2019-2020学年湖北省恩施州利川市八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
1. 下列四组线段中(单位𝑐𝑚)，能组成三角形的是( )
A. 2，3，4 B. 3，4，7 C. 4，6，2 D. 7，10，2
2. 若一个多边形的每个内角都为144°，则这个多边形是( )
A. 七边形 B. 八边形 C. 九边形 D. 十边形
3. 计算(5×108)(2×103)的结果正确的是( )
A. 10×1024 B. 1025 C. 10×1011 D. 1012
4. 下列图中不是轴对称图形的是( )
A.
1
1
B.
C.
D.
5. 分式2𝑥2𝑦和6𝑥𝑦2的最简公分母是( )
A. 2xy
2
B. 2𝑥2𝑦2 C. 6𝑥2𝑦2 D. 6𝑥3𝑦3
6. 要使分式𝑥+3有意义，x应满足的条件是( )
A. 𝑥>−3 B. 𝑥<−3 C. 𝑥=−3 D. 𝑥≠−3
BD为∠𝐴𝐵𝐶的平分线，∠𝐴=36°，𝐴𝐵=𝐴𝐶=𝑎，𝐵𝐶=𝑏，7. 如图，在等腰△𝐴𝐵𝐶中，
则𝐶𝐷=( )
A. B.
𝑎+𝑏2𝑎−𝑏2
C. 𝑎−𝑏 D. 𝑏−𝑎
8. 分式−1−𝑥可变形为( )
1
A. −𝑥−1
1
B. 𝑥−1
1
C. −1+𝑥
1
D. 1+𝑥
1
9. 计算(6𝑥5−15𝑥3+9𝑥)÷3𝑥的结果是( )
A. 6𝑥4−15𝑥2+9 B. 2𝑥5−5𝑥3+9𝑥 C. 2𝑥4−5𝑥2+3 D. 2𝑥4−15𝑥2+3
10. 如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐴𝐶，D为BC上一点，且𝐷𝐴=𝐷𝐶，𝐵𝐷=𝐵𝐴，则∠𝐵的度数为( )
A. 40° B. 36° C. 30° D. 25°
11. 如图，直线EF是矩形ABCD的对称轴，点P在CD边上，将△𝐵𝐶𝑃沿BP
折叠，点C恰好落在线段AP与EF的交点Q处，𝐵𝐶=4√3，则线段AB的长是( )
A. 8 B. 8√2 C. 8√3 D. 10
12. 某工程需要在规定日期内完成，如果甲工程队单独做，恰好如期完成； 如果乙工程队单独做，
则超过规定日期3天，现在甲、乙两队合做2天，剩下的由乙队独做，恰好在规定日期完成，求规定日期．如果设规定日期为x天，下面所列方程中错误的是( )
A. 𝑥+𝑥+3=1
C. (𝑥+𝑥+3)×2+𝑥+3=1
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分） 13. 分解因式：2𝑥3−8𝑥𝑦2=______． 14. 化简
𝑚2−163𝑚−121
1
𝑥−2
2𝑥
B. 𝑥=𝑥+3 D. 𝑥+𝑥+3=1
1
𝑥
23
= ______ ．
∠𝐶𝐴𝐵=30°，𝐶𝐷⊥𝐴𝐵于D点，𝐵𝐶=1，15. 如图，在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，
点P是直线BC上一动点，连结𝐴𝑃.若点E是AP的中点，则DE的最小值是______ ．
16. 三角形具有稳定性，所以要使六边形木架不变形，至少要钉上
______ 根木条．
三、计算题（本大题共1小题，共8.0分） 17. 化简：(𝑥+1)2−(𝑥+2)(𝑥−2)．
