数学论文

从贝特朗问题看概率论的产生与发展

一、概率论的起源：

概率论是一门研究随机现象的数量规律学科。

它起源于对问题的研究。早在16世纪，意大利学者卡丹与塔塔里亚等人就已从数学角度研究过问题。他们的研究除了外还与当时的人口、保险业等有关，但由于卡丹等人的思想未引起重视，概率概念的要旨也不明确，于是很快被人淡忘了。

概率概念的要旨只是在17世纪中叶法国数学家帕斯卡与费马的讨论中才比较明确。他们在往来的信函中讨论\"合理分配赌注问题\"。 这实际上就是概率，所以概率的发展被认为是从帕斯卡与费马开始的。 二、概率论在实践中曲折发展：

在概率问题早期的研究中，逐步建立了事件、概率和随机变量等重要概念以及它们的基本性质。后来由于许多社会问题和工程技术问题，如：人口统计、保险理论、天文观测、误差理论、产品检验和质量控制等。这些问题的提法，均促进了概率论的发展，从17世纪到19世纪，贝努利、隶莫弗、拉普拉斯、高斯、普阿松、切贝谢夫、马尔可夫等著名数学家都对概率论的发展做出了杰出的贡献。在这段时间里，概率论的发展简直到了使人着迷的程度。但是，随着概率论中各个领域获得大量成果，以及概率论在其他基础学科和工程技术上的应用，由拉普拉斯给出的概率定义的局限性很快便暴露了出来，甚至无法适用于一般的随机现象。因此可以说，到20世纪初，概率论的一些基本概念，诸如概

率等尚没有确切的定义，概率论作为一个数学分支，缺乏严格的理论基础。19年，法国学者贝特朗提出了所谓“贝特朗悖论”，矛头直指几何概率概念本身,问题是这样的：在圆内任作一弦，求其长超过圆内接正三角形边长的概率。

“解１ 见图（一），若设ＡＢ为圆的一铅直直径，Ｃ、Ｏ、Ｄ为此直径之四等分点。过点Ｄ作ＡＢ的垂线ＥＦ交圆周于Ｅ、Ｆ，以ＥＦ为边作正三角形即圆内接正三角形ＡＥＦ。

由于对称性，今设弦方向确定为与ＡＢ垂直或与ＥＦ平行的方向。当随机地作弦时，设弦与ＡＢ相交于各点的机会是相等的，即交点出现是等可能的。

显然，这种平行于ＥＦ的弦，只有当它（如ＧＨ）与线段ＣＤ相交时，即交点落在ＣＤ内时才大于ＥＦ（圆内接正三角形的边长），而这种弦出现的机会正是ＡＢ长度的一半（亦即ＣＤ之长），故所求概率为1/2。”

在其中，其犯了一个根本错误，圆周上的各点不对等。而这必然导致结果出错。应该使圆周上的各点处于同等的条件下，这才是解决问题的正确前提。

过Ｃ点作ＡＢ的垂线ＭＮ，则弧ＡＭ＝弧ＥＭ＝弧ＢＥ，弧ＡＮ＝弧ＦＮ＝弧ＢＦ。由于它们的弧长相等，因此就互相连线来讲，弧ＥＭ与弧ＦＮ所连线的数目，应等于弧ＢＥ与弧ＢＦ的连线数目，应等于弧ＡＭ与弧ＡＮ的连线数目。

不然，弧ＥＭ与弧ＢＥ，弧ＡＭ是不等长的，弧ＦＮ与弧ＢＦ，弧ＡＮ也是不等长的。因为它们若等长，那弧上的点就一样多，而所连线的数目也就是一样多。但那些弧都是等长的，所以其的解是错的。其拿了铅直直径ＡＢ去对应弧了，而在圆中它们显然没法直线式的对应。就好像弧ＢＥ对应于线段ＢＤ，弧ＥＭ对应于线段ＤＣ，而弧ＢＥ与弧ＥＭ等长，但线段ＢＤ与线段ＤＣ不等长，这就是其错误的根本所在。

“解２ 见图（二），弦被它的中点的位置所唯一确定，又设该中心位置出现是等可能的。显然，只有当中心落在半径为已知圆的一半的那个小圆内时，弦的长才大于圆内接正三角形边长，而这个小圆的面积是已给定圆面积的四分之一，故所求概率为1/4。”

在小圆中任取一点Ｐ，连接ＯＰ，作ＯＰ垂线ＸＹ。可见，当Ｐ点作为弦中点时，只有一条弦ＸＹ。而圆心Ｏ作为弦中点时，却可与圆上任意点连成中点为Ｏ的弦。Ｏ与Ｐ显然不对等。即便在圆外任取一点，其作为中点时，也只能连一条弦，与Ｏ点不对等。

换言之，Ｏ作为中点时，若可连接Ｓ条弦，那在计算面积时，就要把Ｏ点算为Ｓ次的面积，不能只算作一次。而在这个解题过程中，其把Ｏ点与圆内各点等同来对待了。可在其设定的这个中点弦的条件下，Ｏ点与圆内各点是不等同的，所以其解答错误。

“解３ 由于对称性，又可预先固定弦的一端。过圆周上一点Ａ作圆的切线Ｌ，图（三），现随机地过点Ａ作弦。又设过Ａ点作弦的任一方向是等可能的。

显然，当过Ａ作弦时，只有当弦与Ｌ的夹角在60度与120度之间时（如ＡＧ）弦的长才大于圆内接正三角形的边长，故所求概率为1/3。”

在这个解题过程中，圆内各点都是对等的，因而是正确的。

综上所述，其犯的主要错误，是圆周或圆内的各点不在同一条件下，使得它们不是对等的，也就导致了谬误的解答。因而，这个悖论是不成立的。

三、概率论理论基础的建立：

概率论的第一本专著是1713年问世的雅各·贝努利的《推测术》。经过二十多年的艰难研究，贝努利在该树种，表述并证明了著名的\"大数定律\"。所谓\"大数定律\"，简单地说就是，当实验次数很大时，事件出现的频率与概率有较大偏差的可能性很小。这一定理第一次在单一的概率值与众多现象的统计度量之间建立了演绎关系，构成了从概率论通向更广泛应用领域的桥梁。因此，贝努利被称为概率论的奠基人。 为概率论确定严密的理论基础的是数学家柯尔莫哥洛夫。1933年，

他发表了著名的《概率论的基本概念》，用公理化结构，这个结构明确定义了概率论发展史上的一个里程碑，为以后的概率论的迅速发展奠定了基础。

现在，概率论已发展成为一门与实际紧密相连的理论严谨的数学科

学。它内容丰富，结论深刻，有别开生面的研究课题，由自己独特的概念和方法，已经成为了近代数学一个有特色的分支。