２０１３年第ｌ２期 ２０１３年全国高中数学联合竞赛 中图分类号：Ｇ４２４．７９ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００５－６４１６（２０１３）１２—００２５—０６ 第一试 ：１，且对每个ｉ∈｛１，２，…，８｝，均有 ∈ Ｕ 一、填空题（每小题８分，共６４分） １．设集合 ｛２，１，一 １｝则这样的数列的个数为 Ａ＝｛２，０，１，３｝， Ｂ＝｛ Ｉ一 ∈Ａ，２一 仨Ａ｝． 二、解答题（共５６分） 则集合 中所有元素的和为一 ９．（１６分）给定正数数列｛ ｝满足 ２．在平面直角坐标系ｘＯｙ中，已知点Ａ、 Ｓ ≥２ 一ｌ（ ＝２，３，…）， Ｂ在抛物线ｙ２＝４ｘ上，满足 ・ ＝一４，Ｆ 其中，Ｓ ＝ ｌ＋ ２＋…＋ ．证明：存在常数 为抛物线的焦点．则Ｓ ・Ｓ△Ｄ胎＝——＿． Ｃ＞０，使得 ３．在△ＡＢＣ中，已知 ≥２“Ｃ（Ｊｌ＝１，２，…）． ｓｉｎＡ＝１０ｓｉｎＢ・ｓｉｎ Ｃ．ｏ０８Ａ＝１０ｃｏｓＢ・ｏ０ｓ Ｃ １０．（２０分）在平面直角坐标系，Ｏｙ中， 则ｔａｎ Ａ＝ 已知椭圆的方程为 ＋旨＝１（口＞ｂ＞０）， ４．已知正三棱锥Ｐ—ＡＢＣ底面边长为 Ａ 、Ａ 分别为椭圆的左、右顶点， 、 分别 １，高为 ．则其内切球半径为——－． 为椭圆的左、右焦点，Ｐ为椭圆上不同于Ａ。、 ５．设口、ｂ为实数，函数 ）＝ ＋ｂ满 Ａ：的任意一点．若平面中两个点Ｑ、Ｒ满足 足：对任意的 ∈［０，Ｉ］，有Ｉｆ（ ）Ｉ≤１．则口６ ＱＡ 上 ，ＱＡ２上ＰＡ：，Ｒ Ｊ－ＰＦ。，ＲＥ２上 的最大值为——— ，试确定线段ＱＲ的长度与ｂ的大小关 ６．从１，２，…，２０中任取五个不同的数， 系，并给出证明． 其中至少有两个是相邻数的概率为——＿． １１．（２０分）求所有的正实数对（口，ｂ）， ７．若实数ｘ，ｙ满足 一４，／；－＝ｚ／－；一Ｙ，则 使得函数 ）＝∞ ＋ｂ满足：对任意的实数 的取值范围是——＿． ｘ，ｙ有 ８．已知数列｛ａ ｝共有九项，其中，口 ＝ａ ，（ ，，）＋ ＋），）≥ ＾（ ）．厂（，，）． 因此，Ｓｏ，Ｓ．，Ｓ２，…，ＳＤ－ｌ中最多有Ｐ一４ Ｉ × ｌ Ｐ 个非零 Ｐ －４ Ｐ・－４ 由引理（１）及柯西不等式得 ＞ｐ（ｐ ＋４ｐ－４）， Ｎ＝∑ｓ； 与引理的（２）矛盾． 从而，对于所有的ｒ∈ 均有ｓ，＞０． ≥ １（，， Ｓｒ＇） （熊斌提供李建泉翻译） 中等数学 加试 于是， ＝ ＝ ． 一、（４０分）如图１， 则一４＝ ・ ： ：＋，，，ｙ： ＡＢ是圆厂的一条弦，Ｐ ： （ｙ ＋ｙ１ｙ。 