常微分方程习题集

一、填空题 30%

1、 形如 的方程，称为变量分离方程，这里.

的连续函数。

分别为x.y

2、 形如 -的方程，称为伯努利方程，这里

数.n

的连续函

3、 如果存在常数 -对于所有

函数

称为在R上

关于满足利普希兹条件。

4、 形如 -的方程，称为欧拉方程，这里

5、 设

任一解

二、计算题40%

- 。

的某一解，则它的

1、 求方程

2、 求方程的通解。

3、 求方程的隐式解。

4、 求方程

三、证明题30%

1.试验证区间a

=是方程组x=x,x= ，在任何不包含原点的

上的基解矩阵。

2.设为方程x=Ax（A为nn常数矩阵）的标准基解矩阵（即（0）=E），证明: (t)=

(t- t)其中t为某一值.<%建设目标%>

《常微分方程》测试题 2

一、填空题：（30%）

1、曲线上任一点的切线的纵截距是切点的横坐标和纵坐标的等差中项，则曲线所满足的

微分方程是 .

2、方程的通解中含有任意常数的个数为 . 3、方程有积分因子的充要条件为 . 4、连续是保证对满足李普希兹条件的 条件． 5、方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是 ． 6、若共同零点． 是二阶线性齐次微分方程的基本解组，则它们 (有或无) 7、设是方程的通解，则 . 8、已知是二阶齐次线性微分方程线性无关的另一解 . 的一个非零解，则与

9、设是阶常系数齐次线性方程特征方程的K重根，则该方程相应于的K个线性无关解是 . 10、线性微分方程组

件是 .

二、求下列微分方程的通解：（40%）

的解是的基本解组的充要条

1、

2、

3、

4、

5、求解方程．

三、求初值问题 的解的存在区间，并求第二次近似解，给

出在解的存在区间的误差估计.（10分） 四、求解微分方程组

五、证明题：（10%）

满足初始条件的解. （10%）

设，是方程

的解，且满足==0，，这里

=C

在上连续，

．试证明：存在常数C使得

《常微分方程》测试题 3

1．辨别题

指出下列方程的阶数，是否是线性方程：(12%)

（1） （2） （3）

（4）2、填空题(8%)

（5） （6）

（1）．方程的所有常数解是___________.

（2）．若y=y1(x)，y=y2(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为________________.

（3）.若方程M(x, y)dx + N(x, y)dy= 0是全微分方程，同它的通积分是________________.

（4）.设M(x0, y0)是可微曲线y= y(x)上的任意一点，过该点的切线在x轴和y轴上的截距分别是_________________. 3、单选题(14%)

（1）．方程是（ ）.

(A)可分离变量方程 （B）线性方程 (C)全微分方程 （D）贝努利方程

（2）．方程，过点（0，0）有（ ）.

(A) 一个解 （B）两个解 (C) 无数个解 （D）三个解

（3）．方程x(y－1)dx+y(x－1)dy=0的所有常数解是（ ）. (A)y=±1, x=±1, (B) y=±1 (C) x=±1 (D) y=1, x=1

22（4）．若函数y(x)满足方程，且在x=1时，y=1, 则在x = e时

y=( ).

(A) (B) (C)2 (D) e

（5）．阶线性齐次方程的所有解构成一个（ ）线性空间．

（A）维 （B）维 （C）维 （D）维

（6）. 方程（ ）奇解．

（A）有三个 （B）无 （C）有一个 （D） 有两个

（7）．方程过点（ ）．

（A）有无数个解 （B）只有三个解

（C）只有解 （D）只有两个解

4.计算题(40%)

求下列方程的通解或通积分：

（1）.

（2）.

（3）.

（4）.

（5）.

5. 计算题(10%)

求方程的通解．

6．证明题（16%）

设在整个平面上连续可微，且．求证：方程

的非常数解<%建设目标%>

，当时，有，那么必为或

《常微分方程》测试题 4

1．辨别题

指出下列方程的阶数，是否是线性方程：(12%)

（1） （2） （3）

（4）2、填空题(8%)

（5） （6）

（1）．方程的所有常数解是___________.

