2018-2019学年安徽省六安市第一中学高二下学期第一次段考数学(文)试题(解析版)

考数学（文）试题

一、单选题 1．若复数z满足zA．2i 【答案】B

【解析】通过分子分母同乘以分母的共轭复数计算即可得到复数z，进一步得到z的共轭复数. 【详解】 由已知，z故选：B 【点睛】

本题主要考查复数的除法运算，考查学生的基本计算能力，是一道基础题.

2．用反证法证明命题：“若mR，则函数fxx5mx2至少有一个零点”时，

313i（i是虚数单位），则z的共轭复数是（ ） 1iB．2i

C．2i

D．2i

13i(13i)(1i)42i=2i，所以z的共轭复数是2i. 1i(1i)(1i)2要做出的假设是（ ）

A．函数fxx5mx2至多有一个零点

3B．函数fxx5mx2至多有两个零点

3C．函数fxx5mx2没有零点

3D．函数fxx5mx2恰好有两个零点

3【答案】C

【解析】利用反证法的定义即可. 【详解】

根据反证法的定义，假设函数fxx5mx2至少有一个零点的反面成立，即函

3数

fxx35mx2没有零点.

故选：C 【点睛】

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本题主要考查反证法的定义，即在原有的条件下，结论不成立，经过推理最后得出矛盾，考查学生的对概念的理解辨析，是一道容易题.

3．运行下图程序，如果输出y25，则键盘输入的x应该是（ ）

A．-6 【答案】B

【解析】本题相当于求已知分段函数的函数值，求自变量的值，只需分类讨论，解不等式即可. 【详解】

B．-6或6

C．4

D．-4或4

(x1)2,x02由算法语句可知，y，当x0时，(x1)25，解得x6或2(x1),x0， x4（舍）

当x0时，(x1)25，解得x6或x4（舍），综上，输入的x应该是6.

2故选：B 【点睛】

本题主要考查基本算法语句的应用，做此类题时，首先通读全部语句，将其转化成数学问题，其次领悟语句的功能.

4．高铁、扫码支付、共享单车、网购被称为中国的“新四大发明”，为评估共享单车的使用情况，选了n座城市作实验基地，这n座城市共享单车的使用量（单位：人次/天）分别为x1，x2，…，xn，下面给出的指标中可以用来评估共享单车使用量的稳定程度的是（ ）

A．x1，x2，…，xn的标准差 C．x1，x2，…，xn的最大值

B．x1，x2，…，xn的平均数 D．x1，x2，…，xn的中位数

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【答案】A

【解析】利用方差或标准差表示一组数据的稳定程度可得出选项. 【详解】

表示一组数据的稳定程度是方差或标准差，标准差越小，数据越稳定 故选：A 【点睛】

本题考查了用样本估计总体，需掌握住数据的稳定程度是用方差或标准差估计的，属于基础题. 5．2223344552，33，44，55，按照以上规律，338815152424999，则n（ ） nnB．63

C．53

D．80

若9A．25 【答案】D

【解析】注意到每一项根号里的分式的分母恰好为分子的平方减1. 【详解】

2223399，3，所以n80. 2232L，992321831n91故选：D 【点睛】

本题主要考查推理与证明中的归纳推理，考查学生的观察能力、分析能力、比较能力、联系能力，是一道容易题.

6．现有一组数据x1,y1，x2,y2，x3,y3，x4,y4，x5,y5，根据收集到的数据可知x9，由最小二乘法求得回归直线方程为y1.2x0.8，则

y1y2y3y4y5（ ）

A．11.6 【答案】C

【解析】由回归直线一定过点(x,y)，可得y11.6，再利用平均数的计算公式即可得到答案. 【详解】

B．11

C．58

D．55

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根据回归直线的计算公式知，回归方程一定过样本中心点(x,y)，所以

y1.2x0.811.6，

y1y2y3y4y55y58.