四、解答题（本大题共7小题，共64.0分） 18. 解方程：
1−𝑥𝑥−2
12−𝑥
𝑥𝑥−2
1
(1)=−2； (2)−1=
𝑥2−4
1𝑚−1
19. 先化简，再求值：(1−𝑚)÷𝑚2+2𝑚+1，其中𝑚=2．
2
△𝐴𝐵𝐶的三个顶点分别为𝐴(−1,−1)，𝐵(−3,3)，𝐶(−4,1)，在平面直角坐标系中，画出△𝐴𝐵𝐶20. 如图，
关于y轴对称的△𝐴1𝐵1𝐶1，并写出点B的对应点𝐵1的坐标．
21. 如图，
已知𝐴𝐵=𝐴𝐸，∠𝐵=∠𝐸，𝐵𝐶=𝐸𝐷，F是CD的中点．求证：𝐴𝐹⊥𝐶𝐷．
22. 甲、乙二人分别从距目的地12km和20km的两地同时出发，甲、乙速度比是3：4，结果甲比乙
提前20分钟到达目的地，求甲、乙的速度．
𝐵𝐷=𝐶𝐷，𝐵𝐹⊥𝐴𝐶于F，𝐶𝐸⊥𝐴𝐵于𝐸.求证：点D在∠𝐵𝐴𝐶23. 如图，
的角平分线上．
24. 如图，正方形ABCD中，点E、F分别在CB、DC的延长线上，且∠𝐸𝐴𝐹=45°，𝐷𝐻⊥𝐴𝐹于H，
交AE于点G，连接EF、CG．
(1)探究线段BE、DF、EF之间的数量关系； (2)求证：𝐶𝐺⊥𝐴𝐸；
(3)若𝐴𝐵=3，𝐶𝐹=2，求EF、CG的长．
-------- 答案与解析 --------
1.答案：A
解析：解：𝐴.能，因为3−2<4<3+2，所以能组成三角形； B.不能，因为7=3+4，所以不能组成三角形； C.不能，因为6=4+2，所以不能组成三角形； D.不能，因为7+2<10，所以不能组成三角形． 故选A．
根据三角形的三边关系对四个选项进行逐一分析即可．
本题比较简单，考查的是三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
2.答案：D
解析：
本题考查了多边形的内角与外角，多边形的内角和公式是(𝑛−2)×180°． 根据多边形的内角和公式，可得一元一次方程，解一元一次方程，可得答案． 解：设这个多边形为n边形，根据题意得 (𝑛−2)×180°=144°𝑛， 解得𝑛=10， 故选D．
3.答案：D
解析：
此题主要考查了同底数幂的乘法，单项式乘单项式，掌握同底数幂的乘法法则是关键，根据同底数幂的乘法法则计算，即可得到答案． 解：(5×108)(2×103)
=10×1011
=1012， 故选D．
4.答案：C
解析：解：A、有四条对称轴，是轴对称图形，故本选项错误； B、有三条对称轴，是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，即不满足轴对称图形的定义，故本选项正确； D、有二条对称轴，是轴对称图形，故本选项错误． 故选：C．
根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．据此对图中的图形进行判断．
本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
5.答案：C
解析：
此题考查了最简公分母，关键是把各个分式中分母因式分解，确定最简公分母的方法一定要掌握．根据确定最简公分母的方法：(1)取各分母系数的最小公倍数；(2)凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；(3)同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母，即可得出答案．