（2）．若y=y1(x)，y=y2(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为________________.

（3）.若方程M(x, y)dx + N(x, y)dy= 0是全微分方程，同它的通积分是________________. （4）.设M(x0, y0)是可微曲线y= y(x)上的任意一点，过该点的切线在x轴和y轴上的截距分别是_________________ 3、单选题(14%)

（1）．方程是（ ）.

(A)可分离变量方程 （B）线性方程 (C)全微分方程 （D）贝努利方程

（2）．方程，过点（0，0）有（ ）.

(A) 一个解 （B）两个解 (C) 无数个解 （D）三个解

（3）．方程x(y－1)dx+y(x－1)dy=0的所有常数解是（ ）. (A)y=±1, x=±1, (B) y=±1 (C) x=±1 (D) y=1, x=1

22（4）．若函数y(x)满足方程，且在x=1时，y=1, 则在x = e时

y=( ).

(A) (B) (C)2 (D) e

（5）．阶线性齐次方程的所有解构成一个（ ）线性空间．

（A）维 （B）维 （C）维 （D）维

（6）. 方程（ ）奇解．

（A）有三个 （B）无 （C）有一个 （D） 有两个

（7）．方程过点（ ）．

（A）有无数个解 （B）只有三个解

（C）只有解 （D）只有两个解

4.计算题(40%)

求下列方程的通解或通积分：

（1）.

（2）.

（3）.

（4）.

（5）.

5. 计算题(10%)

求方程的通解．

6．证明题（16%）

设在整个平面上连续可微，且．求证：方程

的非常数解

，当时，有，那么必为或

《常微分方程》测试题 5

一、填空题（30%）

1．若y=y1(x)，y=y2(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为 ．

2．方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是 ．

3．连续是保证方程初值唯一的 条件．

一条积分曲线.

4. 线性齐次微分方程组的一个基本解组的个数不能多于

个，其中，．

5．二阶线性齐次微分方程的两个解要条件是 ．

,成为其基本解组的充

6．方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是 ．

7．方程的所有常数解是 ．

8．方程所有常数解是 ．

9．线性齐次微分方程组的解组件是它们的朗斯基行列式

．

为基本解组的 条

10．阶线性齐次微分方程线性无关解的个数最多为 个

二、计算题（40%）

求下列方程的通解或通积分：

1.

2．

3．

4．

5．

三、证明题（30%）

1．试证明：对任意及满足条件的，方程

的满足条件的解在上存在．

2．设任意解

在均有

上连续，且

．

，求证：方程的

3．设方程中，在上连续可微，且

的解

必在区间

，

．求证：该方程的任一满足初值条件上存在．

《常微分方程》测试题 6

一、填空题 （20%)

1．方程2．方程

的所有常数解是 ．

的常数解是 ．

3．一阶微分方程的一个特解的图像是 维空间上的一条曲线． 4．方程

的基本解组是 ．

二、选择题(25%)

1．阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（ ）个． （A） （B）-1 （C）+1 （D）+2

2．李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的（ （A）充分 （B）必要（C）充分必要 （D）必要非充分

3. 方程过点共有（ ）个解．

（A）一 （B）无数 （C）两 （D）三

4．方程（ ）奇解．

（A）有一个 （B）有两个 （C）无 （D）有无数个

5．方程的奇解是（ ）． （A）

（B）

（C）

（D）

三、计算题(25%)

1.x=+y

2.tgydx-ctydy=0

条件． ）3.

4.

5.

四、求下列方程的通解或通积分(30%)

1.

2.

3.

《常微分方程》测试题 7

一 . 解下列方程 (80%)

1. x=+y

2. tgydx-ctydy=0 3. {y-x(

+

)}dx-xdy=0

4. 2xylnydx+{+}dy=0

5. =6-x

6. =2

7. 已知f(x)=1,x0,试求函数f(x)的一般表达式。

8．一质量为m质点作直线运动，从速度为零的时刻起，

有一个和时间成正比（比例系数为）的力作用在它上面，此外质点又受到介质的阻力，这阻力和速度成正比（比例系数为的关系。

二． 证明题 (20%)

1. 证明：如果已知黎卡提方程的一个特解，则可用初

等方法求得它的通解。

）。试求此质点的速度与时间

2． 试证：在微分方程Mdx+Ndy=0中，如果M、N试

同齐次函数，且xM+yN0,则

一个积分因子

是该方程的

《常微分方程》测试题 8

计算题 .求下列方程的通解或通积分 （70%）

1.