故选：C 【点睛】

本题主要考查回归直线方程的应用，考查学生的基本计算能力，是一道容易题. 7．下列命题正确的是（ ） A．一组数据的方差越大，数据越稳定

B．回归分析中，相关指数R2越小，说明模型拟合效果越好 C．互斥事件是对立事件的必要不充分条件

D．线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强，反之，线性相关性越弱 【答案】C

【解析】结合相关知识依次对所给选项进行判断即可. 【详解】

一组数据的方差越大，数据越不稳定，故A错；回归分析中，相关指数R2越大，说明模型

拟合效果越好，故B错；线性相关系数|r|越大，两个变量的线性相关性越强，反之，线性

相关性越弱，故D错；两个事件是互斥事件那么这两个事件不一定是对立事件，若两个事

件是对立事件，则这两个事件一定是互斥事件，所以互斥事件是对立事件的必要不充分条件. 故选：C 【点睛】

本题考查命题的真假的判断，涉及到方差、回归分析、互斥事件、对立事件等知识，是一道基础题.

8．已知小华每次投篮投中率都是40%，现采用随机模拟的方法估计小华三次投篮恰有两次投中的概率.先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定0，1，2，3表示投中，4，5，6，7，8，9表示未投中，再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数

531 297 191 925 6 388 230 113 5 663

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321 412 396 021 271 932 800 478 507 965 据此估计，小华三次投篮恰有两次投中的概率为（ ） A．0.30 【答案】A

【解析】由题意知，模拟三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的可以通过列举得到共6组随机数，根据概率公式，得到结果． 【详解】

由题意，20组随机数中，小华三次投篮恰有两次投中有6组，即531，191，412 ，271，932 ，800 ，所以小华三次投篮恰有两次投中的概率为故选：A 【点睛】

本题考查随机模拟方法估计概率，是一个基础题，解这种题目主要依据是等可能事件的概率，注意列举法在本题的应用.

9．设a，b，c均为正实数，则三个数aA．都大于2

C．至少有一个不大于2 【答案】D 【解析】【详解】 由题意得aB．0.35

C．0.40

D．0.45

60.3. 20111，b，c( ) bcaB．都小于2

D．至少有一个不小于2

111111bc(a)(b)(c)2226， bcaabc当且仅当abc1时，等号成立， 所以a111,b,c至少有一个不小于2，故选D. bca10．下图是在北京召开的第24届国际数学大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，阴影部分是由四个全等的直角三角形组成.已知直角三角形两条直角边分别是2和3，若在此正方形中随机撒一粒豆子（大小不计），则豆子落入阴影部分的概率为（ ）

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1 1312C．

13A．【答案】C

2 34D．

9B．

【解析】只需算出正方形的面积以及阴影部分的面积，按几何概型的概率计算公式计算即可 【详解】

由已知，正方形的边长为223213，所以正方形的面积为13，阴影部分的 三角形面积之和为4部分的概率为故选：C 【点睛】

本题考查与面积有关的几何概型的概率计算，考查学生的基本计算能力，是一道容易题. 11．从集合1,2,3,4中随机抽取一个数m，从集合4,6,8中随机抽取一个数n，则

12312，由几何概型的概率计算公式，得豆子落入阴影 212. 13rr向量am,n与向量b2,1所成角为钝角的概率是（ ）

A．

1 6B．

1 4C．

1 3D．

1 2【答案】D

rrrrrr【解析】am,n与b2,1所成角为钝角等价于ab0且a，b不共线，即

2mn0，m2n0，采用列举法结合古典概型的概率计算公式计算即可.

【详解】

从1,2,3,4中随机抽取一个数m，从4,6,8中随机抽取一个数n，共有12种不同结果，

即(1,4)，(1,6)，(1,8)，(2,4)，(2,6)，(2,8)，(3,4)，(3,6)，(3,8)，(4,4)，(4,6)，

rrrrrr(4,8).若am,n与b2,1所成角为钝角，则ab0且a，b不共线，

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所以2mn0，m2n0，满足条件的有(1,4)，(1,6)，(1,8)，(2,6)，(2,8)，(3,8)共6种，

rr由古典概型的概率计算公式可得am,n与b2,1所成角为钝角的概率是

61. 122故选：D 【点睛】

本题考查古典概型的概率计算，涉及到向量的夹角等知识，考查学生的数算能力，在采用列举法时要注意不重不漏，是一道中档题.