、 为弧ＡＢ内一点， 、Ｆ为 线段ＡＢ上两点，满足 （）， ＋８） ：０ ＡＥ＝ＥＦ＝ＦＢ．联结ＰＥ、 ＹＩＹ２：一８． ＰＦ并延长，与圆ｆ分 网１ 故Ｓ＾０ ・Ｓ邶Ｆ８ 别交于点ｃ、Ｄ．证明： ＝Ｅ ・ＣＤ＝ＡＣ・ Ｄ． （丢１０川），ｌＩ）（ １ Ｉ Ｄ川Ｉｙ：１） 二、（４Ｏ分）给定正整数 、 ．数列｛ａ ｝ ＝Ｌｔ ＯＦｔ ｌｙｌ Ｉ＝２． ４ 定义如下：ａ，＝ ＋ ，对整数ｍ≥１， ３．１１． ａ２ｍ＝ａ ＋“，ａ２ｍ＋ｔ＝ａｍ＋执 由ｓｉｎ Ａ—ＣＯＳ Ａ 记Ｓ ＝ａｌ＋ａ２＋…＋ａ （ｍ＝１，２，…）． ＝１０（ｓｉｎ Ｂ・ｓｉｎ Ｃ—ＣＯＳ Ｂ・ＣＯＳ Ｃ） 证明：数列｛ ｝中有无穷多项是完全平 ＝一１０ｃｏｓ（Ｂ＋Ｃ ＝１０ｃｏｓ Ａ 方数． ｊ ｓｉｎ Ａ＝ｌｌＣＯＳ Ａ 三、（５０分）一次考试共有ｍ道试题，ｎ ｔａｎ Ａ＝ｌ１． 名学生参加，其中，ｍ、凡≥２为给定的整数．每 ４． ６． 道题的得分规则是：若该题恰有 名学生没 有答对，则每名答对该题的学生得Ｘ分，未答 如图２，设球心Ｏ Ｐ 对的学生得零分．每名学生的总分为其ｍ道 在平面ＡＢＣ与平面 题的得分总和．将所有学生总分从高到低排 ＡＢＰ内的射影分别为 列为Ｐ ≥ｐ２≥…≥ｐ ．求Ｐｌ＋ｐ 的最大可能值 Ｈ、Ｋ，边ＡＢ的中点为 ，内切球半径为ｒ． 四、（５０分）设ｎ、ｋ（ｎ＜２ ）均为大于ｌ 则Ｐ、 、 ，Ｐ、０、Ｈ分 的整数．证明：存在２Ｊ｝个不被ｎ整除的整数， 别三点共线， ＰＨＭ 若将它们任意分成两组，则总有一组有若干 Ａ Ｃ ＝ ＰＫＯ：－４“－－个数的和被ｎ整除． ，且 山 参考答案 ＯＨ＝ＯＫ＝ｒ． ｐ０：ＰＨ—ｏＨ 网２ 第一试 ： 一ｒ。 一、１．一５． 易知，Ｂ ｛一２，０，一１，一３｝． ＭＨ＝当 ：一２，一３时，２一 ２＝一２，一７ Ａ； 和＝ ， 当 ＝０，一１时，２一 ＝２，ｌ∈Ａ． ＰＭ＝ ＝ ＝ ６． 因此，集合Ｂ＝｛一２，一３｝． 从而，集合 中所有元素的和为一５． 故 ｒ ＝而ＯＫ＝Ｍ而Ｈ： １． ２．２． 由题意知点Ｆ（１，０）． 设ａ（ｘ１，Ｙ１）， （ ２，Ｙ２）． 解 ． ２０１３年第ｌ２期 ２７ ５．丢． ８．４９１． ・ 易知口＝ １）－ｆ（０），ｂ： ０），则 令ｂ ： （１≤ ≤８）．则对每个符合条 ａｂ＝ ０） １）－ｆ（０）） 件的数列｛口 ｝，满足条件 ：一（ ０）一 －））２＋ （１） ＝ ： ＝・， ｉ＝１≤ ㈩≤÷． 且６ ∈｛２，ｌ’一号）（１≤ ≤８）． 