解：分式2𝑥2𝑦和6𝑥𝑦2的最简公分母是6𝑥2𝑦2， 故选C．
1
1
6.答案：D
解析：解：由题意得：𝑥+3≠0， 解得：𝑥≠−3， 故选：D．
根据分式有意义的条件可得𝑥+3≠0，再解不等式即可．
此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．
7.答案：C
解析：解：∵在等腰△𝐴𝐵𝐶中，BD为∠𝐴𝐵𝐶的平分线，∠𝐴=36°， ∴∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐶=2∠𝐴𝐵𝐷=72°， ∴∠𝐴𝐵𝐷=36°=∠𝐴， ∴𝐵𝐷=𝐴𝐷，
∴∠𝐵𝐷𝐶=∠𝐴+∠𝐴𝐵𝐷=72°=∠𝐶， ∴𝐵𝐷=𝐵𝐶，
∵𝐴𝐵=𝐴𝐶=𝑎，𝐵𝐶=𝑏， ∴𝐶𝐷=𝐴𝐶−𝐴𝐷=𝑎−𝑏， 故选：C．
根据等腰三角形的性质和判定得出𝐵𝐷=𝐵𝐶=𝐴𝐷，进而解答即可．
此题考查等腰三角形的判定与性质，关键是根据等腰三角形的性质和判定得出𝐵𝐷=𝐵𝐶=𝐴𝐷解答．
8.答案：B
解析：解：−1−𝑥=−(1−𝑥)=𝑥−1， 故选：B．
根据分式的基本性质，即可解答．
本题考查了分式的基本性质，解决本题的关键是熟记分式的基本性质．
1
1
1
9.答案：C
解析：[分析]
此题主要考查了整式的除法运算，正确掌握运算法则是解题关键．直接利用多项式除以单项式的法则计算即可． [详解]
解：(6𝑥5−15𝑥3+9𝑥)÷3𝑥 =2𝑥4−5𝑥2+3． 故选C．
10.答案：B
解析：
本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等边对等角是解题的关键，注意三角形内角和定理和方程思𝐶𝐷=𝐷𝐴可得∠𝐴𝐷𝐵=2∠𝐶=2∠𝐵，𝐵𝐴=𝐵𝐷，想的应用，根据𝐴𝐵=𝐴𝐶可得∠𝐵=∠𝐶，可得∠𝐵𝐷𝐴=∠𝐵𝐴𝐷=2∠𝐵，在△𝐴𝐵𝐷中利用三角形内角和定理可求出∠𝐵． 解：∵𝐴𝐵=𝐴𝐶， ∴∠𝐵=∠𝐶， ∵𝐶𝐷=𝐷𝐴， ∴∠𝐶=∠𝐷𝐴𝐶， ∵𝐵𝐴=𝐵𝐷，
∴∠𝐵𝐷𝐴=∠𝐵𝐴𝐷=2∠𝐶=2∠𝐵， 又∵∠𝐵+∠𝐵𝐴𝐷+∠𝐵𝐷𝐴=180°， ∴5∠𝐵=180°， ∴∠𝐵=36°． 故选B．
11.答案：A
解析：解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠𝐶=90°，
由题意得：𝐵𝐹=2𝐵𝐶，𝐸𝐹//𝐴𝐵， ∴∠𝐴𝐵𝑄=∠𝐵𝑄𝐹，
由折叠的性质得：∠𝐵𝑄𝑃=∠𝐶=90°，𝐵𝑄=𝐵𝐶， ∴∠𝐴𝑄𝐵=90°，𝐵𝐹=2𝐵𝑄， ∴∠𝐵𝑄𝐹=30°， ∴∠𝐴𝐵𝑄=30°，
在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝑄中，𝐴𝐵=2𝐴𝑄，𝐵𝑄=√3𝐴𝑄=4√3， ∴𝐴𝑄=4，𝐴𝐵=8； 故选：A．
1
1
由题意得：𝐵𝐹=2𝐵𝐶，𝐸𝐹//𝐴𝐵，由平行线的性质得出∠𝐴𝐵𝑄=∠𝐵𝑄𝐹，由折叠的性质得：∠𝐵𝑄𝑃=𝐵𝐹=𝐵𝑄，∠𝐶=90°，𝐵𝑄=𝐵𝐶，得出∠𝐴𝑄𝐵=90°，证出∠𝐵𝑄𝐹=30°，得出∠𝐴𝐵𝑄=30°，在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝑄2中，由直角三角形的性质得出𝐴𝐵=2𝐴𝑄，𝐵𝑄=√3𝐴𝑄=4√3，即可得出答案．