&&&&12．将0.81化成分数形式方法如下：0.810.810.00810.000081，设

x8181&&&&x0.81x0.81.请类比此方法，计算，则，解得，因此0.81x1009999222（ ）

A．1 【答案】C

【解析】设222x，则x【详解】

由已知，设222x，则x故选：C 【点睛】

本题考查推理与证明中的类比推理，考查学生观察、分析、比较、联想的能力，是一道中档题.

二、填空题

13．在复平面内，复数z和【答案】

B．

2 2C．2

D．2

2x，解方程即可得到答案.

2x，解得x2或x1（舍）.

i表示的点关于虚轴对称，则复数z______. 12i21i 55i21【解析】的分子分母同乘以分母的共轭复数计算得到i，进一步得到关于

12i55虚轴对称的z. 【详解】

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ii(12i)2i2121i，则zi. 由已知，

12i(12i)(12i)55555故答案为：【点睛】

本题主要考查复数的除法运算，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.

14．用系统抽样法从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生从1:160编号，按编号顺序平均分成 20组(1:8号，9:16号，L,153:160号).若假设第1组抽出的号码为3，则第5组中用抽签方法确定的号码是__________． 【答案】35

【解析】由题意可得分段间隔是8，抽出的这20个数成等差数列，首项为3，

21i 55∴第5组中用抽签方法确定的号码是3+32=35．

故答案为35

15．设456和741的最大公约数为m，用四进位制表示m，则m______4. 【答案】321

【解析】利用辗转相除法求得456和741的最大公约数为57，然后57除4求余，反过来写即可. 【详解】

由辗转相除法知，741456285，456285171，285171114，

17111457，

1145720，故m57，所以

所以m3214 故答案为：321 【点睛】

本题考查算法案例中的辗转相除法求最大公约数以及进制的转化，考查学生的计算能力，是一道容易题.

16．在实数集R上定义运算：

abcdadbc.若不等式

x2a1a1x1对任意实

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数x恒成立，则实数a的取值范围是______. 【答案】1,1

【解析】由题意，x22x1a21对任意实数x恒成立，即a(x1)1对任

22意实数x恒成立，只需求出y(x1)1的最小值即可.

2【详解】

x2a1x(x2)(a1)(a1)x22x1a2，由题意，

a1xx22x1a21

222对任意实数x恒成立，即ax2x2(x1)1对任意实数x恒成立，又

y(x1)21的最小值为1，所以a21，解得1a1.

故答案为：1,1 【点睛】

本题考查不等式恒成立的问题，在处理恒成立的问题时，一般采用分离常数的办法，将其转化为函数最值的问题，是一道中档题.

三、解答题

17．已知函数f(x)2x4x1,xR （1）解不等式f(x)10；

2（2）若方程f(x)xa在区间[0,2]有解，求实数a的取值范围.

【答案】（I）2,4；（II）[19,7]. 4【解析】（1）根据fx10，利用分类讨论便可得到最后解集； （2）根据方程fxxa在区间0,2有解转化为函数ya和函数

2yx2x5图象在区间0,2上有交点，从而得解．

【详解】

（1）fx10可化为

10

x21x2x1或或； 3x3103x3105x10第 9 页 共 17 页

2＜x≤

13或3或73；

不等式的解集为713,； 3322（2）由题意：fxxa axx5,x0,2

2故方程fxxa在区间0,2有解函数ya和函数yxx5图象在区

2间0,2上有交点

1919Q当x0,2时，yx2x5,7a,7

44【点睛】

本题考查绝对知不等式的求解和应用，主要是利用分类讨论的方法去掉绝对值符号；关于方程解的问题直接用方程思想和数形结合转化为函数图像交点问题便可得解． 18．某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以160,180，180,200，

200,220，220,240，240,260，260,280，280,300分组的频率分布直方

图如图所示.

