是增函数，证明如下： 设x1x20，则x1x20，

因为函数f(x)在(0,)上是减函数，得f(x1)f(x2)， 又因为函数f(x)是偶函数，得f(x1)f(x2)， 所以f(x)在(,0)上是增函数．

复习参考题

A组

1．用列举法表示下列集合： （1）A{x|x9}； （2）B{xN|1x2}； （3）C{x|x3x20}.

21．解：（1）方程x9的解为x13,x23，即集合A{3,3}；

22 （2）1x2，且xN，则x1,2，即集合B{1,2}；

2（3）方程x3x20的解为x11,x22，即集合C{1,2}．

2．设P表示平面内的动点，属于下列集合的点组成什么图形？ （1）{P|PAPB}(A,B是两个定点)； （2）{P|PO3cm}(O是定点).

2．解：（1）由PAPB，得点P到线段AB的两个端点的距离相等， 即{P|PAPB}表示的点组成线段AB的垂直平分线；

（2）{P|PO3cm}表示的点组成以定点O为圆心，半径为3cm的圆． 3.设平面内有ABC，且P表示这个平面内的动点，指出属于集合

{P|PAPB}{P|PAPC}的点是什么.

3．解：集合{P|PAPB}表示的点组成线段AB的垂直平分线， 集合{P|PAPC}表示的点组成线段AC的垂直平分线，

得{P|PAPB}{P|PAPC}的点是线段AB的垂直平分线与线段AC的

垂直平分线的交点，即ABC的外心．

4.已知集合A{x|x1}，B{x|ax1}.若BA，求实数a的值. 4．解：显然集合A{1,1}，对于集合B{x|ax1}， 当a0时，集合B，满足BA，即a0； 当a0时，集合B{}，而BA，则 得a1，或a1， 综上得：实数a的值为1,0，或1．

5.已知集合A{(x,y)|2xy0}，B{(x,y)|3xy0}，C{(x,y)|2xy3}，求AB，

21a111，或1， aaAC，(AB)(BC).

5．解：集合AB(x,y)|2xy0{(0,0)}，即AB{(0,0)}；

3xy02xy0，即AC；

2xy3 集合AC(x,y)|3xy039 集合BC(x,y)|{(,)}；

552xy3 则(AB)(BC){(0,0),(,)}. 6.求下列函数的定义域： （1）y3595x2x5；

（2）yx4.

|x|56．解：（1）要使原式有意义，则x20，即x2，

x50 得函数的定义域为[2,)；

x40 （2）要使原式有意义，则，即x4，且x5，

|x|50 得函数的定义域为[4,5)(5,)． 7.已知函数f(x)1x，求： 1x（1）f(a)1(a1)； （2）f(a1)(a2).

1x， 1x1a1a2 所以f(a)，得f(a)1， 11a1a1a2 即f(a)1；

1a1x （2）因为f(x)，

1x1(a1)a 所以f(a1)， 1a1a2a 即f(a1)．

a27．解：（1）因为f(x)1x28.设f(x)，求证： 21x（1）f(x)f(x)； （2）f()f(x).

1x1x28．证明：（1）因为f(x)， 21x1(x)21x2f(x)， 所以f(x)221(x)1x 即f(x)f(x)；

1x2 （2）因为f(x)， 21x11()211x2x 所以f()2f(x)，

1x1()2x1x1 即f()f(x).

x9.已知函数f(x)4xkx8在[5,20]上具有单调性，求实数k的取值范围.