本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、轴对称的性质、直角三角形的性质等知识；熟练掌握翻折变换的性质，证出∠𝐴𝐵𝑄=30°是解题的关键．
1
1
12.答案：D
解析：解：设规定日期为x天， 由题意可得，(𝑥+𝑥+3)×2+𝑥+3=1， 整理得𝑥+𝑥+3=1，或𝑥=1−𝑥+3或𝑥=𝑥+3． 则A、B、C选项均正确，错误的为选项D． 故选D．
设总工程量为1，因为甲工程队单独去做，恰好能如期完成，所以甲的工作效率为𝑥；因为乙工程队单独去做，要超过规定日期3天，所以乙的工作效率为𝑥+3，根据甲、乙两队合做2天，剩下的由乙队独做，恰好在规定日期完成，列方程即可．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
1
1
2
𝑥
2
𝑥
2
3
1
1
𝑥−2
13.答案：2𝑥(𝑥+2𝑦)(𝑥−2𝑦)
解析：
本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意分解要彻底．
先提取公因式2x，再根据平方差公式进行二次分解即可求得答案． 解：∵2𝑥3−8𝑥𝑦2=2𝑥(𝑥2−4𝑦2)=2𝑥(𝑥+2𝑦)(𝑥−2𝑦)． 故答案为：2𝑥(𝑥+2𝑦)(𝑥−2𝑦)．
14.答案：
𝑚+43
解析：解：原式==
𝑚+43
(𝑚+4)(𝑚−4)3(𝑚−4)
，
𝑚+43
故答案为：．
首先把分子分母分解因式，再约去分子分母的公因式即可．
此题主要考查了分式的约分，关键是正确把分子分母分解因式，找出公因式．
3 15.答案：√4
解析：解：延长AB到F点，使𝐷𝐹=𝐴𝐷，连接CF，作𝐹𝐻⊥𝐵𝐶于H，如图，
在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，∵∠𝐶𝐴𝐵=30°， ∴𝐴𝐶=√3𝐵𝐶=√3，∠𝐴𝐵𝐶=60°，
3
在𝑅𝑡△𝐵𝐶𝐷中，𝐵𝐷=2𝐵𝐶=2，𝐶𝐷=√3𝐵𝐷=√，
2
1
1
在𝑅𝑡△𝐶𝐷𝐹中，𝐷𝐹=√3𝐶𝐷=√×√3=，
22∴𝐵𝐹=1，
在𝑅𝑡△𝐵𝐹𝐻中，𝐵𝐻=2，𝐹𝐻=√3𝐵𝐻=√，
2
1
3
33
∵𝐷𝐴=𝐷𝐹，𝐴𝐸=𝐸𝑃， ∴𝐷𝐸为△𝐴𝐹𝑃的中位线， ∴𝐷𝐸=𝐹𝑃，
21
当点P在H点的位置时，FP的值最小， ∴𝐷𝐸的最小值为√．
43
故答案为√．
4
3
延长AB到F点，使𝐷𝐹=𝐴𝐷，连接CF，作𝐹𝐻⊥𝐵𝐶于H，如图，利用含30度的直角三角形三边的
3
关系计算出𝐹𝐻=√3𝐵𝐻=√，再证明DE为△𝐴𝐹𝑃的中位线得到𝐷𝐸=2𝐹𝑃，利用垂线段最短，当点
2
1
P在H点的位置时，FP的值最小， 于是得到DE的最小值为√．
43
本题考查了三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．也考查了
含30度的直角三角形三边的关系和直角三角形斜边上的中线性质．
16.答案：3
解析：
本题主要考查了三角形的稳定性及多边形的对角线的知识点；三角形具有稳定性，所以要使六边形木架不变形需把它分成三角形，即过六边形的一个顶点作对角线，有几条对角线，就至少要钉上几根木条．规律：过n边形的一个顶点作对角线，可以做(𝑛−3)条．