当２ｆ（ｏ） １）＝士１，即Ⅱ＝ｂ＝±÷时， 反之，由符合上述条件的八项数列｛ｂ ｝ ａｂ取最大值寺． 可唯一确定一个符合题设条件的九项数列 ｛口 ｝． ６． ． 记符合条件的数列｛ｂ ｝的个数为Ⅳ．显 设０Ｉ＜ａ２＜…＜口５取自１，２，…，２０． 然，ｂｆ（１≤ｉ≤８）中有２ｋ个一÷；从而，有２ｋ 若口ｌ，ｎ２，…，ａ５互不相邻，则 个２，８－４ｋ个１．当给定ｋ时，｛ｂ ｝的取法有 １≤口１＜ａ２—１＜口３－２＜ａ４—３＜ｎ５－４￣＜１６． 由此知从１，２，…，２０中取五个互不相邻 ｃ ｃ ： 种，易见ｋ的可能值只有ｏ、１、２，故 的数的选法与从１，２，…，１６中取五个不同的 Ｎ＝１＋ｃ；ｃ：＋ｃ８４ｃ： 数的选法相同，即ｃ； 种．于是，所求的概率为 ＝ｌ＋２８×１５＋７０×１＝４９１． ｃ ６ ２３２ 因此，由对应原理，知符合条件的数列・ ，卜 ‘ ｛口 ｝的个数为４９１． ７．｛０｝Ｕ［４，２Ｏ］． 二、９．当，ｌ≥２时， ４－，／７＝口，￣，／ 一Ｙ＝ｂ（ａ、６≥０），此时， Ｓ ≥２Ｓ 一１亡 ≥ ｌ＋ ２＋…＋ 一Ｉ． ） ＝ｙ＋（ 一Ｙ）：口２＋ｂ２， 对常数Ｃ＝ １ －，接下来用数学归纳法 且题设等式化为 Ⅱ２＋６ 一４ｎ＝２６证明： ． Ｊ 是，口、ｂ满足方程 ≥２ ｃ（，ｌ＝ｌ，２，…）． ② （Ⅱ一２） ＋（ｂ一１） ＝５（口、６≥０）． 当ｎ＝１时，结论显然成立． 如图３，在ａＯｂ 又 ２≥ １＝２ Ｃ． Ｊｂ ‘ 平面内，点（ａ，ｂ）的 对，ｌ≥３，假设 ≥２ Ｃ（ｋ＝１，２，…，凡一１）． 轨迹是以Ｄ（１，２） ，， 则由式①知 为圆心、 为半径 ｛｜ ／ ２ ） ｎ≥ Ｉ＋（ ２＋ ３＋…＋ ｎ—Ｉ） 、 的圆在ａ、ｂ≥０的 ｊ ≥ １＋（２ Ｃ＋２ Ｃ＋…＋２ 一’Ｃ） 部分，即点０与弧 ＼ ＼、 ／ １／ ：（２ ＋２２＋２ ＋…＋２ 一’）Ｃ＝２ Ｃ． ＿‘、 ０ ’～ ＡＣＢ的并集． 于是，由数学归纳法，知式②成立． 故￣／ｎ ＋ｂ 图３ １ｏ．令ｃ＝ ｎ 一ｂ ．贝Ⅱ ∈｛０｝Ｕ［２，２ ］． Ａ （一ａ，０），Ａ２（口，０），Ｆ．（一ｃ，０）， （ｃ，Ｏ）． 从而， ＝ａ ＋ｂ ∈｛０｝Ｕ［４，２０］． 设Ｐ（ ｏ，），０），Ｑ（ ，，Ｙ，），Ｒ（ ：，Ｙ２），其 中，≥＋ ，，ｏ≠０． 由ＱＡ ｊ—ＰＡ ，Ｑａ：上 ：，知 ・ ＝（ １＋口）（ ＋口）＋ｙＩ，，０＝ｏ，① ． ＝ｘ１一口）（ ｏ一口）＋，，１Ｙｏ－０。② 式①、②相减得 ２ａ（ｘｌ＋ ｏ）＝Ｏ ｌ＝一‰． 将其代入式①得 ２ ＋ｙｌ ＝０ ｙｌ＝ ． 于是＇Ｑ（叫。，，－／，ｏ，・ 同理， （ 。