2.

3.

4.

5．

6．7．

证明题 （30%）

8. 在方程

．求证：对任意

在区间必为

中，已知和

，在上连续，且的解

的存

，满足初值条件

9. 设

在区间上连续．试证明方程

的所有解的存在区间必为

10. 假设方程

在全平面上满足解的存在惟一性定理条件，且

<

，

，

是定义在区间I上的两个解．求证：若间I上必有

<

成立

，则在区

《常微分方程》测试题 9

一、填空题（30%） 1、方程

有只含的积分因子的充要条件是

（ ）。有只含的积分因子的充要条件是______________。 ２、_____________称为黎卡提方程，它有积分因子______________。

３、__________________称为伯努利方程，它有积分因子_________。 ４、若

为阶齐线性方程的个解，则它们线性

无关的充要条件是__________________________。 ５、形如___________________的方程称为欧拉方程。 ６、若

和

都是

的基解矩阵，则

和

具有的关

系是_____________________________。

７、当方程的特征根为两个共轭虚根是，则当其实部为_________时，零解是稳定的，对应的奇点称为___________。 二、计算题（６０％） 1、２、

３、若expAt

试求方程组的解并求

４、

５、求方程经过（0，0）的第三次近似解

6.求

三、证明题（１０％）

的奇点,并判断奇点的类型及稳定性.

１、阶齐线性方程一定存在个线性无关解。

《常微分方程》测试题 10

一、选择题 （30%）

1 微分方程的阶数是____________

2 若程

和在矩形区域

有只与

内是的连续函数,且有连续的一阶偏导数,则方

有关的积分因子的充要条件是

_________________________

3 _________________________________________ 称为齐次方程.

4 如果 ___________________________________________ ,则,定义于区间

上,连续且满足初始条件

存在唯一的解 ,其中

_______________________ .

5 对于任意的 , (为某一矩形区域),若存在常数在

上关于

满足利普希兹条件.

使 ______________________ ,则称

6 方程定义在矩形区域:上 ,则经过点 的解

的存在区间是 ___________________

7 若是齐次线性方程的个解,为其伏朗斯基行列式,则满足一

阶线性方程 ___________________________________

8 若为齐次线性方程的一个基本解组,为非齐次线性方程的一个

特解,则非齐次线性方程的所有解可表为 _________________________

9 若为毕卡逼近序列的极限，则有__________________

10 _________________________________________ 称为黎卡提方程，若它有一个特解

则经过变换 ___________________ ，可化为伯努利方程． 二 求下列方程的解 （35%）

１

２ 求方程经过的第三次近似解

３ 讨论方程 ，的解的存在区间

4 求方程的奇解

5

6

7

三 证明题 （35%）

，

1 试证:若已知黎卡提方程的一个特解,则可用初等积分法求它的通解

2 试用一阶微分方程解的存在唯一性定理证明:一阶线性方程 , 当

, 在上连续时,其解存在唯一

<%建设目标%>

《常微分方程》测试题 11

一． 填空题 （30%）。

1、当_______________时，方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0称为恰当方程，或称全