解：过六边形的一个顶点作对角线，有6−3=3条对角线，所以至少要钉上3根木条． 故答案为：3．
17.答案：解：原式=𝑥2+2𝑥+1−𝑥2+4
=2𝑥+5．
解析：本题考查了对完全平方公式和平方差公式的应用，注意：完全平方公式有：(𝑎±𝑏)2=𝑎2±2𝑎𝑏+𝑏2，平方差公式有(𝑎+𝑏)(𝑎−𝑏)=𝑎2−𝑏2．
先根据完全平方公式和平方差公式算乘法，再合并同类项即可．
18.答案：解：(1)方程两边同乘(𝑥−2)，
得1−𝑥=−1−2(𝑥−2)， 整理，得𝑥=2，
检验：把𝑥=2代入𝑥−2=0， ∴𝑥=2不是分式方程的解， ∴原分式方程无解．
(2)方程两边同乘(𝑥+2)(𝑥−2)， 得𝑥(𝑥+2)−(𝑥+2)(𝑥−2)=1， 整理，得2𝑥=−3，
3
解得𝑥=−2，
经检验，𝑥=−2是分式方程的解， ∴原分式方程的解为𝑥=−2．
3
3
解析：此题主要考查了分式方程的解法，解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
(1)方程两边同时乘以(𝑥−2)去分母，再解一元一次方程可得x的值，然后再进行检验即可； (2)方程两边同时乘以(𝑥−2)(𝑥+2)去分母，再解一元一次方程可得x的值，然后再进行检验即可．
19.答案：解：(1−𝑚)÷𝑚2+2𝑚+1
==
𝑚−1𝑚𝑚+1𝑚
1
𝑚2−1
⋅(𝑚+1)(𝑚−1)，
(𝑚+1)2
．
2+12
把𝑚=2代入原式=
=2．
3
解析：利用分式化简，代入求值即可．
本题主要考查了分式化简求值，解题的关键是正确的进行分式化简．
20.答案：解：如图，△𝐴1𝐵1𝐶1即为所求，𝐵1(3,3)．
解析：分别作出各点关于y轴的对称点，再顺次连接，并写出点𝐵1的坐标即可．
本题考查的是作图−轴对称变换，熟知关于y轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键．
21.答案：证明：如图所示，连接AC，AD，
在△𝐴𝐵𝐶与△𝐴𝐸𝐷中， 𝐴𝐵=𝐴𝐸{∠𝐵=∠𝐸， 𝐵𝐶=𝐸𝐷
∴ △𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐸𝐷(𝑆𝐴𝑆)， ∴ 𝐴𝐶=𝐴𝐷， 在△𝐴𝐶𝐹与△𝐴𝐷𝐹中， 𝐴𝐶=𝐴𝐷{𝐶𝐹=𝐷𝐹， 𝐴𝐹=𝐴𝐹
∴ △𝐴𝐹𝐶≌△𝐴𝐹𝐷(𝑆𝑆𝑆)， ∴ ∠𝐶𝐹𝐴=∠𝐷𝐹𝐴， ∴ 𝐴𝐹⊥𝐶𝐷．
解析：本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键.利用SAS得到三角形ABC与三角形AED全等，利用全等三角形对应边相等得到𝐴𝐶=𝐴𝐷，再由三边对应相等的两个三角形全等，可得∠𝐶𝐹𝐴=∠𝐷𝐹𝐴，进而可得𝐴𝐹⊥𝐶𝐷．
22.答案：解：设甲的速度为3𝑥𝑘𝑚/时，则乙的速度为4𝑥𝑘𝑚/时，
根据题意得：3𝑥+60=4𝑥， 解得：𝑥=3，
经检验，𝑥=3是分式方程的解，
12
20
20
∴3𝑥=9，4𝑥=12．
答：甲的速度是9𝑘𝑚/时，乙的速度是12𝑘𝑚/时．