，ｘｏｙ－ ／ 眦ｔ ＱＲｔ＝ｌ 一 ． 由于ｌｙｏ Ｉ∈（０，ｂ］，故Ｉ ＱＲ Ｉ≥ｂ，当且仅 当ｌｙｏｌ－ｂ时，等号成立，此时，Ｐ（Ｏ，±ｂ）． １１．由题意得 （ｎ ２ｙ２＋ｂ）＋［ａ（ｘ＋ｙ）２＋ｂ］ ≥（似 ＋ｂ）（ａｙｚ＋ｂ）． ① 先求ａ，ｂ所满足的必要条件． 在式①中令Ｙ＝Ｏ，得 ｂ＋（口 。＋ｂ）≥（Ｏ，Ｘ ＋６）ｂ （１—６） ＋ｂ（２一ｂ）≥０． 由于ａ＞０，故似。可取到任意大的正值， 因此，必有１一ｂ≥０，即０＜ｂ≤１． 在式①中再令Ｙ＝一 ，得 （口 ＋ｂ）＋ｂ≥（ ＋ｂ） （口一口 ） 一２ａｂｘ ＋（２ｂ—ｂ ）≥０．② 将式②左边记为ｇ（ｘ）．显然，ｎ—ａ ≠０． 否则，由口＞０，知ａ＝１，此时， （ ）＝一２ｂｘ ＋（２ｂ—ｂ ）（ｂ＞０）． 则ｇ（ ）可取到负值，矛盾． 故ｇ（ ） ＝（ａ－ａ２）（ｘ２：ａ＇ａ＿ｂａ２）一 ２ －ｂ２） ＝（ａ－ａ２）（ ２一 ） ＋ （２一 －６） ０ 中等数学 对一切实数ｚ成立． 于是，ａ一口 ＞０，展ｐ０＜ｎ＜１． 进一步，考虑到此时 ＞０，再由 ｇ（ ）＝ ｃ２—２ａ－ ０， 知２Ⅱ＋ｂ≤２． 从而，求得口、ｂ满足的必要条件为 ０＜ｂ≤ｌ，０＜口＜１，２ａ＋６≤２．（ 下面证明，对满足条件③的任意实数对 （ａ，ｂ）及任意非负实数ｘ，ｙ，式①总成立，即 ＾（ ，Ｙ） ＝（口一口 ）ｘ２ｙ２＋口（１一ｂ）（ ＋ ）＋ ２ａｘｙ＋（２ｂ＋ｂ ＞１０． 事实上，在条件③成立时，有 口（１一ｂ）≥Ｏ，ａ一口 ＞０， （２—２ａ一６）≥０． 再结合 ＋，，２≥一２ｘｙ，得 ’ ＾（ ，Ｙ） ≥（ —ａ２）ｘ２ｙ２＋０（１一ｂ）（一２ｘｙ）＋ ２ａｘｙ＋（２６一ｂ ） ＝（口一ａ ） ｙ２＋２ａｂｘｙ＋（２ｂ—ｂ ） ＝ａ－ｎ２）（ ＋ ） ＋ （２—２ａ－ｂ） ≥０． 综上，所求的正实数对（口，ｂ）全体为 ｛（凸，６）１０＜ｂ≤１，０＜０＜１，２ａ＋ｂ≤２｝． 加试 一、如图４，联结ＡＤ、ＢＣ、ＣＦ、ＤＥ． Ｐ 网４ ２０１３年第ｌ２期 ２９ 记ｄ（Ａ，ｚ）表示点Ａ到直线Ｚ的距离． 毫０（ｍｏｄ ２）． 由ＡＥ＝ＥＦ＝ＦＢ，知 于是，Ｓ２ｎ－Ｉ是完全平方数． ＢＣｓｉｎ Ｌ ＢＣＥ由于１有无穷多个，从而，数列｛Ｓ ｝中有 ＡＣｓｉｎ ＡＣＥ＝ ｄ（Ａ ｌ＝ ， ｅｔ，） Ａ 一 ① 无穷多项是完全平方数． 同理， 三、对ｋ＝１，２，…，ｍ，设第ｋ题没有答对 ＢＤｓＡＤｓｉｉｎｎ Ｌ ＢＤＦ＝ ＡＤＦｄ（ 者有 人．则第ｋ题答对者有ｎ一 人．由得 ， ） ＝ Ｆ－２．