2

9．解：该二次函数的对称轴为x2k， 8 函数f(x)4xkx8在[5,20]上具有单调性，

kk20，或5，得k160，或k40， 88即实数k的取值范围为k160，或k40．

则

10．已知函数yx，

（1）它是奇函数还是偶函数？ （2）它的图象具有怎样的对称性？ （3）它在(0,)上是增函数还是减函数？ （4）它在(,0)上是增函数还是减函数？

210．解：（1）令f(x)x，而f(x)(x)22x2f(x)，

即函数yx是偶函数；

（2）函数yx的图象关于y轴对称； （3）函数yx在(0,)上是减函数； （4）函数yx在(,0)上是增函数．

2222B组

1.学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛.问同时参加田径和球类比赛的有多少人？只参加游泳一项比赛的有多少人？ 1．解：设同时参加田径和球类比赛的有x人， 则1581433x28，得x3， 只参加游泳一项比赛的有15339（人），

即同时参加田径和球类比赛的有3人，只参加游泳一项比赛的有9人． 2.已知非空集合A{xR|xa}，试求实数a的取值范围. 2．解：因为集合A，且x0，所以a0．

221,3}，A(ðUB){2,4}，求集合B. 3.设全集U{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，ðU(AB){1,3}，得AB{2,4,5,6,7,8,9}， 3．解：由ðU(AB){ 集合AB里除去A(ðUB)，得集合B，

所以集合B{5,6,7,8,9}. 4.已知函数f(x)x(x4),x0.求f(1)，f(3)，f(a1)的值.

x(x4),x04．解：当x0时，f(x)x(x4)，得f(1)1(14)5； 当x0时，f(x)x(x4)，得f(3)3(34)21； f(a1)5.证明：

(5)a,1(a1)a．

(3a),1(a1)ax1x2f(x1)f(x2)； )22xx2g(x1)g(x2)2（2）若g(x)xaxb，则g(1. )22xx2xxa5．证明：（1）因为f(x)axb，得f(1)a12b(x1x2)b，

222f(x1)f(x2)ax1baxa2b (x1x2)b，

222xx2f(x1)f(x2) 所以f(1； )22（1）若f(x)axb，则f( （2）因为g(x)xaxb，

2x1x2xx1)(x12x222x1x2)a(12)b， 242g(x1)g(x2)1[(x12ax1b)(x22ax2b)]

22xx2122 (x1x2)a(1)b，

2212121222因为(x1x22x1x2)(x1x2)(x1x2)0，

424121222即(x1x22x1x2)(x1x2)， 42xx2g(x1)g(x2))所以g(1. 22得g(6.（1）已知奇函数f(x)在[a,b]上是减函数，试问：它在[b,a]上是增函数还是减函数？ （2）已知偶函数g(x)在[a,b]上是增函数，试问：它在[b,a]上是增函数还是减函数？ 6．解：（1）函数f(x)在[b,a]上也是减函数，证明如下： 设bx1x2a，则ax2x1b，

因为函数f(x)在[a,b]上是减函数，则f(x2)f(x1)，

又因为函数f(x)是奇函数，则f(x2)f(x1)，即f(x1)f(x2)， 所以函数f(x)在[b,a]上也是减函数； （2）函数g(x)在[b,a]上是减函数，证明如下： 设bx1x2a，则ax2x1b，

全月应纳税所得额 不超过500元的部分 超过 500元至2000元的部分 税率(00) 因为函数g(x)在[a,b]上是增函数，则

g(x2)g(x1)，

又因为函数g(x)是偶函数，则g(x2)g(x1)，即

5 10 超过2000元至5000元的部分 15 g(x1)g(x2)，

所以函数g(x)在[b,a]上是减函数．

7.《中华人民共和国个人所得税》规定，公民全月工资、薪金所得不超过2000元的部分 不必纳税，超过2000元的部分为全月应纳税所得额.此项税款按下表分段累计计算： 某人一月份应交纳此项税款为26.78元，那么他当月的工资、薪金所得是多少？

7．解：设某人的全月工资、薪金所得为x元，应纳此项税款为y元，则

x20000,0(x2000)5%,20x002500 y

25x(2500)10%,2x5004000x(4000)15%,4x0005000175 由该人一月份应交纳此项税款为26.78元，得2500x4000，

(2500) 25x10%26x2517.8， ，得

所以该人当月的工资、薪金所得是2517.8元．