（1）求直方图中x的值；

（2）求月平均用电量的众数和中位数；

（3）在月平均用电量为220,240，240,260，260,280的三组用户中，用分层抽样的方法抽取10户居民，则月平均用电量在220,240的用户中应抽取多少户？ 【答案】（1）x的值是0.0075（2）中位数是224；众数是230（3）应抽取5户 【解析】（1）利用各小矩形的面积和为1即可；

（2）众数的估计值为最高小矩形的组中值，中位数是小矩形面积和为0.5时的x； （3）先算出三组用户的人数，计算出抽样比，再利用每组用户数人乘以抽样比即得该组抽出的人数计算即可.

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【详解】

（1）由直方图的性质，可得

0.0020.00950.0110.0125x0.0050.0025201，解得x0.0075，

所以直方图中x的值是0.0075. （2）月平均用电量的众数是

220240230. 2因为0.0020.00950.011200.450.5， 所以月平均用电量的中位数在220,240内，

设中位数为a，由0.0020.00950.011200.0125a2200.5， 解得a224，所以月平均用电量的中位数是224.

（3）月平均用电量为220,240的用户有0.01252010025户， 月平均用电量为240,260的用户有0.00752010015户， 月平均用电量为260,280的用户有0.0052010010户， 抽取比例

101，

2515105所以月平均用电量在220,240的用户中应抽取25【点睛】

15户. 5本题考查频率分布直方图的应用，涉及到众数、中位数的估计值，分层抽样等知识，考查学生的运算求解能力，是一道容易题. 19．观察下表： 1，2，3， 4，5，6，7，8，

9，10，11，12，13，14，15，

16，17，18，19，20，21，22，23，24， ……

问：（1）此表第n行的第一个数与最后一个数分别是多少？ （2）此表第n行的各个数之和是多少？ （3）2019是第几行的第几个数？

【答案】（1）第n行的第一个数是n2，最后一个数是n22n； （2）第n行各个数之和为2n33n2n；

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（3）2019是第44行第84个数.

【解析】（1）根据此表的特点可知此表n行的第1个数为n2，第n行共有

3(n1)22n1个数，依次构成公差为1的等差数列，利用等差数列的通项公式

解之即可；

（2）直接根据等差数列的前n项和公式进行求解；

（3）193644220194522025，所以2019在第44行，然后设2019是此数表的第44行的第k个数，而第44行的第1个数为442，可求出k，从而得到结论. 【详解】

（1）由表可知，每一行都是公差为1的等差数列，第n行第一个数是n2，每一行比上 一行多2个数，第一行有3个数，则第n行有3(n1)22n1个数，所以第一行 最后一个数是n(2n11)1n22n（当然也可以观察得出第n行最后一个数 为(n1)1）；

22(2n1)(nn2n)（2）由（1）知，第n行各个数之和为(2n1)(n2n)

2222n33n2n；

（3）因为193644220194522025，所以2019在第44行，设2019是第44行第

k个数，则2019442(k1)1，解得k84，所以2019是第44行第84个数.

【点睛】

本题主要考查了等差数列的通项公式，以及等差数列的求和，同时考查了分析问题、解决问题的能力，属于中档题．

20．沃尔玛超托某机构调查该超市的顾客使用移动支付的情况.调查人员从年龄在

20,60内的顾客中，随机抽取了200人，调查结果如图所示：

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（1）为推广移动支付，超市准备对使用移动支付的每位顾客赠送1个环保购物袋.若某日该超市预计有5000人购物，试根据上述数据估计，该超市当天应准备多少个环保购物袋？

（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99.9%的把握认为使用移动支付与年龄有关. 使用移动支付 不使用移动支付 总计

20年龄45的人数 45年龄60的人数 总计 nadbc2，其中nabcd. KabcdacbdPK2k0 k0

【答案】（1）3125个（2）填表见解析；有99.9%的把握认为使用移动支付与年龄有关

【解析】（1）由图可计算出顾客使用移动支付的概率为到应准备的环保购物袋个数；

0.050 0.010 0.001 23.841 6.635 10.828 5，再乘以总人数5000即可得8第 13 页 共 17 页

nadbc22（）利用公式K计算即可.

abcdacbd【详解】

（1）根据频率估计概率，由图中数据可估计该超市顾客使用移动支付的概率为

2202525151510875，所以超市当天应准备的环保购物袋个数为

2008550003125.