② ～ 分规则，知这ｒｇ一 个人在第ｋ题均得 分． 另一方面，注意到 设 名学生的得分之和为 则 ＢＣＥ＝ ＢＣＰ＝ ＢＤＰ＝ ＢＤＦ， ＡＣＥ＝ ＡＣＰ＝ ＡＤＰ＝ ＡＤＦ． ∑Ｐ ＝５＝∑ （ 一 ） 将式①、②相乘得 ＝ｎＢＣ・ＡＤ ． ∑ 一∑％２ ～ＡＣ・ＢＤ ＝４ 。 因为每一个人在第ｋ道题上至多得 ＢＣ・ＡＤ＝４ＡＣ・ＢＤ． ③ 分，所以， 由托勒密定理知 ＡＤ・ＢＣ＝ＡＣ・ＢＤ＋ＡＢ・ＣＤ． ④ ＰＩ≤∑％ 故由式③、④得ＡＢ・ＣＤ＝３ＡＣ・ＢＤ，即 由Ｐ２≥ｐ３≥…≥ｐ ，知 ＥＦ－ＣＤ＝ＡＣ・ＢＤ． ＝ ． 二、对正整数ｎ有 川一ｌ ｌ＋ｐ 。＋ ＝ａｌ＋（ａ２＋ａ３）＋（ａ４＋ａ５）＋…＋ 一２ Ｓ （ａ２ｎ＋ｌ一２＋ａ２ ＋ｌ一１） ｔ＋ ＝ｚ‘＋ ＋（ａｌ＋ｕ＋ａｌ＋ ）＋ （ａ２＋ｕ＋ａ２＋ ）＋…＋ ≤等 ＋； １（ｎ ｋ＝ｌ 一ｋ ＝ｌ戈２ ） （ａ２ 一Ｉ＋ ＋ａ２ 一ｌ＋ ） ＝２ ＝２ （Ⅱ＋口）＋２Ｓ２ ． ∑％２ ｋ＝１故Ｓ２ ＝２ （ ＋ ）＋２Ｓ２川一ｌ 由柯西不等式得 ＝２ 一’（ｕ＋ ）＋２［２“一 （ ＋ ）＋２Ｓ２ 一２一１］ ２×２ 一 （ ＋ ）＋２２Ｓ２ 一２—１ ｋ ＝ｌ舻２ （ ） ． ＝＝… ≤２ 一 （ ｋ＝ｌ ） ＝２“一 （ｎ一１）（ ＋ ）＋２ 一 （“＋ ） ＝２ ‘（ ＋秽）ｎ． ＝一丽１【 －ｍ（ ）】２＋ｍ（ ） 设 ＋ ＝２ｋｑ（ｋ∈Ｎ，ｑ为奇数）．取ｎ＝ ≤ｍ（ｒｔ一１）． ｑｌ ，其中，Ｚ为满足ｌ＝ｋ一１（ｍｏｄ ２）的任意正 另一方面，若有一名学生全部答对，其他 整数．此时， ｎ一１名学生全部答错，则 Ｉｓ２ ｌ＝２ 一 ｇ Ｚ。． 一注意到，ｑ为奇数． Ｐｌ＋ｐ ＝ｐ．＝∑（，ｌ—１）＝ｍ（凡一１）． 故ｋ一１＋ｑｌ －－ｋ一１＋Ｚ 综上，Ｐ。＋ｐ 的最大值为ｍ（ｒｔ一１）． 兰ｋ一１＋（ｋ一１） ＝ （ｋ一１） 四、先考虑ｎ为２的幂的情形． ３０ 中等数学 设 ＝２ （ｒ≥１）．则ｒ＜ｋ．取３个２ 。及 ２“。＝０被ｎ整除，故２¨ 在第一组，从而， 一２ 一３个１，显然，这些数均不被凡整除．将这 ２后个数任意分成两组，则总有一组中含２个 ２ ‘其和为２ 且被乃整除． ，２“’在第二组． 故由数学归纳法，知ｌ，２，２ ，…，２ 在 第一组，一ｌ，～１，一２，一２ ，…，一２ 。在第 二组． ，设 不是２的幂，取２Ｊ｝个数为 一ｌ，一ｌ，一２，一２２，一 …，一 １，２，２２，…，２ ～． 最后，由于 （一１）＋（一Ｉ）＋（一２）＋…＋（一２ 一 ）＋２ 一‘＝Ｏ 因为凡不是２的幂，所以，上述２ 个数 均不被凡整除． 