解析：设甲的速度为3𝑥𝑘𝑚/时，则乙的速度为4𝑥𝑘𝑚/时，根据时间=路程÷速度结合甲比乙提前20分钟到达目的地，即可得出关于x的分式方程，解之即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
23.答案：解：∵𝐵𝐹⊥𝐴𝐶，𝐶𝐸⊥𝐴𝐵，
∴∠𝐵𝐸𝐷=∠𝐶𝐹𝐷=90°， 在△𝐵𝐸𝐷和△𝐶𝐹𝐷中，
∠BED=∠CFD{∠BDE=∠CDF, BD=CD
∴△𝐵𝐸𝐷≌△𝐶𝐹𝐷(𝐴𝐴𝑆)， ∴𝐷𝐸=𝐷𝐹，
又∵𝐷𝐸⊥𝐴𝐵，𝐷𝐹⊥𝐴𝐶， ∴点D在∠𝐵𝐴𝐶的平分线上．
解析：此题考查的是全等三角形的判定和性质以及角平分线的性质.根据条件先利用AAS证明△𝐵𝐸𝐷≌△𝐶𝐹𝐷，然后利用全等三角形的性质和角平分线的性质就可以证明结论．
24.答案：解：(1)过点A作𝐴𝐾⊥𝐴𝐸交DC于点K，
∵四边形ABCD是正方形， ∴𝐴𝐵=𝐴𝐷，∠𝐵𝐴𝐷=90°， ∴∠𝐵𝐴𝐸=∠𝐷𝐴𝐾， ∴△𝐴𝐵𝐸≌△𝐴𝐷𝐾(𝐴𝑆𝐴)， ∴𝐵𝐸=𝐷𝐾，𝐴𝐸=𝐴𝐾， ∵∠𝐸𝐴𝐹=45°， ∴∠𝐾𝐴𝐹=45°， ∴∠𝐸𝐴𝐹=∠𝐾𝐴𝐹， 又∵𝐴𝐹=𝐴𝐹， ∴△𝐴𝐸𝐹≌△𝐴𝐾𝐹(𝑆𝐴𝑆)，
∴𝐸𝐹=𝐾𝐹=𝐷𝐹−𝐷𝐾=𝐷𝐹−𝐵𝐸，
∴线段BE、DF、EF之间的数量关系为：𝐸𝐹=𝐷𝐹−𝐵𝐸； (2)证明：过点D作𝐷𝑃⊥𝐷𝐺交EA的延长线于点P， 则∠𝐶𝐷𝐺=∠𝐴𝐷𝑃， ∵∠𝐸𝐴𝐹=45°，𝐷𝐻⊥𝐴𝐹， ∴△𝐷𝑃𝐺是等腰直角三角形， ∴𝐷𝐺=𝐷𝑃， 又∵𝐶𝐷=𝐴𝐷， ∴△𝐶𝐷𝐺≌△𝐴𝐷𝑃(𝑆𝐴𝑆)， ∴∠𝐶𝐺𝐷=∠𝑃=45°， ∴∠𝐶𝐺𝐴=90°， ∴𝐶𝐺⊥𝐴𝐸；
(3)∵𝐴𝐷=𝐷𝐶=𝐴𝐵=3，𝐶𝐹=2， ∴𝐷𝐹=5，
设𝐵𝐸=𝑥，则𝐶𝐸=3+𝑋，𝐸𝐹=𝐷𝐹−𝐵𝐸=5−𝑥， 在𝑅𝑡△𝐶𝐸𝐹中，𝐶𝐸2+𝐶𝐹2=𝐸𝐹2， ∴(3+𝑥)2+22=(5−𝑥)2， 解得𝑥=4，
∴𝐸𝐹=5−𝑥=5−4=
3
174
3
，
∴𝐴𝐹=√𝐴𝐷2+𝐷𝐹2=√32+52=√34． ∵𝑆△𝐴𝐷𝐹=2𝐴𝐹·𝐷𝐻=2𝐴𝐷·𝐷𝐹，
1
1
∴𝐷𝐻=
𝐴𝐷·𝐷𝐹𝐴𝐹
=
3×5√=3415√34，
∵△𝐶𝐷𝐺≌△𝐴𝐷𝑃，
∴𝐶𝐺=𝐴𝑃=𝑃𝐺−𝐴𝐺=√2(𝐷𝐺−𝐻𝐺)=√2𝐷𝐻=
15√17=
15√1717
．
解析：本题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定，勾股定理的应用，准确作出辅助线是解答本题的关键．
(1)过点A作𝐴𝐾⊥𝐴𝐸交DC于点K，证明△𝐴𝐵𝐸≌△𝐴𝐷𝐾(𝐴𝑆𝐴)，△𝐴𝐸𝐹≌△𝐴𝐾𝐹(𝑆𝐴𝑆)，根据全等三角形的性质得出𝐸𝐹=𝐾𝐹=𝐷𝐹−𝐷𝐾=𝐷𝐹−𝐵𝐸，即可得出结论；
(2)过点D作𝐷𝑃⊥𝐷𝐺交EA的延长线于点P，△𝐶𝐷𝐺≌△𝐴𝐷𝑃(𝑆𝐴𝑆)，证明△𝐷𝑃𝐺是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形和全等三角形的性质得出∠𝐶𝐺𝐴=90°，进而证明𝐶𝐺⊥𝐴𝐸；
(3)设𝐵𝐸=𝑥，则𝐶𝐸=3+𝑋，𝐸𝐹=𝐷𝐹−𝐵𝐸=5−𝑥，在𝑅𝑡△𝐶𝐸𝐹中利用勾股定理解出x的值，即可得到EF和AF的长，再利用𝑆△𝐴𝐷𝐹=2𝐴𝐹·𝐷𝐻=2𝐴𝐷·𝐷𝐹解出DH的长，最后根据△𝐶𝐷𝐺≌△𝐴𝐷𝑃，𝐶𝐺=𝐴𝑃=𝑃𝐺−𝐴𝐺=√2(𝐷𝐺−𝐻𝐺)=√2𝐷𝐻即可求出CG的长．
1
1
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