8（2） 20年龄45的人数 45年龄60的人数 总计 使用移动支付 100 25 125 不使用移动支付 20 55 75 总计

120 80 200 K2的观测值

2005500500k55.556.

12080751252因为55.55610.828，所以有99.9%的把握认为使用移动支付与年龄有关. 【点睛】

本题主要考查统计中的性检验，在做此类题，一定要注意数据的准确性，考查学生的计算能力，是一道中档题.

21．已知极坐标的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴的非负半轴重合，直线l的参数方程为xtcos（t为参数，0,），曲线C的极坐标方程为

y1tsin4sin.

（1）写出曲线C的直角坐标方程；

（2）设直线l与曲线C相交于P、Q两点，若PQ13，求直线l的倾斜角. 【答案】（1）x2y24（2）

25 或

662【解析】（1）4sin4sin，再利用xcos，ysin代入即

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可；

（2）联立直线与圆的方程可得t1t22sin，t1t23，

PQt1t2【详解】

t1t224t1t2，代入计算即可得到答案.

222（1）由4sin，得4sin，所以xy4y，即x2y24，

2所以曲线C：x2y24；

2xtcos2（2）代入x2y24，化简得：t22tsin30，

y1tsin所以t1t22sin，t1t23，

PQt1t2sint1t224t1t24sin21213，

15. ，所以直线l的倾斜角为，

662【点睛】

本题考查极坐标与参数方程的应用，涉及到极坐标方程与普通方程的互化、直线参数方程的几何意义，是一道中档题.

22．交通安全法有规定：机动车行经人行横道时，应当减速行驶；遇行人正在通过人行横道，应当停车让行.机动车行经没有交通信号的道路时，遇行人横过马路，应当避让.我们将符合这条规定的称为“礼让斑马线”，不符合这条规定的称为“不礼让斑马线”.下表是六安市某十字路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员“不礼让斑马线”行为的统计数据： 月份x “不礼让斑马线”的驾驶员人数y

（1）根据表中所给的5个月的数据，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以说明；

（2）求“不礼让斑马线”的驾驶员人数y关于月份x之间的线性回归方程；

（3）若从4，5月份“不礼让斑马线”的驾驶员中分别选取4人和2人，再从所选取的6人中任意抽取2人进行交规调查，求抽取的2人分别来自两个月份的概率；

1 120 2 105 3 100 4 85 5 90 第 15 页 共 17 页

$参考公式：线性回归方程$y$bx$a，其中bxxyyxynxyiiiii1nnxxii1n2i1nxi12inx2，

$ay$bx，rxxyyiii1nxxyyiii1i1n2n2.

【答案】（1）详见解析（2）$y8x124（3）

8 15【解析】（1）按照题中的公式计算，结合|r|越接近1，线性相关关系就越强； （2）按照题中的公式计算即可；

（3）采用列举法及古典概型的概率计算公式计算即可. 【详解】

（1）依题意x3，y100，

xyii15i1420，x55，xix2ii1i155 yy80，

ii15xixni125yiy27500，计算

rxxyyiii1xxyyiii1i1n2n2800.921， 7500具有很强的线性相关关系.

$（2）bxynxyiii1nnxi2nxi12142053100$ybx$10083124，8，a

5559所以y关于月份x之间的线性回归方程为$y8x124.

（3）从4月份选取的4人分别记为a1，a2，a3，a4，从5月份选取的2人分别记为B1，

B2.从这6人中任意抽取2人进行交规调查包含的基本事件有a1,a2，a1,a3，

a1,a4，a1,B1，a1,B2，a2,a3，a2,a4，a2,B1，a2,B2，a3,a4，

a3,B1，a3,B2，a4,B1，a4,B2，B1,B2，共15个，其中“抽取的2人分别

来

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自两个月份”包含的基本事件为a1,B1，a1,B2，a2,B1，a2,B2，a3,B1，

a3,B2，a4,B1，a4,B2，共8个，故所求概率为

【点睛】

8. 15本题考查线性回归方程的应用以及古典概型的概率计算，考查学生的数算求解能力，是一道中档题.

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