若可将这些数分成两组，使得每一组中 任意若干个数的和均不被／／，整除．不妨设１ 在第一组，由（一１）＋１＝０被／ｇ＇整除，故两个 一被／７，整除，故２“‘在第一组．因此，ｌ，２，２ ， …，２ 均在第一组．由正整数的二进制表 示，知每一个不超过２ 一１的正整数均可表 示为ｌ，２，２ ，…，２ ’中若干个数的和，特别 地，因为，。≤２ 一１，所以．第一组中有若干个 数的和为／／＇，当然被／／，整除，矛盾． 因此，将前述２ｊｃ个整数任意分成两组， 总有一组中有若干个数之和被ｎ整除． １必须在第二组；又（一１）＋（一１）＋２＝０ 被ｎ整除，故２在第一组，进而，推出一２在 第二组． 现归纳假设ｌ，２，…，２ （１≤Ｚ＜ｋ一２）均在 第一组，而一１，一１，一２，…，一２ 均在第二组。 由（一１）＋（一１）＋（一２）＋…＋（一２ ）＋ （上接第２０页） ３￣．０＜１５－ ＝ ５ ＜ ５＝（丁龙云提供） 由于０．９＜１一（ 一 ） 们。＜１，于是， ÷，且 （１５—２，／２６／￣－） ＜（１５一何） ， （ ＋ ） ｍ。的小数点后第一位数字是９． ３．设Ｐ、ｑ∈Ｚ＋，且ｑ≤ｐ ．试证：对ｎ∈ ｚ＋，存在Ⅳ∈ｚ＋，使得 （Ｐ一 一ｑ） ＝Ｎ一 ／Ｖ２一ｑ ， 故０＜ｙ＜２（１５一 ） ＜２ ｘ０．２ ＜Ｑ ４． 所以， 的个位数字为９． 且（Ｐ＋ 一ｑ ｏ＝Ｎ＋￣／，ｖ２一ｑ ． 练习题 １．已知（１＋√３） ＝口 ＋ｂ √ ，其中， 、 （２０ｌ２，浙江省高中数学竞赛） 提示：Ⅳ＝÷［（ｐ一 一ｇ） ＋（ｐ＋ 一ｇ） ］ ∈Ｚ ． ｂ 为整数． 则 毒＝，卜’＋∞￡，． （２０１１，全国高中数学联赛四川省预赛） ４．考虑数列 ＝（１＋√２＋√３） ．记 ＝ ＋ｂ √ｌ２＋Ｃ √３＋ｄ √６， 其中，口 、ｂ 、Ｃ 、ｄ ∈Ｚ＋． 求ｌｉｍ 、ｌｉｍ 、ｌｉｍ ． ＋∞口ｎ “一’＋∞ａｎ ＋∞ａｎ 提，ｉｆ．ｒ：ｌｉｍ》 ｎ一。＋＋∞Ｄ ：ｌｉｍ × ： ． 一～。 （１＋√３） 一（Ｉ一√３） ２．（ ＋ ） 们。的小数点后第一位数字 是一 提示：答案为 ｎ坚～ ａ＝∞ ｎ 譬 Ｚ ｎ坚 尝＝＋∞ｎｎ ）譬， ｎ一’＋∞ 妾ａｎ ： ．Ｏ 参考文献： ［１］２００８年全国高中数学联赛江西省预赛［Ｊ］．中等数 学。２００９（８）． （２００９，全国高中数学联赛吉林省预赛） 提示：（√ ＋ １一（ 一 ） ｍ。． ２ ０１０的小数部分为 ［２】赵鸿雁．利用转化的思想解题［Ｊ］．中等数学，２０１３ （３】．