微分方程。

2、________________称为齐次方程。

3、求续解。

=f(x,y)满足的解等价于求积分方程____________________的连

4、若函数f(x,y)在区域G内连续，且关于y满足利普希兹条件，则方程

的解 y=

__________。

作为的函数在它的存在X围内是

5、若为n阶齐线性方程的n个解，则它们线性无关的充要条

件是__________________________________________。

6、方程组

的_________________称之为的一个基本解组。

7、若是常系数线性方程组的基解矩阵，则expAt =____________

8、满足___________________的点（），称为方程组的奇点

9、当方程组的特征根为两个共轭虚根时，则当其实部________时，零解是稳定

的，对应的奇点称为___________。

二、计算题（60%）

1、求解方程：=

2、解方程： (2x+2y-1)dx+(x+y-2)dy=0

3、讨论方程在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件，并求

通过点（0，0）的一切解

4、求解常系数线性方程：

5、试求方程组的一个基解矩阵，并计算

6、试讨论方程组 （1）的奇点类型，其中a,b,c为常

数，且ac0。

三、证明题（10%）。

试证：如果满足初始条件的解，那么

《常微分方程》测试题 13

一、判断题（10%）

1．方程是恰当方程。 （ ）2． 是三阶微分方程。 （ ）

3．是方程的通解。 （ ）

4．函数组线性相关的充要条件是它们的伏朗斯基行列式等于零。 （5．方程

是二阶线性方程。 （ ）

二、选择题（10

）

1．方程定义在矩形域上，则经过点的解的

存在区间是（ ）。

A． B． C． D．

2．与初值问题等价的一阶方程组是________.

A． B．

C． D．

3．方程（是一个函数矩阵）的解空间构成________维线性空间.

A．n-1 B．n C．n+1 D．

4．微分方程的一个解是（ ）

A． B．

C． D．

5．方程有积分因子（ ）

A． B． C． D．

三、填空题（20%）

1．方程通过点的第二次近似解是________________。

2．当_______________时，方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0称为恰当方程，或称全微分方程。

3．如果于区间

在 且 ，则方程

上，连续且满足初始条件

存在唯一的解，其中

，定义

，

。

4．若1，2，……，是齐线性方程的个解，为其伏朗斯基行列式，则 满

足一阶线性方程

5．方程有仅与有关的积分因子的充要条件是___________。

6．利用变量替换__________可把方程化为变量分离

方程___________________。

7.若都是=A(t)X的基解矩阵，则具有关系： 。

8．方程的一个特解是________________________

9．形如 的方程称为欧拉方程。

10．若是常系数线性方程组的基解矩阵，则expAt =____________。

四、计算题（60%）

1．求方程的通解。（8分）

2．求解下列初值问题：。（8分

《常微分方程》测试题 14

一、判断题（10%）

1．方程是二阶非线性方程。 （ ）

2．方程的通解是。 （ ）

3．利普希茨条件是保证初值问题解的唯一性的充分条件而不是必要条件。 （ ）

4．向量函数组的线性相关概念与它的相应的分量线性相关概念并不等价。 （ ）

5．若是阶齐次线性方程的个解，其伏朗斯基行列式

，则

二、选择题（10%）

在I上线性相关。 （ ）

1．曲线满足方程（ ）

A． B． C． D．

2．积分方程的一个解是（ ）

A． B． C． D．

3．若微分方程有积分因子，则满足（ ）

A． B．

C． D．

4．微分方程可化为（ ）

A．B．

C．D．

5．设有微分方程，则有（ ）

（1）

（2）

（3）

A．方程（1）是线性方程式 B．方程（2）是线性方程

C．方程（3）是线性方程 D．它们都不是线性方程

三、填空题（20%）

1.含有自变量、未知函数及它的导数（或微分）的方程，称为________________方程

2．利用变量替换___________________。

__________可把方程化为变量分离方程

3．方程的一个特解是________________________。

4．方程（是自变量）的对应的特征方程是_________________________。

5．一曲线，其上每点处的切线斜率为该点横坐标的二倍，且通过点方程是________________。

，则该曲线

6．微分方程初值问题与积分方程_________________________等价。

7．如果在矩形域R上满足：①_______________，②____________________，

则方程存在惟一解。

8．方程有仅与有关的积分因子的充要条件是___________。

9．方程10．微分方程

（

的常数解是____________________。 是自变量）的通解是_______________________。

方程通过点的第二次近似解是________________

四、计算题（60%）

1．求方程的通解。（8分

2．求方程（8分

3．求方程（9分）

4．求方程的通解。（8分）

5．求方程的通解。（9分）

6．求非齐次方程的通解。

7．已知微分方程组的基解矩阵是，

求微分方程组的通解。（9分）